Theorem dmmptss 6192

Description: The domain of a mapping is a subset of its base class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmptss	⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dmmptss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6191	. 2 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3	2	ssrab3 4013	1 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631

This theorem is referenced by:  mptrcl  6945  fvmptss  6948  fvmptex  6950  fvmptnf  6958  elfvmptrab1w  6963  elfvmptrab1  6964  mptexg  7165  mptexw  7895  dmmpossx  8008  tposssxp  8170  mptfi  9251  cnvimamptfin  9253  cantnfres  9589  mptct  10451  arwrcl  18002  submgmrcl  18654  cntzrcl  19293  gsumconst  19900  psrass1lem  21908  psrass1  21938  psrass23l  21941  psrcom  21942  psrass23  21943  mpfrcl  22061  psropprmul  22222  coe1mul2  22255  lmrcl  23214  1stcrestlem  23435  ptbasfi  23564  isxms2  24431  setsmstopn  24461  tngtopn  24633  rrxmval  25390  ulmss  26380  dchrrcl  27221  gsummpt2co  33129  locfinreflem  34024  sitgclg  34526  cvmsrcl  35492  snmlval  35559  gonan0  35620  bj-fvmptunsn1  37617  eldiophb  43206  elmnc  43581  itgocn  43609  tannpoly  47353  dmmpossx2  48828  dmtposss  49366