Theorem bastop 23299

Description: Two ways to express that a basis is a topology. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
bastop	⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵 ∈ Top ↔ (topGen‘𝐵) = 𝐵))

Proof of Theorem bastop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 23291	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Top → (topGen‘𝐵) = 𝐵)
2		tgcl 23287	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
3		eleq1 2849	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) = 𝐵 → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ 𝐵 ∈ Top))
4	2, 3	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → ((topGen‘𝐵) = 𝐵 → 𝐵 ∈ Top))
5	1, 4	impbid2 229	1 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵 ∈ Top ↔ (topGen‘𝐵) = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  topGenctg 17608  Topctop 23211  TopBasesctb 23263

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-topgen 17614  df-top 23212  df-bases 23264

This theorem is used by: (None)