Theorem tsk2 10718

Description: Two is an element of a nonempty Tarski class. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tsk2	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 2o ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tsk2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsk1 10717	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 1o ∈ 𝑇)
2		df-2o 8431	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
3		1on 8443	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
4		tsksuc 10715	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1o ∈ On ∧ 1o ∈ 𝑇) → suc 1o ∈ 𝑇)
5	3, 4	mp3an2 1469	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1o ∈ 𝑇) → suc 1o ∈ 𝑇)
6	2, 5	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1o ∈ 𝑇) → 2o ∈ 𝑇)
7	1, 6	syldan 600	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 2o ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∅c0 4285  Oncon0 6340  suc csuc 6342  1_oc1o 8423  2_oc2o 8424  Tarskictsk 10701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-tr 5207  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-ord 6343  df-on 6344  df-suc 6346  df-1o 8430  df-2o 8431  df-tsk 10702

This theorem is referenced by:  2domtsk  10719