Theorem feq12d 6683

Description: Equality deduction for functions. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
feq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
feq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
feq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))

Proof of Theorem feq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2	1	feq1d 6677	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐶))
3		feq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	feq2d 6679	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))
5	2, 4	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1563  ⟶wf 6521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529

This theorem is referenced by:  feq123d  6684  fprg  7142  smoeq  8325  oif  9480  1fv  13666  catcisolem  18157  hofcl  18305  dmdprd  20061  dpjf  20120  pjf2  21824  mat1dimmul  22594  lmbr2  23377  lmff  23419  dfac14  23736  lmmbr2  25379  lmcau  25433  perfdvf  26023  dvnfre  26072  dvle  26127  dvfsumle  26141  dvfsumge  26142  dvmptrecl  26144  uhgr0e  29330  uhgrstrrepe  29337  incistruhgr  29338  upgr1e  29372  1hevtxdg1  29765  umgr2v2e  29784  iswlk  29869  0wlkons1  30381  resf1o  32987  selvply1rhmlemb  33826  ismeas  34506  omsmeas  34630  breprexplema  34934  satfun  35774  mbfresfi  38177  sdclem1  38254  dfac21  43655  fnlimfvre  46246  climrescn  46320  fourierdlem74  46752  fourierdlem103  46781  fourierdlem104  46782  sge0iunmpt  46990  ismea  47023  isome  47066  smflimlem3  47345  smflimlem4  47346  isupwlk  48756  fmpodg  49498  fucof1  49951