Theorem dmmptss 6200

Description: The domain of a mapping is a subset of its base class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmptss	⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dmmptss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6199	. 2 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3	2	ssrab3 4023	1 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638

This theorem is referenced by:  mptrcl  6952  fvmptss  6955  fvmptex  6957  fvmptnf  6965  elfvmptrab1w  6970  elfvmptrab1  6971  mptexg  7170  mptexw  7900  dmmpossx  8013  tposssxp  8174  mptfi  9255  cnvimamptfin  9257  cantnfres  9592  mptct  10454  arwrcl  18005  submgmrcl  18657  cntzrcl  19296  gsumconst  19903  psrass1lem  21925  psrass1  21955  psrass23l  21958  psrcom  21959  psrass23  21960  mpfrcl  22076  psropprmul  22214  coe1mul2  22247  lmrcl  23209  1stcrestlem  23430  ptbasfi  23559  isxms2  24426  setsmstopn  24456  tngtopn  24628  rrxmval  25385  ulmss  26378  dchrrcl  27220  gsummpt2co  33127  locfinreflem  34003  sitgclg  34505  cvmsrcl  35465  snmlval  35532  gonan0  35593  bj-fvmptunsn1  37590  eldiophb  43206  elmnc  43585  itgocn  43613  tannpoly  47353  dmmpossx2  48828  dmtposss  49366