Theorem dmmptss 6237

Description: The domain of a mapping is a subset of its base class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmptss	⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dmmptss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6236	. 2 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3	2	ssrab3 4030	1 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668

This theorem is used by:  mptrcl  6997  fvmptss  7000  fvmptex  7002  fvmptnf  7010  elfvmptrab1w  7015  elfvmptrab1  7016  mptexg  7221  mptexw  7951  dmmpossx  8064  tposssxp  8229  mptfi  9319  cnvimamptfin  9321  cantnfres  9657  mptct  10547  arwrcl  18134  submgmrcl  18798  cntzrcl  19455  gsumconst  20062  psrass1lem  22149  psrass1  22179  psrass23l  22182  psrcom  22183  psrass23  22184  mpfrcl  22302  psropprmul  22463  coe1mul2  22496  lmrcl  23457  1stcrestlem  23678  ptbasfi  23808  isxms2  24675  setsmstopn  24705  tngtopn  24877  rrxmval  25634  ulmss  26634  dchrrcl  27477  gsummpt2co  33489  locfinreflem  34351  sitgclg  34854  cvmsrcl  35844  snmlval  35911  gonan0  35972  bj-fvmptunsn1  38010  eldiophb  43603  elmnc  43978  itgocn  44006  tannpoly  47759  dmmpossx2  49268  dmtposss  49803