Theorem tgtop11 23300

Description: The topology generation function is one-to-one when applied to completed topologies. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tgtop11	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐽) = (topGen‘𝐾)) → 𝐽 = 𝐾)

Proof of Theorem tgtop11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 23291	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
2		tgtop 23291	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (topGen‘𝐾) = 𝐾)
3	1, 2	eqeqan12d 2774	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → ((topGen‘𝐽) = (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽 = 𝐾))
4	3	biimp3a 1498	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐽) = (topGen‘𝐾)) → 𝐽 = 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  topGenctg 17608  Topctop 23211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-topgen 17614  df-top 23212

This theorem is used by: (None)