Theorem uhgr0vb 27345

Description: The null graph, with no vertices, is a hypergraph if and only if the edge function is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0vb	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem uhgr0vb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	uhgrf 27335	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
4		pweq 4546	. . . . . . . 8 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 ∅)
5	4	difeq1d 4052	. . . . . . 7 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) = (𝒫 ∅ ∖ {∅}))
6		pw0 4742	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	6	difeq1i 4049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅})
8		difid 4301	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
9	7, 8	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ∅
10	5, 9	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) = ∅)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) = ∅)
12	11	feq3d 6571	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅))
13		f00 6640	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ ↔ ((iEdg‘𝐺) = ∅ ∧ dom (iEdg‘𝐺) = ∅))
14	13	simplbi 497	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
15	12, 14	syl6bi 252	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → (iEdg‘𝐺) = ∅))
16	3, 15	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
17		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ 𝑊)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
19	17, 18	uhgr0e 27344	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ UHGraph)
20	19	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ UHGraph))
21	20	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ UHGraph))
22	16, 21	impbid 211	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  UHGraphcuhgr 27329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-uhgr 27331

This theorem is referenced by:  usgr0vb  27507  uhgr0v0e  27508  0uhgrsubgr  27549  finsumvtxdg2size  27820  0uhgrrusgr  27848  frgr0v  28527  frgruhgr0v  28529