Theorem dmmptss 6248

Description: The domain of a mapping is a subset of its base class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmptss	⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dmmptss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6247	. 2 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3	2	ssrab3 4009	1 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667

This theorem is used by:  mptrcl  7011  fvmptss  7014  fvmptex  7016  fvmptnf  7024  elfvmptrab1w  7029  elfvmptrab1  7030  mptexg  7234  mptexw  7972  dmmpossx  8085  tposssxp  8258  mptfi  9351  cnvimamptfin  9353  cantnfres  9688  mptct  10632  arwrcl  18231  submgmrcl  18896  cntzrcl  19553  gsumconst  20160  psrass1lem  22253  psrass1  22283  psrass23l  22286  psrcom  22287  psrass23  22288  mpfrcl  22406  psropprmul  22567  coe1mul2  22600  lmrcl  23561  1stcrestlem  23782  ptbasfi  23912  isxms2  24779  setsmstopn  24809  tngtopn  24981  rrxmval  25738  ulmss  26736  dchrrcl  27579  gsummpt2co  33662  locfinreflem  34525  sitgclg  35027  cvmsrcl  36150  snmlval  36217  gonan0  36278  bj-fvmptunsn1  38318  eldiophb  43908  elmnc  44278  itgocn  44306  tannpoly  48079  dmmpossx2  49588  dmtposss  50128