Theorem uhgr0e 28998

Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a hypergraph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgr0e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
uhgr0e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)

Proof of Theorem uhgr0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6741	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})
2		dm0 5884	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	feq2i 6680	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ ∅:∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
4	1, 3	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})
5		uhgr0e.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8	6, 7	isuhgr 28987	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
10		uhgr0e.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)
11		id 22	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
12		dmeq 5867	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → dom (iEdg‘𝐺) = dom ∅)
13	11, 12	feq12d 6676	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
15	9, 14	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
16	4, 15	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3911  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  Vtxcvtx 28923  iEdgciedg 28924  UHGraphcuhgr 28983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-uhgr 28985

This theorem is referenced by:  uhgr0vb  28999