Theorem bastop 22483

Description: Two ways to express that a basis is a topology. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
bastop	⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵 ∈ Top ↔ (topGen‘𝐵) = 𝐵))

Proof of Theorem bastop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 22475	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Top → (topGen‘𝐵) = 𝐵)
2		tgcl 22471	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
3		eleq1 2821	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) = 𝐵 → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ 𝐵 ∈ Top))
4	2, 3	syl5ibcom 244	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → ((topGen‘𝐵) = 𝐵 → 𝐵 ∈ Top))
5	1, 4	impbid2 225	1 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵 ∈ Top ↔ (topGen‘𝐵) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  topGenctg 17382  Topctop 22394  TopBasesctb 22447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topgen 17388  df-top 22395  df-bases 22448

This theorem is referenced by: (None)