Theorem dmmptss 6244

Description: The domain of a mapping is a subset of its base class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmptss	⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dmmptss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6243	. 2 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3	2	ssrab3 4037	1 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676

This theorem is used by:  mptrcl  7003  fvmptss  7006  fvmptex  7008  fvmptnf  7016  elfvmptrab1w  7021  elfvmptrab1  7022  mptexg  7226  mptexw  7956  dmmpossx  8069  tposssxp  8232  mptfi  9315  cnvimamptfin  9317  cantnfres  9653  mptct  10539  arwrcl  18125  submgmrcl  18787  cntzrcl  19443  gsumconst  20050  psrass1lem  22135  psrass1  22165  psrass23l  22168  psrcom  22169  psrass23  22170  mpfrcl  22288  psropprmul  22449  coe1mul2  22482  lmrcl  23440  1stcrestlem  23661  ptbasfi  23791  isxms2  24658  setsmstopn  24688  tngtopn  24860  rrxmval  25617  ulmss  26613  dchrrcl  27457  gsummpt2co  33434  locfinreflem  34296  sitgclg  34799  cvmsrcl  35795  snmlval  35862  gonan0  35923  bj-fvmptunsn1  37960  eldiophb  43548  elmnc  43923  itgocn  43951  tannpoly  47687  dmmpossx2  49176  dmtposss  49713