Theorem presuc 38945

Description: pre is a left-inverse of suc. This theorem gives a clean rewrite rule that eliminates pre on explicit successors. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
presuc	⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → pre suc 𝑀 = 𝑀)

Proof of Theorem presuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucmapsuc 38936	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → 𝑀 SucMap suc 𝑀)
2		relsucmap 38914	. . . . 5 ⊢ Rel SucMap
3	2	relelrni 5918	. . . 4 ⊢ (𝑀 SucMap suc 𝑀 → suc 𝑀 ∈ ran SucMap )
4		df-succl 38916	. . . 4 ⊢ Suc = ran SucMap
5	3, 4	eleqtrrdi 2867	. . 3 ⊢ (𝑀 SucMap suc 𝑀 → suc 𝑀 ∈ Suc )
6		sucpre 38944	. . 3 ⊢ (suc 𝑀 ∈ Suc → suc pre suc 𝑀 = suc 𝑀)
7	1, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → suc pre suc 𝑀 = suc 𝑀)
8		suc11reg 9564	. 2 ⊢ (suc pre suc 𝑀 = suc 𝑀 ↔ pre suc 𝑀 = 𝑀)
9	7, 8	sylib 220	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → pre suc 𝑀 = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  ran crn 5641  suc csuc 6337   SucMap csucmap 38625   Suc csuccl 38626   pre cpre 38627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-reg 9530

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-eprel 5540  df-fr 5593  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-suc 6341  df-iota 6466  df-sucmap 38909  df-succl 38916  df-pre 38922

This theorem is referenced by: (None)