Theorem dmmptss 6242

Description: The domain of a mapping is a subset of its base class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmptss	⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dmmptss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6241	. 2 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3	2	ssrab3 4030	1 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664

This theorem is used by:  mptrcl  7003  fvmptss  7006  fvmptex  7008  fvmptnf  7016  elfvmptrab1w  7021  elfvmptrab1  7022  mptexg  7227  mptexw  7965  dmmpossx  8077  tposssxp  8247  mptfi  9340  cnvimamptfin  9342  cantnfres  9678  mptct  10622  arwrcl  18219  submgmrcl  18884  cntzrcl  19541  gsumconst  20148  psrass1lem  22241  psrass1  22271  psrass23l  22274  psrcom  22275  psrass23  22276  mpfrcl  22394  psropprmul  22555  coe1mul2  22588  lmrcl  23549  1stcrestlem  23770  ptbasfi  23900  isxms2  24767  setsmstopn  24797  tngtopn  24969  rrxmval  25726  ulmss  26724  dchrrcl  27567  gsummpt2co  33609  locfinreflem  34472  sitgclg  34974  cvmsrcl  36029  snmlval  36096  gonan0  36157  bj-fvmptunsn1  38178  eldiophb  43767  elmnc  44137  itgocn  44165  tannpoly  47939  dmmpossx2  49448  dmtposss  49983