Theorem dmmptss 6207

Description: The domain of a mapping is a subset of its base class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmptss	⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dmmptss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6206	. 2 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3	2	ssrab3 4036	1 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645

This theorem is referenced by:  mptrcl  6959  fvmptss  6962  fvmptex  6964  fvmptnf  6972  elfvmptrab1w  6977  elfvmptrab1  6978  mptexg  7177  mptexw  7907  dmmpossx  8020  tposssxp  8182  mptfi  9263  cnvimamptfin  9265  cantnfres  9598  mptct  10460  arwrcl  17980  submgmrcl  18632  cntzrcl  19268  gsumconst  19875  psrass1lem  21900  psrass1  21931  psrass23l  21934  psrcom  21935  psrass23  21936  mpfrcl  22052  psropprmul  22190  coe1mul2  22223  lmrcl  23187  1stcrestlem  23408  ptbasfi  23537  isxms2  24404  setsmstopn  24434  tngtopn  24606  rrxmval  25373  ulmss  26374  dchrrcl  27219  gsummpt2co  33142  locfinreflem  34018  sitgclg  34520  cvmsrcl  35480  snmlval  35547  gonan0  35608  bj-fvmptunsn1  37512  eldiophb  43114  elmnc  43493  itgocn  43521  tannpoly  47250  dmmpossx2  48697  dmtposss  49235