MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdvlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdvlem3 25667
Description: Lemma for ulmdv 25668. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmdv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
ulmdv.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
ulmdv.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem3 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdvlem3
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biidd 261 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → (𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ↔ 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
2 ulmdv.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 ulmdv.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4 ulmdv.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 ulmdv.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
6 ulmdv.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
7 ulmdv.l . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
8 ulmdv.u . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ulmdvlem2 25666 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
10 recnprss 25174 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
113, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑆 ⊆ ℂ)
135ffvelcdmda 7017 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
14 elmapi 8708 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑋) → (𝐹𝑘):𝑋⟶ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘):𝑋⟶ℂ)
16 dvbsss 25172 . . . . . . . 8 dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) ⊆ 𝑆
179, 16eqsstrrdi 3987 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑋𝑆)
18 eqid 2736 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
19 eqid 2736 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2012, 15, 17, 18, 19dvbssntr 25170 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
219, 20eqsstrrd 3971 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
2221ralrimiva 3139 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
23 uzid 12698 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
244, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2524, 2eleqtrrdi 2848 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
261, 22, 25rspcdva 3571 . . 3 (𝜑𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
2726sselda 3932 . 2 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
28 ulmcl 25646 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻𝐻:𝑋⟶ℂ)
298, 28syl 17 . . . 4 (𝜑𝐻:𝑋⟶ℂ)
3029ffvelcdmda 7017 . . 3 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝐻𝑧) ∈ ℂ)
31 breq2 5096 . . . . . . . 8 (𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠 ↔ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
32312ralbidv 3208 . . . . . . 7 (𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
3332rexralbidv 3210 . . . . . 6 (𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) → (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠 ↔ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
34 ulmrel 25643 . . . . . . . . . 10 Rel (⇝𝑢𝑋)
35 releldm 5885 . . . . . . . . . 10 ((Rel (⇝𝑢𝑋) ∧ (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) ∈ dom (⇝𝑢𝑋))
3634, 8, 35sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) ∈ dom (⇝𝑢𝑋))
37 ulmscl 25644 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻𝑋 ∈ V)
388, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ V)
39 ovex 7370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
4039rgenw 3065 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
41 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))
4241fnmpt 6624 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
4340, 42mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
44 ulmf2 25649 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍 ∧ (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
4543, 8, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
462, 4, 38, 45ulmcau2 25661 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) ∈ dom (⇝𝑢𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠))
4736, 46mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠)
482uztrn2 12702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
4948ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → 𝑛𝑍)
50 fveq2 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
5150oveq2d 7353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑛 → (𝑆 D (𝐹𝑘)) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
52 ovex 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 D (𝐹𝑛)) ∈ V
5351, 41, 52fvmpt 6931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
5449, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
5554fveq1d 6827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))
56 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))
572uztrn2 12702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
5849, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → 𝑚𝑍)
59 fveq2 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
6059oveq2d 7353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑚 → (𝑆 D (𝐹𝑘)) = (𝑆 D (𝐹𝑚)))
61 ovex 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 D (𝐹𝑚)) ∈ V
6260, 41, 61fvmpt 6931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚) = (𝑆 D (𝐹𝑚)))
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚) = (𝑆 D (𝐹𝑚)))
6463fveq1d 6827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥) = ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))
6555, 64oveq12d 7355 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → ((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥)) = (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥)))
6665fveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) = (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))))
6766breq1d 5102 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → ((abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠 ↔ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠))
6867ralbidv 3170 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))) → (∀𝑥𝑋 (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠 ↔ ∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠))
69682ralbidva 3206 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠))
7069rexbidva 3169 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠 ↔ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠))
7170ralbidv 3170 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘((((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑥) − (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑚)‘𝑥))) < 𝑠 ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠))
7247, 71mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠)
7372ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < 𝑠)
74 rphalfcl 12858 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
7574adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
76 rphalfcl 12858 . . . . . . 7 ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
7775, 76syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
7833, 73, 77rspcdva 3571 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2))
794ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
8051fveq1d 6827 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))
81 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧))
82 fvex 6838 . . . . . . . 8 ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ V
8380, 81, 82fvmpt 6931 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧))‘𝑛) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))
8483adantl 482 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧))‘𝑛) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))
8545ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
86 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑧𝑋)
872fvexi 6839 . . . . . . . . 9 𝑍 ∈ V
8887mptex 7155 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧)) ∈ V
8988a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧)) ∈ V)
9053adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
9190fveq1d 6827 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))
9291, 84eqtr4d 2779 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧))‘𝑛))
938ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
942, 79, 85, 86, 89, 92, 93ulmclm 25652 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑘))‘𝑧)) ⇝ (𝐻𝑧))
952, 79, 75, 84, 94climi2 15319 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2))
962rexanuz2 15160 . . . . . . 7 (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ↔ (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))
972r19.2uz 15162 . . . . . . 7 (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑛𝑍 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))
