Theorem feq12d 6511

Description: Equality deduction for functions. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
feq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
feq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
feq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))

Proof of Theorem feq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2	1	feq1d 6508	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐶))
3		feq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	feq2d 6509	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))
5	2, 4	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543  ⟶wf 6354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-opab 5102  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362

This theorem is referenced by:  feq123d  6512  fprg  6948  smoeq  8065  oif  9124  1fv  13196  catcisolem  17570  hofcl  17721  dmdprd  19339  dpjf  19398  pjf2  20630  mat1dimmul  21327  lmbr2  22110  lmff  22152  dfac14  22469  lmmbr2  24110  lmcau  24164  perfdvf  24754  dvnfre  24803  dvle  24858  dvfsumle  24872  dvfsumge  24873  dvmptrecl  24875  uhgr0e  27116  uhgrstrrepe  27123  incistruhgr  27124  upgr1e  27158  1hevtxdg1  27548  umgr2v2e  27567  iswlk  27652  0wlkons1  28158  resf1o  30739  ismeas  31833  omsmeas  31956  breprexplema  32276  satfun  33040  mbfresfi  35509  sdclem1  35587  dfac21  40535  fnlimfvre  42833  climrescn  42907  fourierdlem74  43339  fourierdlem103  43368  fourierdlem104  43369  sge0iunmpt  43574  ismea  43607  isome  43650  sssmf  43889  smflimlem3  43923  smflimlem4  43924  isupwlk  44914