Theorem submgmss 44807

Description: Submagmas are subsets of the base set. (Contributed by AV, 26-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
submgmss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submgmss	⊢ (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem submgmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submgmrcl 44797	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mgm)
2		submgmss.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑆) = (𝑀 ↾s 𝑆)
4	2, 3	issubmgm2 44805	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ Mgm)))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ Mgm)))
6	5	ibi 270	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ Mgm))
7	6	simpld 498	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3860  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Basecbs 16546   ↾_s cress 16547  Mgmcmgm 17921  SubMgmcsubmgm 44793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mgm 17923  df-submgm 44795

This theorem is referenced by:  submgmbas  44811  subsubmgm  44812  resmgmhm  44813  resmgmhm2  44814  mgmhmima  44817