Theorem bastop 22039

Description: Two ways to express that a basis is a topology. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
bastop	⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵 ∈ Top ↔ (topGen‘𝐵) = 𝐵))

Proof of Theorem bastop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 22031	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Top → (topGen‘𝐵) = 𝐵)
2		tgcl 22027	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
3		eleq1 2826	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) = 𝐵 → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ 𝐵 ∈ Top))
4	2, 3	syl5ibcom 244	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → ((topGen‘𝐵) = 𝐵 → 𝐵 ∈ Top))
5	1, 4	impbid2 225	1 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵 ∈ Top ↔ (topGen‘𝐵) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  topGenctg 17065  Topctop 21950  TopBasesctb 22003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-topgen 17071  df-top 21951  df-bases 22004

This theorem is referenced by: (None)