Theorem presuc 39036

Description: pre is a left-inverse of suc. This theorem gives a clean rewrite rule that eliminates pre on explicit successors. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
presuc	⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → pre suc 𝑀 = 𝑀)

Proof of Theorem presuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucmapsuc 39027	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → 𝑀 SucMap suc 𝑀)
2		relsucmap 39005	. . . . 5 ⊢ Rel SucMap
3	2	relelrni 5940	. . . 4 ⊢ (𝑀 SucMap suc 𝑀 → suc 𝑀 ∈ ran SucMap )
4		df-succl 39007	. . . 4 ⊢ Suc = ran SucMap
5	3, 4	eleqtrrdi 2880	. . 3 ⊢ (𝑀 SucMap suc 𝑀 → suc 𝑀 ∈ Suc )
6		sucpre 39035	. . 3 ⊢ (suc 𝑀 ∈ Suc → suc pre suc 𝑀 = suc 𝑀)
7	1, 5, 6	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → suc pre suc 𝑀 = suc 𝑀)
8		suc11reg 9587	. 2 ⊢ (suc pre suc 𝑀 = suc 𝑀 ↔ pre suc 𝑀 = 𝑀)
9	7, 8	sylib 221	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → pre suc 𝑀 = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ran crn 5663  suc csuc 6363   SucMap csucmap 38716   Suc csuccl 38717   pre cpre 38718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9553

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-eprel 5562  df-fr 5615  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-suc 6367  df-iota 6493  df-sucmap 39000  df-succl 39007  df-pre 39013

This theorem is referenced by: (None)