Theorem uhgr0e 28298

Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a hypergraph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgr0e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
uhgr0e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)

Proof of Theorem uhgr0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6762	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})
2		dm0 5915	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	feq2i 6699	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ ∅:∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
4	1, 3	mpbir 230	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})
5		uhgr0e.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8	6, 7	isuhgr 28287	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
10		uhgr0e.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)
11		id 22	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
12		dmeq 5898	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → dom (iEdg‘𝐺) = dom ∅)
13	11, 12	feq12d 6695	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
15	9, 14	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
16	4, 15	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3943  ∅c0 4320  𝒫 cpw 4598  {csn 4624  dom cdm 5672  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  Vtxcvtx 28223  iEdgciedg 28224  UHGraphcuhgr 28283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-fv 6543  df-uhgr 28285

This theorem is referenced by:  uhgr0vb  28299