Theorem trclidm 15050

Description: The transitive closure of a relation is idempotent. (Contributed by RP, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclidm	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (t+‘(t+‘𝑅)) = (t+‘𝑅))

Proof of Theorem trclidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6895	. 2 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
2		trclfvcotr 15046	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅))
3		cotrtrclfv 15049	. 2 ⊢ (((t+‘𝑅) ∈ V ∧ ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅)) → (t+‘(t+‘𝑅)) = (t+‘𝑅))
4	1, 2, 3	sylancr 598	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (t+‘(t+‘𝑅)) = (t+‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   ∘ ccom 5666  ‘cfv 6537  t+ctcl 15022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-trcl 15024

This theorem is referenced by: (None)