Theorem tsk2 10854

Description: Two is an element of a nonempty Tarski class. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tsk2	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 2o ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tsk2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsk1 10853	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 1o ∈ 𝑇)
2		df-2o 8481	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
3		1on 8493	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
4		tsksuc 10851	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1o ∈ On ∧ 1o ∈ 𝑇) → suc 1o ∈ 𝑇)
5	3, 4	mp3an2 1478	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1o ∈ 𝑇) → suc 1o ∈ 𝑇)
6	2, 5	eqeltrid 2864	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1o ∈ 𝑇) → 2o ∈ 𝑇)
7	1, 6	syldan 603	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 2o ∈ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  Oncon0 6362  suc csuc 6364  1_oc1o 8473  2_oc2o 8474  Tarskictsk 10837

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-1o 8480  df-2o 8481  df-tsk 10838

This theorem is used by:  2domtsk  10855