Theorem dmmptss 5817

Description: The domain of a mapping is a subset of its base class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmptss	⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dmmptss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 5816	. 2 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3		ssrab2 3847	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ⊆ 𝐴
4	2, 3	eqsstri 3795	1 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  {crab 3059  Vcvv 3350   ⊆ wss 3732   ↦ cmpt 4888  dom cdm 5277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ral 3060  df-rab 3064  df-v 3352  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290

This theorem is referenced by:  mptrcl  6478  fvmptss  6481  fvmptex  6483  fvmptnf  6491  elfvmptrab1  6494  mptexg  6677  dmmpt2ssx  7436  curry1val  7472  curry2val  7476  tposssxp  7559  mptfi  8472  cnvimamptfin  8474  cantnfres  8789  mptct  9613  bitsval  15427  subcrcl  16741  arwval  16958  arwrcl  16959  coafval  16979  submrcl  17612  issubg  17858  isnsg  17887  cntzrcl  18023  gsumconst  18600  abvrcl  19090  psrass1lem  19651  psrass1  19679  psrass23l  19682  psrcom  19683  psrass23  19684  mpfrcl  19791  psropprmul  19881  coe1mul2  19912  isobs  20340  lmrcl  21315  1stcrestlem  21535  islocfin  21600  kgeni  21620  ptbasfi  21664  isxms2  22532  setsmstopn  22562  tngtopn  22733  isphtpc  23072  pcofval  23088  cfili  23345  cfilfcls  23351  rrxmval  23477  plybss  24241  ulmss  24442  dchrrcl  25256  gsummpt2co  30227  locfinreflem  30354  sitgclg  30851  cvmsrcl  31694  snmlval  31761  eldiophb  37998  elmnc  38383  itgocn  38411  issdrg  38444  submgmrcl  42451  dmmpt2ssx2  42784