Theorem feq12d 6658

Description: Equality deduction for functions. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
feq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
feq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
feq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))

Proof of Theorem feq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2	1	feq1d 6652	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐶))
3		feq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	feq2d 6654	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))
5	2, 4	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542  ⟶wf 6496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504

This theorem is referenced by:  feq123d  6659  fprg  7110  smoeq  8292  oif  9447  1fv  13575  catcisolem  18046  hofcl  18194  dmdprd  19941  dpjf  20000  pjf2  21681  mat1dimmul  22432  lmbr2  23215  lmff  23257  dfac14  23574  lmmbr2  25227  lmcau  25281  perfdvf  25872  dvnfre  25924  dvle  25980  dvfsumle  25994  dvfsumleOLD  25995  dvfsumge  25996  dvmptrecl  25998  uhgr0e  29156  uhgrstrrepe  29163  incistruhgr  29164  upgr1e  29198  1hevtxdg1  29592  umgr2v2e  29611  iswlk  29696  0wlkons1  30208  resf1o  32819  ismeas  34376  omsmeas  34500  breprexplema  34807  satfun  35624  mbfresfi  37911  sdclem1  37988  dfac21  43417  fnlimfvre  46026  climrescn  46100  fourierdlem74  46532  fourierdlem103  46561  fourierdlem104  46562  sge0iunmpt  46770  ismea  46803  isome  46846  sssmf  47090  smflimlem3  47125  smflimlem4  47126  isupwlk  48490  fmpodg  49222  fucof1  49675