Theorem uhgr0e 29047

Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a hypergraph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgr0e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
uhgr0e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)

Proof of Theorem uhgr0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6704	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})
2		dm0 5860	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	feq2i 6643	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ ∅:∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
4	1, 3	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})
5		uhgr0e.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8	6, 7	isuhgr 29036	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
10		uhgr0e.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)
11		id 22	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
12		dmeq 5843	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → dom (iEdg‘𝐺) = dom ∅)
13	11, 12	feq12d 6639	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
15	9, 14	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
16	4, 15	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3899  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4550  {csn 4576  dom cdm 5616  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  Vtxcvtx 28972  iEdgciedg 28973  UHGraphcuhgr 29032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2535  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-uhgr 29034

This theorem is referenced by:  uhgr0vb  29048