MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmval 25755
Description: Express the predicate: The sequence of functions 𝐹 converges uniformly to 𝐺 on 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmval (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑧,𝐹   𝑗,𝐺,π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑧   𝑆,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑧   𝑛,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑧,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem ulmval
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmrel 25753 . . . 4 Rel (β‡π‘’β€˜π‘†)
21brrelex12i 5692 . . 3 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
32a1i 11 . 2 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V)))
4 3simpa 1149 . . . 4 ((𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚))
5 fvex 6860 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜π‘›) ∈ V
6 fex 7181 . . . . . . 7 ((𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
75, 6mpan2 690 . . . . . 6 (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ V)
87a1i 11 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ V))
9 fex 7181 . . . . . 6 ((𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ V)
109expcom 415 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ β†’ 𝐺 ∈ V))
118, 10anim12d 610 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V)))
124, 11syl5 34 . . 3 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V)))
1312rexlimdvw 3158 . 2 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V)))
14 df-ulm 25752 . . . . . 6 ⇝𝑒 = (𝑠 ∈ V ↦ {βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑠) ∧ 𝑦:π‘ βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑠 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)})
15 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ (β„‚ ↑m 𝑠) = (β„‚ ↑m 𝑆))
1615feq3d 6660 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑠) ↔ 𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)))
17 feq2 6655 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑦:π‘ βŸΆβ„‚ ↔ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚))
18 raleq 3312 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑠 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯))
1918rexralbidv 3215 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑠 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯))
2019ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑠 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯))
2116, 17, 203anbi123d 1437 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑠) ∧ 𝑦:π‘ βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑠 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯) ↔ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)))
2221rexbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑠) ∧ 𝑦:π‘ βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑠 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)))
2322opabbidv 5176 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ {βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑠) ∧ 𝑦:π‘ βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑠 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)} = {βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)})
24 elex 3466 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ 𝑆 ∈ V)
25 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)) β†’ 𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
26 uzssz 12791 . . . . . . . . . . . . 13 (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† β„€
27 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„‚ ↑m 𝑆) ∈ V
28 zex 12515 . . . . . . . . . . . . . 14 β„€ ∈ V
29 elpm2r 8790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((β„‚ ↑m 𝑆) ∈ V ∧ β„€ ∈ V) ∧ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† β„€)) β†’ 𝑓 ∈ ((β„‚ ↑m 𝑆) ↑pm β„€))
3027, 28, 29mpanl12 701 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† β„€) β†’ 𝑓 ∈ ((β„‚ ↑m 𝑆) ↑pm β„€))
3125, 26, 30sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)) β†’ 𝑓 ∈ ((β„‚ ↑m 𝑆) ↑pm β„€))
32 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)) β†’ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚)
33 cnex 11139 . . . . . . . . . . . . . 14 β„‚ ∈ V
34 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
35 elmapg 8785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚))
3633, 34, 35sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚))
3732, 36mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
3831, 37jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)) β†’ (𝑓 ∈ ((β„‚ ↑m 𝑆) ↑pm β„€) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ ↑m 𝑆)))
3938ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ (𝑓 ∈ ((β„‚ ↑m 𝑆) ↑pm β„€) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))))
4039rexlimdvw 3158 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ (𝑓 ∈ ((β„‚ ↑m 𝑆) ↑pm β„€) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))))
4140ssopab2dv 5513 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ {βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)} βŠ† {βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ (𝑓 ∈ ((β„‚ ↑m 𝑆) ↑pm β„€) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))})
42 df-xp 5644 . . . . . . . 8 (((β„‚ ↑m 𝑆) ↑pm β„€) Γ— (β„‚ ↑m 𝑆)) = {βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ (𝑓 ∈ ((β„‚ ↑m 𝑆) ↑pm β„€) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))}
4341, 42sseqtrrdi 4000 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ {βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)} βŠ† (((β„‚ ↑m 𝑆) ↑pm β„€) Γ— (β„‚ ↑m 𝑆)))
44 ovex 7395 . . . . . . . . 9 ((β„‚ ↑m 𝑆) ↑pm β„€) ∈ V
4544, 27xpex 7692 . . . . . . . 8 (((β„‚ ↑m 𝑆) ↑pm β„€) Γ— (β„‚ ↑m 𝑆)) ∈ V
4645ssex 5283 . . . . . . 7 ({βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)} βŠ† (((β„‚ ↑m 𝑆) ↑pm β„€) Γ— (β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ {βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)} ∈ V)
4743, 46syl 17 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ {βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)} ∈ V)
4814, 23, 24, 47fvmptd3 6976 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (β‡π‘’β€˜π‘†) = {βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)})
4948breqd 5121 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ 𝐹{βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)}𝐺))
50 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ 𝑓 = 𝐹)
5150feq1d 6658 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ↔ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)))
52 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ 𝑦 = 𝐺)
5352feq1d 6658 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ (𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ↔ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚))
5450fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
5554fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
5652fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ (π‘¦β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
5755, 56oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))
5857fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))))
5958breq1d 5120 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ ((absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
6059ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
6160rexralbidv 3215 . . . . . . . 8 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
6261ralbidv 3175 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
6351, 53, 623anbi123d 1437 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ ((𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯) ↔ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
6463rexbidv 3176 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
65 eqid 2737 . . . . 5 {βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)} = {βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)}
6664, 65brabga 5496 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) β†’ (𝐹{βŸ¨π‘“, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑓:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑦:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘§))) < π‘₯)}𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
6749, 66sylan9bb 511 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V)) β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
6867ex 414 . 2 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))))
693, 13, 68pm5.21ndd 381 1 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  {copab 5172   Γ— cxp 5636  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772   ↑pm cpm 8773  β„‚cc 11056   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  abscabs 15126  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-pm 8775  df-neg 11395  df-z 12507  df-uz 12771  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  ulmcl  25756  ulmf  25757  ulm2  25760
  Copyright terms: Public domain W3C validator