9896, 97sylbir 234 . . . . . 6 ((∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑛𝑍 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))
99 fveq2 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐹𝑛)‘𝑦) = ((𝐹𝑛)‘𝑣))
10099oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑣 → (((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) = (((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)))
101 oveq1 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦𝑧) = (𝑣𝑧))
102100, 101oveq12d 7355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑣 → ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)) = ((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)))
103 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))
104 ovex 7370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) ∈ V
105102, 103, 104fvmpt 6931 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) = ((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)))
106105fvoveq1d 7359 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) = (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))))
107 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) → 𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2))
108106, 107breqan12rd 5109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠 ↔ (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
109108imbi2d 340 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → (((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠) ↔ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2))))
110109ralbidva 3168 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2))))
111110rexbidv 3171 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ((𝑟 / 2) / 2) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2))))
112 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑧𝑋)
11385ffvelcdmda 7017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
11490, 113eqeltrrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑆 D (𝐹𝑛)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
115 elmapi 8708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 D (𝐹𝑛)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋) → (𝑆 D (𝐹𝑛)):𝑋⟶ℂ)
116 fdm 6660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 D (𝐹𝑛)):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D (𝐹𝑛)) = 𝑋)
117114, 115, 1163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑛)) = 𝑋)
118112, 117eleqtrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑧 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑛)))
1193ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
120 dvfg 25176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹𝑛)):dom (𝑆 D (𝐹𝑛))⟶ℂ)
121 ffun 6654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 D (𝐹𝑛)):dom (𝑆 D (𝐹𝑛))⟶ℂ → Fun (𝑆 D (𝐹𝑛)))
122 funfvbrb 6984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun (𝑆 D (𝐹𝑛)) → (𝑧 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑛)) ↔ 𝑧(𝑆 D (𝐹𝑛))((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧)))
123119, 120, 121, 1224syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑧 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑛)) ↔ 𝑧(𝑆 D (𝐹𝑛))((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧)))
124118, 123mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑧(𝑆 D (𝐹𝑛))((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))
125119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑆 ⊆ ℂ)
1265ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
127126ffvelcdmda 7017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
128 elmapi 8708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑋) → (𝐹𝑛):𝑋⟶ℂ)
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):𝑋⟶ℂ)
130 biidd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑀 → (𝑋𝑆𝑋𝑆))
13117ralrimiva 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 𝑋𝑆)
132130, 131, 25rspcdva 3571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋𝑆)
133132ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑋𝑆)
13418, 19, 103, 125, 129, 133eldv 25168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑧(𝑆 D (𝐹𝑛))((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧))))
135124, 134mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑧 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧)))
136135simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧))
137132adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑋𝑆)
13811adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
139137, 138sstrd 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
140139ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑋 ⊆ ℂ)
141129, 140, 112dvlem 25166 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)) ∈ ℂ)
142141fmpttd 7045 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧))):(𝑋 ∖ {𝑧})⟶ℂ)
143140ssdifssd 4089 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑋 ∖ {𝑧}) ⊆ ℂ)
144140, 112sseldd 3933 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑧 ∈ ℂ)
145142, 143, 144ellimc3 25149 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧) ↔ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠))))
146136, 145mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠)))
147146simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ ((((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < 𝑠))
14877adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
149111, 147, 148rspcdva 3571 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
150149adantrr 714 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
151 anass 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ↔ ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ ((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)))
152 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))) ↔ ((𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2))) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))
153 anass 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)))
1547ralrimiva 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
155 fveq2 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑠 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑠))
156155mpteq2dv 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑠 → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑠)))
157 fveq2 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑠 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑠))
158156, 157breq12d 5105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑠 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧) ↔ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑠)) ⇝ (𝐺𝑠)))
159158rspccva 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑧𝑋 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧) ∧ 𝑠𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑠)) ⇝ (𝐺𝑠))
160154, 159sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑠)) ⇝ (𝐺𝑠))
161 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑧𝑋)
162 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
163 simprr3 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))))
164 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
166 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → 𝑤 ∈ ℝ+)
167163, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑤 ∈ ℝ+)
168 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))
169163, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))
170169simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑢 < 𝑤)
171169simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)
172 simpr3 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))
173163, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))
174173simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)
175 simprr1 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑛𝑍)
176 simprr2 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))
177176simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2))
178176simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2))
179 simpr1 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}))
180163, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}))
181180eldifad 3910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑣𝑋)
182173simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → 𝑣𝑧)
183 simpr2 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
184163, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
185182, 184mpand 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → ((abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤 → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))
1862, 3, 4, 5, 6, 160, 8, 161, 162, 165, 167, 170, 171, 174, 175, 177, 178, 181, 182, 185ulmdvlem1 25665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
