MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdvlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdvlem3 24696
Description: Lemma for ulmdv 24697. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmdv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
ulmdv.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
ulmdv.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem3 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdvlem3
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biidd 254 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → (𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ↔ 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
2 ulmdv.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 ulmdv.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4 ulmdv.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 ulmdv.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
6 ulmdv.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
7 ulmdv.l . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
8 ulmdv.u . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ulmdvlem2 24695 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
10 recnprss 24208 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
113, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1211adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑆 ⊆ ℂ)
135ffvelrnda 6678 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
14 elmapi 8230 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋) → (𝐹𝑘):𝑋⟶ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘):𝑋⟶ℂ)
16 dvbsss 24206 . . . . . . . 8 dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) ⊆ 𝑆
179, 16syl6eqssr 3914 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑋𝑆)
18 eqid 2778 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
19 eqid 2778 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2012, 15, 17, 18, 19dvbssntr 24204 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
219, 20eqsstr3d 3898 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
2221ralrimiva 3132 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
23 uzid 12076 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
244, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2524, 2syl6eleqr 2877 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
261, 22, 25rspcdva 3541 . . 3 (𝜑𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
2726sselda 3860 . 2 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
28 ulmcl 24675 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻𝐻:𝑋⟶ℂ)
298, 28syl 17 . . . 4 (𝜑𝐻:𝑋⟶ℂ)
3029ffvelrnda 6678 . . 3 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝐻𝑧) ∈ ℂ)
31 breq2 4934 . . . . . . . 8 (𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠 ↔ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
32312ralbidv 3149 . . . . . . 7 (𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
3332rexralbidv 3246 . . . . . 6 (𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) → (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠 ↔ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
34 ulmrel 24672 . . . . . . . . . 10 Rel (⇝𝑢𝑋)
35 releldm 5658 . . . . . . . . . 10 ((Rel (⇝𝑢𝑋) ∧ (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) ∈ dom (⇝𝑢𝑋))
3634, 8, 35sylancr 578 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) ∈ dom (⇝𝑢𝑋))
37 ulmscl 24673 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻𝑋 ∈ V)
388, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ V)
39 ovex 7010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
4039rgenw 3100 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
41 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))
4241fnmpt 6320 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
4340, 42mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
44 ulmf2 24678 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍 ∧ (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
4543, 8, 44syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
462, 4, 38, 45ulmcau2 24690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) ∈ dom (⇝𝑢𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠))
4736, 46mpbid 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠)
482uztrn2 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
4948ad2ant2lr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → 𝑛𝑍)
50 fveq2 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
5150oveq2d 6994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑛 → (𝑆 D (𝐹𝑘)) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
52 ovex 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 D (𝐹𝑛)) ∈ V
5351, 41, 52fvmpt 6597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
5449, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
5554fveq1d 6503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))
56 simprr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))
572uztrn2 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
5849, 56, 57syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → 𝑚𝑍)
59 fveq2 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
6059oveq2d 6994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑚 → (𝑆 D (𝐹𝑘)) = (𝑆 D (𝐹𝑚)))
61 ovex 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 D (𝐹𝑚)) ∈ V
6260, 41, 61fvmpt 6597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚) = (𝑆 D (𝐹𝑚)))
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚) = (𝑆 D (𝐹𝑚)))
6463fveq1d 6503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥) = ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))
6555, 64oveq12d 6996 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → ((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥)) = (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥)))
6665fveq2d 6505 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) = (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))))
6766breq1d 4940 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → ((abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠 ↔ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠))
6867ralbidv 3147 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → (∀𝑥𝑋 (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠 ↔ ∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠))
69682ralbidva 3148 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠))
7069rexbidva 3241 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠 ↔ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠))
7170ralbidv 3147 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠 ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠))
7247, 71mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠)
7372ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠)
74 rphalfcl 12236 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
7574adantl 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
76 rphalfcl 12236 . . . . . . 7 ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
7775, 76syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
7833, 73, 77rspcdva 3541 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2))
794ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
8051fveq1d 6503 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))
81 eqid 2778 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧))
82 fvex 6514 . . . . . . . 8 ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ V
8380, 81, 82fvmpt 6597 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧))‘𝑛) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))
8483adantl 474 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧))‘𝑛) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))
8545ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
86 simplr 756 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑧𝑋)
872fvexi 6515 . . . . . . . . 9 𝑍 ∈ V
8887mptex 6814 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧)) ∈ V
8988a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧)) ∈ V)
9053adantl 474 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
9190fveq1d 6503 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))
9291, 84eqtr4d 2817 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧))‘𝑛))
938ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
942, 79, 85, 86, 89, 92, 93ulmclm 24681 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧)) ⇝ (𝐻𝑧))
952, 79, 75, 84, 94climi2 14732 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2))
962rexanuz2 14573 . . . . . . 7 (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ↔ (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))
972r19.2uz 14575 . . . . . . 7 (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑛𝑍 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))
9896, 97sylbir 227 . . . . . 6 ((∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑛𝑍 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))
