Theorem dmmptss 6261

Description: The domain of a mapping is a subset of its base class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmptss	⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dmmptss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6260	. 2 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3	2	ssrab3 4010	1 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671

This theorem is used by:  mptrcl  7034  fvmptss  7037  fvmptex  7039  fvmptnf  7047  elfvmptrab1w  7052  elfvmptrab1  7053  mptexg  7258  mptexw  7999  dmmpossx  8112  tposssxp  8285  mptfi  9378  cnvimamptfin  9380  cantnfres  9715  mptct  10661  arwrcl  18269  submgmrcl  18934  cntzrcl  19592  gsumconst  20199  psrass1lem  22296  psrass1  22326  psrass23l  22329  psrcom  22330  psrass23  22331  mpfrcl  22449  psropprmul  22610  coe1mul2  22643  lmrcl  23604  1stcrestlem  23825  ptbasfi  23955  isxms2  24822  setsmstopn  24852  tngtopn  25024  rrxmval  25781  ulmss  26781  dchrrcl  27624  gsummpt2co  33708  locfinreflem  34583  sitgclg  35085  cvmsrcl  36237  snmlval  36304  gonan0  36365  bj-fvmptunsn1  38446  eldiophb  44034  elmnc  44403  itgocn  44431  tannpoly  48213  dmmpossx2  49780  dmtposss  50320