187186anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
188153, 187sylanb 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
189152, 188sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2))) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
190189anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢)))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
191190anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ ((𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
192151, 191sylanb 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ∧ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) ∧ (𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢))) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)
1931923exp2 1353 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → (((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) → ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))))
194193imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → (((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) → ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
195 fveq2 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑣 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑣))
196195oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) = ((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)))
197196, 101oveq12d 7355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑣 → (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)) = (((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)))
198 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))
199 ovex 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) ∈ V
200197, 198, 199fvmpt 6931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) = (((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)))
201200fvoveq1d 7359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) = (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))))
202201breq1d 5102 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟 ↔ (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
203202imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) → (((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟) ↔ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
204203adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → (((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟) ↔ ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐺𝑣) − (𝐺𝑧)) / (𝑣𝑧)) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
205194, 204sylibrd 258 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → (((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) → ((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
206205ralimdva 3160 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)) → ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
207206impr 455 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
208207an32s 649 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))) → ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
209 cnxmet 24042 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
210 xmetres2 23620 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
211209, 138, 210sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
212211ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
21319cnfldtop 24053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
214 resttop 22417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
215213, 3, 214sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
21619cnfldtopon 24052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
217 resttopon 22418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
218216, 11, 217sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
219 toponuni 22169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
220218, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
221132, 220sseqtrd 3972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
222 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
223222ntrss2 22314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
224215, 221, 223syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
225224, 26eqssd 3949 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋)
226222isopn3 22323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ↔ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋))
227215, 221, 226syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ↔ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋))
228225, 227mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
229 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
23019cnfldtopn 24051 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
231 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))
232229, 230, 231metrest 23786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
233209, 11, 232sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
234228, 233eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
235234adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑋 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
236235ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑋 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
23786ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑧𝑋)
238 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑤 ∈ ℝ+)
239231mopni3 23756 . . . . . . . . . 10 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))
240212, 236, 237, 238, 239syl31anc 1372 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ (𝑢 < 𝑤 ∧ (𝑧(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑢) ⊆ 𝑋))
241208, 240reximddv 3164 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑤) → (abs‘(((((𝐹𝑛)‘𝑣) − ((𝐹𝑛)‘𝑧)) / (𝑣𝑧)) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧))) < ((𝑟 / 2) / 2)))) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
242150, 241rexlimddv 3154 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)))) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
243242rexlimdvaa 3149 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑛𝑍 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
24498, 243syl5 34 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑟 / 2) / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑧) − (𝐻𝑧))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟)))
24578, 95, 244mp2and 696 . . . 4 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
246245ralrimiva 3139 . . 3 ((𝜑𝑧𝑋) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))
2476adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
248 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
249247, 139, 248dvlem 25166 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})) → (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)) ∈ ℂ)
250249fmpttd 7045 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧))):(𝑋 ∖ {𝑧})⟶ℂ)
251139ssdifssd 4089 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑧}) ⊆ ℂ)
252139, 248sseldd 3933 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ ℂ)
253250, 251, 252ellimc3 25149 . . 3 ((𝜑𝑧𝑋) → ((𝐻𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧) ↔ ((𝐻𝑧) ∈ ℂ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧})((𝑣𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝑧)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧)))‘𝑣) − (𝐻𝑧))) < 𝑟))))
25430, 246, 253mpbir2and 710 . 2 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝐻𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧))
25518, 19, 198, 138, 247, 137eldv 25168 . 2 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ (𝐻𝑧) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝑧}) ↦ (((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)) / (𝑦𝑧))) lim 𝑧))))
25627, 254, 255mpbir2and 710 1 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3441  cdif 3895  wss 3898  {csn 4573  {cpr 4575   cuni 4852   class class class wbr 5092  cmpt 5175   × cxp 5618  dom cdm 5620  cres 5622  ccom 5624  Rel wrel 5625  Fun wfun 6473   Fn wfn 6474  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  m cmap 8686  cc 10970  cr 10971   < clt 11110  cmin 11306   / cdiv 11733  2c2 12129  cz 12420  cuz 12683  +crp 12831  abscabs 15044  cli 15292  t crest 17228  TopOpenctopn 17229  ∞Metcxmet 20688  ballcbl 20690  MetOpencmopn 20693  fldccnfld 20703  Topctop 22148  TopOnctopon 22165  intcnt 22274   lim climc 25132   D cdv 25133  𝑢culm 25641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-fi 9268  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-limsup 15279  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-haus 22572  df-cmp 22644  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-limc 25136  df-dv 25137  df-ulm 25642
This theorem is referenced by:  ulmdv  25668
  Copyright terms: Public domain W3C validator