Theorem tgtop11 22903

Description: The topology generation function is one-to-one when applied to completed topologies. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tgtop11	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐽) = (topGen‘𝐾)) → 𝐽 = 𝐾)

Proof of Theorem tgtop11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 22894	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
2		tgtop 22894	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (topGen‘𝐾) = 𝐾)
3	1, 2	eqeqan12d 2741	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → ((topGen‘𝐽) = (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽 = 𝐾))
4	3	biimp3a 1465	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐽) = (topGen‘𝐾)) → 𝐽 = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6551  topGenctg 17424  Topctop 22813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fv 6559  df-topgen 17430  df-top 22814

This theorem is referenced by: (None)