Theorem dmmptss 6242

Description: The domain of a mapping is a subset of its base class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmptss	⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dmmptss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6241	. 2 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3	2	ssrab3 4036	1 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674

This theorem is referenced by:  mptrcl  6999  fvmptss  7002  fvmptex  7004  fvmptnf  7012  elfvmptrab1w  7017  elfvmptrab1  7018  mptexg  7219  mptexw  7946  dmmpossx  8059  tposssxp  8222  mptfi  9304  cnvimamptfin  9306  cantnfres  9642  mptct  10517  arwrcl  18096  submgmrcl  18748  cntzrcl  19392  gsumconst  19999  psrass1lem  22083  psrass1  22113  psrass23l  22116  psrcom  22117  psrass23  22118  mpfrcl  22236  psropprmul  22397  coe1mul2  22430  lmrcl  23388  1stcrestlem  23609  ptbasfi  23738  isxms2  24605  setsmstopn  24635  tngtopn  24807  rrxmval  25564  ulmss  26560  dchrrcl  27404  gsummpt2co  33368  locfinreflem  34230  sitgclg  34732  cvmsrcl  35756  snmlval  35823  gonan0  35884  bj-fvmptunsn1  37921  eldiophb  43508  elmnc  43883  itgocn  43911  tannpoly  47647  dmmpossx2  49137  dmtposss  49674