99 fveq2 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐹𝑛)‘𝑦) = ((𝐹𝑛)‘𝑣))
10099oveq1d 6993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑣 → (((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) = (((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)))
101 oveq1 6985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦𝑧) = (𝑣𝑧))
102100, 101oveq12d 6996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑣 → ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)) = ((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)))
103 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))
104 ovex 7010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) ∈ V
105102, 103, 104fvmpt 6597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) = ((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)))
106105fvoveq1d 7000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) = (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))))
107 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) → 𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2))
108106, 107breqan12rd 4947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠 ↔ (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
109108imbi2d 333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → (((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠) ↔ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2))))
110109ralbidva 3146 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2))))
111110rexbidv 3242 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2))))
112 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑧𝑋)
11385ffvelrnda 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
11490, 113eqeltrrd 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑆 D (𝐹𝑛)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
115 elmapi 8230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 D (𝐹𝑛)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋) → (𝑆 D (𝐹𝑛)):𝑋⟶ℂ)
116 fdm 6354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 D (𝐹𝑛)):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D (𝐹𝑛)) = 𝑋)
117114, 115, 1163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑛)) = 𝑋)
118112, 117eleqtrrd 2869 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑧 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑛)))
1193ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
120 dvfg 24210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹𝑛)):dom (𝑆 D (𝐹𝑛))⟶ℂ)
121 ffun 6349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 D (𝐹𝑛)):dom (𝑆 D (𝐹𝑛))⟶ℂ → Fun (𝑆 D (𝐹𝑛)))
122 funfvbrb 6648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun (𝑆 D (𝐹𝑛)) → (𝑧 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑛)) ↔ 𝑧(𝑆 D (𝐹𝑛))((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧)))
123119, 120, 121, 1224syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑧 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑛)) ↔ 𝑧(𝑆 D (𝐹𝑛))((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧)))
124118, 123mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑧(𝑆 D (𝐹𝑛))((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))
125119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑆 ⊆ ℂ)
1265ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
127126ffvelrnda 6678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
128 elmapi 8230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋) → (𝐹𝑛):𝑋⟶ℂ)
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):𝑋⟶ℂ)
130 biidd 254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑀 → (𝑋𝑆𝑋𝑆))
13117ralrimiva 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 𝑋𝑆)
132130, 131, 25rspcdva 3541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋𝑆)
133132ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑋𝑆)
13418, 19, 103, 125, 129, 133eldv 24202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑧(𝑆 D (𝐹𝑛))((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧))))
135124, 134mpbid 224 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑧 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧)))
136135simprd 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧))
137132adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑋𝑆)
13811adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
139137, 138sstrd 3870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
140139ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑋 ⊆ ℂ)
141129, 140, 112dvlem 24200 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)) ∈ ℂ)
142141fmpttd 6704 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧))):(𝑋 ∖ {𝑧})⟶ℂ)
143140ssdifssd 4011 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑋 ∖ {𝑧}) ⊆ ℂ)
144140, 112sseldd 3861 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑧 ∈ ℂ)
145142, 143, 144ellimc3 24183 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧) ↔ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠))))
146136, 145mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠)))
147146simprd 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠))
14877adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
149111, 147, 148rspcdva 3541 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
150149adantrr 704 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
151 anass 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ↔ ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ ((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)))
152 df-3an 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))) ↔ ((𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2))) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))
153 anass 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)))
1547ralrimiva 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
155 fveq2 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑠 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑠))
156155mpteq2dv 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑠 → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑠)))
157 fveq2 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑠 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑠))
158156, 157breq12d 4943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑠 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧) ↔ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑠)) ⇝ (𝐺𝑠)))
159158rspccva 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑧𝑋 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧) ∧ 𝑠𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑠)) ⇝ (𝐺𝑠))
160154, 159sylan 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑠)) ⇝ (𝐺𝑠))
161 simprll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑧𝑋)
162 simprlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
163 simprr3 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))))
164 simplll 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
166 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → 𝑤 ∈ ℝ+)
167163, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑤 ∈ ℝ+)
168 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))
169163, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))
170169simpld 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑢 < 𝑤)
171169simprd 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)
172 simpr3 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))
173163, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))
174173simprd 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)
175 simprr1 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑛𝑍)
176 simprr2 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))
177176simpld 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2))
178176simprd 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2))
179 simpr1 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}))
180163, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}))
181180eldifad 3843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑣𝑋)
182173simpld 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑣𝑧)
183 simpr2 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
184163, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
185182, 184mpand 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → ((abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤 → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
1862, 3, 4, 5, 6, 160, 8, 161, 162, 165, 167, 170, 171, 174, 175, 177, 178, 181, 182, 185ulmdvlem1 24694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
187186anassrs 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
188153, 187sylanb 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
189152, 188sylan2br 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2))) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
190189anassrs 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
