Theorem feq12d 6735

Description: Equality deduction for functions. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
feq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
feq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
feq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))

Proof of Theorem feq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2	1	feq1d 6732	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐶))
3		feq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	feq2d 6733	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))
5	2, 4	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537  ⟶wf 6569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577

This theorem is referenced by:  feq123d  6736  fprg  7189  smoeq  8406  oif  9599  1fv  13704  catcisolem  18177  hofcl  18329  dmdprd  20042  dpjf  20101  pjf2  21757  mat1dimmul  22503  lmbr2  23288  lmff  23330  dfac14  23647  lmmbr2  25312  lmcau  25366  perfdvf  25958  dvnfre  26010  dvle  26066  dvfsumle  26080  dvfsumleOLD  26081  dvfsumge  26082  dvmptrecl  26084  uhgr0e  29106  uhgrstrrepe  29113  incistruhgr  29114  upgr1e  29148  1hevtxdg1  29542  umgr2v2e  29561  iswlk  29646  0wlkons1  30153  resf1o  32744  ismeas  34163  omsmeas  34288  breprexplema  34607  satfun  35379  mbfresfi  37626  sdclem1  37703  dfac21  43023  fnlimfvre  45595  climrescn  45669  fourierdlem74  46101  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  sge0iunmpt  46339  ismea  46372  isome  46415  sssmf  46659  smflimlem3  46694  smflimlem4  46695  isupwlk  47859