Theorem ulmrel 26356

Description: The uniform limit relation is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ulmrel	⊢ Rel (⇝𝑢‘𝑆)

Proof of Theorem ulmrel

Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑘 𝑛 𝑠 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ulm 26355	. 2 ⊢ ⇝𝑢 = (𝑠 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑓:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑠) ∧ 𝑦:𝑠⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑠 (abs‘(((𝑓‘𝑘)‘𝑧) − (𝑦‘𝑧))) < 𝑥)})
2	1	relmptopab 7610	1 ⊢ Rel (⇝𝑢‘𝑆)

Syntax hints:   ∧ w3a 1087  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  Rel wrel 5629  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  ℂcc 11027   < clt 11170   − cmin 11368  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  abscabs 15187  ⇝_𝑢culm 26354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ulm 26355

This theorem is referenced by:  ulmval  26358  ulmdm  26371  ulmcau  26373  ulmdvlem3  26380