Theorem tsk2 10803

Description: Two is an element of a nonempty Tarski class. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tsk2	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 2o ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tsk2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsk1 10802	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 1o ∈ 𝑇)
2		df-2o 8506	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
3		1on 8517	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
4		tsksuc 10800	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1o ∈ On ∧ 1o ∈ 𝑇) → suc 1o ∈ 𝑇)
5	3, 4	mp3an2 1448	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1o ∈ 𝑇) → suc 1o ∈ 𝑇)
6	2, 5	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1o ∈ 𝑇) → 2o ∈ 𝑇)
7	1, 6	syldan 591	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 2o ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∅c0 4339  Oncon0 6386  suc csuc 6388  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499  Tarskictsk 10786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-1o 8505  df-2o 8506  df-tsk 10787

This theorem is referenced by:  2domtsk  10804