191190anassrs 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ ((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
192151, 191sylanb 573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
1931923exp2 1334 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → (((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) → ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))))
194193imp 398 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → (((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) → ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
195 fveq2 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑣 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑣))
196195oveq1d 6993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) = ((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)))
197196, 101oveq12d 6996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑣 → (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)) = (((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)))
198 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))
199 ovex 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) ∈ V
200197, 198, 199fvmpt 6597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) = (((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)))
201200fvoveq1d 7000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) = (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))))
202201breq1d 4940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟 ↔ (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
203202imbi2d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → (((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟) ↔ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
204203adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → (((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟) ↔ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
205194, 204sylibrd 251 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → (((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) → ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
206205ralimdva 3127 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) → ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
207206impr 447 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
208207an32s 639 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) → ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
209 cnxmet 23087 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
210 xmetres2 22677 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
211209, 138, 210sylancr 578 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
212211ad3antrrr 717 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
21319cnfldtop 23098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
214 resttop 21475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
215213, 3, 214sylancr 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
21619cnfldtopon 23097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
217 resttopon 21476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
218216, 11, 217sylancr 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
219 toponuni 21229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
220218, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
221132, 220sseqtrd 3899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
222 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
223222ntrss2 21372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
224215, 221, 223syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
225224, 26eqssd 3877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋)
226222isopn3 21381 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ↔ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋))
227215, 221, 226syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ↔ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋))
228225, 227mpbird 249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
229 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
23019cnfldtopn 23096 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
231 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))
232229, 230, 231metrest 22840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
233209, 11, 232sylancr 578 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
234228, 233eleqtrd 2868 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
235234adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑋 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
236235ad3antrrr 717 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑋 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
23786ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑧𝑋)
238 simprl 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑤 ∈ ℝ+)
239231mopni3 22810 . . . . . . . . . 10 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))
240212, 236, 237, 238, 239syl31anc 1353 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))
241208, 240reximddv 3220 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
242150, 241rexlimddv 3236 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
243242rexlimdvaa 3230 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑛𝑍 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
24498, 243syl5 34 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
24578, 95, 244mp2and 686 . . . 4 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
246245ralrimiva 3132 . . 3 ((𝜑𝑧𝑋) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
2476adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
248 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
249247, 139, 248dvlem 24200 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)) ∈ ℂ)
250249fmpttd 6704 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧))):(𝑋 ∖ {𝑧})⟶ℂ)
251139ssdifssd 4011 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑧}) ⊆ ℂ)
252139, 248sseldd 3861 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ ℂ)
253250, 251, 252ellimc3 24183 . . 3 ((𝜑𝑧𝑋) → ((𝐻𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧) ↔ ((𝐻𝑧) ∈ ℂ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))))
25430, 246, 253mpbir2and 700 . 2 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝐻𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧))
25518, 19, 198, 138, 247, 137eldv 24202 . 2 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ (𝐻𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧))))
25627, 254, 255mpbir2and 700 1 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wral 3088  wrex 3089  Vcvv 3415  cdif 3828  wss 3831  {csn 4442  {cpr 4444   cuni 4713   class class class wbr 4930  cmpt 5009   × cxp 5406  dom cdm 5408  cres 5410  ccom 5412  Rel wrel 5413  Fun wfun 6184   Fn wfn 6185  wf 6186  cfv 6190  (class class class)co 6978  𝑚 cmap 8208  cc 10335  cr 10336   < clt 10476  cmin 10672   / cdiv 11100  2c2 11498  cz 11796  cuz 12061  +crp 12207  abscabs 14457  cli 14705  t crest 16553  TopOpenctopn 16554  ∞Metcxmet 20235  ballcbl 20237  MetOpencmopn 20240  fldccnfld 20250  Topctop 21208  TopOnctopon 21225  intcnt 21332   lim climc 24166   D cdv 24167  𝑢culm 24670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415  ax-addf 10416  ax-mulf 10417
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-pm 8211  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-fi 8672  df-sup 8703  df-inf 8704  df-oi 8771  df-card 9164  df-cda 9390  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-q 12166  df-rp 12208  df-xneg 12327  df-xadd 12328  df-xmul 12329  df-ioo 12561  df-ico 12563  df-icc 12564  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-fl 12980  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-limsup 14692  df-clim 14709  df-rlim 14710  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-starv 16439  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-unif 16447  df-hom 16448  df-cco 16449  df-rest 16555  df-topn 16556  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-topgen 16576  df-pt 16577  df-prds 16580  df-xrs 16634  df-qtop 16639  df-imas 16640  df-xps 16642  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-submnd 17807  df-mulg 18015  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-psmet 20242  df-xmet 20243  df-met 20244  df-bl 20245  df-mopn 20246  df-fbas 20247  df-fg 20248  df-cnfld 20251  df-top 21209  df-topon 21226  df-topsp 21248  df-bases 21261  df-cld 21334  df-ntr 21335  df-cls 21336  df-nei 21413  df-lp 21451  df-perf 21452  df-cn 21542  df-cnp 21543  df-haus 21630  df-cmp 21702  df-tx 21877  df-hmeo 22070  df-fil 22161  df-fm 22253  df-flim 22254  df-flf 22255  df-xms 22636  df-ms 22637  df-tms 22638  df-cncf 23192  df-limc 24170  df-dv 24171  df-ulm 24671
This theorem is referenced by:  ulmdv  24697
  Copyright terms: Public domain W3C validator