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Theorem ulmcau 25770
Description: A sequence of functions converges uniformly iff it is uniformly Cauchy, which is to say that for every 0 < π‘₯ there is a 𝑗 such that for all 𝑗 ≀ π‘˜ the functions 𝐹(π‘˜) and 𝐹(𝑗) are uniformly within π‘₯ of each other on 𝑆. This is the four-quantifier version, see ulmcau2 25771 for the more conventional five-quantifier version. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmcau.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmcau.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
ulmcau.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ulmcau (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑧,𝐹   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝑆,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝑗,𝑀,π‘˜,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑧,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem ulmcau
Dummy variables 𝑔 π‘š 𝑛 𝑝 π‘ž π‘Ÿ 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5859 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘” 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔))
21ibi 267 . . 3 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘” 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔)
3 ulmcau.z . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 ulmcau.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
54ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 ulmcau.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
76ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
8 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
9 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = (π‘”β€˜π‘§))
10 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔)
11 rphalfcl 12949 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
1211adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
133, 5, 7, 8, 9, 10, 12ulmi 25761 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2))
14 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
1514, 3eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
16 eluzelz 12780 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
17 uzid 12785 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
18 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
1918fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))
2019fvoveq1d 7384 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))))
2120breq1d 5120 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
2221ralbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
2322rspcv 3580 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
2415, 16, 17, 234syl 19 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
25 r19.26 3115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
267ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
28 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
3029ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
31 ulmcl 25756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔 β†’ 𝑔:π‘†βŸΆβ„‚)
3231ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑔:π‘†βŸΆβ„‚)
3332ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘”β€˜π‘§) ∈ β„‚)
3430, 33abssubd 15345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) = (absβ€˜((π‘”β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))))
3534breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ↔ (absβ€˜((π‘”β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ (absβ€˜((π‘”β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
373uztrn2 12789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
38 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
397, 37, 38syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
4039anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
41 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
4342ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
44 rpre 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4544ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
46 abs3lem 15230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) ∈ β„‚) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜((π‘”β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
4743, 30, 33, 45, 46syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜((π‘”β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
4836, 47sylan2d 606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
4948ancomsd 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5049ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5125, 50biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5251expdimp 454 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5352an32s 651 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5453ralimdva 3165 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5554ex 414 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯)))
5655com23 86 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯)))
5724, 56mpdd 43 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5857reximdva 3166 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5913, 58mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯)
6059ralrimiva 3144 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯)
6160ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
6261exlimdv 1937 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘” 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
632, 62syl5 34 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
64 ulmrel 25753 . . . 4 Rel (β‡π‘’β€˜π‘†)
65 ulmcau.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
663, 4, 65, 6ulmcaulem 25769 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
6766biimpa 478 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯)
68 rphalfcl 12949 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
69 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (π‘Ÿ / 2) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
7069ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘Ÿ / 2) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
71702ralbidv 3213 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘Ÿ / 2) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
7271rexbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (π‘Ÿ / 2) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
73 ralcom 3275 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2))
74 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
75 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§))
76 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))
7775, 76oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = 𝑧 β†’ (((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)) = (((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)))
7877fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))))
7978breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
8079cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2))
81 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘ž = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = (πΉβ€˜π‘˜))
8281fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘ž = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
8382fvoveq1d 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ž = π‘˜ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))))
8483breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ž = π‘˜ β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
8584ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
8680, 85bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
8774, 86raleqbidv 3322 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
8873, 87bitrid 283 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
8988cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2))
90 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑗 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
9190raleqdv 3316 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
9289, 91bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
9392cbvrexvw 3229 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2))
9472, 93bitr4di 289 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (π‘Ÿ / 2) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2)))
9594rspccva 3583 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2))
9667, 68, 95syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2))
973uztrn2 12789 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ 𝑍 ∧ π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘ž ∈ 𝑍)
98 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„€β‰₯β€˜π‘ž) = (β„€β‰₯β€˜π‘ž)
99 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘ž ∈ β„€)
10099, 3eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž ∈ 𝑍 β†’ π‘ž ∈ β„€)
101100ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ π‘ž ∈ β„€)
10268adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
104 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ π‘ž ∈ 𝑍)
1053uztrn2 12789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ž ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
106104, 105sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
107 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘š))
108107fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
109 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))
110 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ∈ V
111108, 109, 110fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))β€˜π‘š) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
112106, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))β€˜π‘š) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
1136adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
114113ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
115 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘›):π‘†βŸΆβ„‚)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):π‘†βŸΆβ„‚)
117116ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
118117an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
119118fmpttd 7068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)):π‘βŸΆβ„‚)
120119ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) ∈ β„‚)
121 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
122 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))
123121, 122oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑦 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦)))
124123fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 𝑦 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))))
125124breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
126125rspcv 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
127126ralimdv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
128127reximdv 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
129128ralimdv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
130129impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯)
131130adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯)
132 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘ž = π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜))
133132fvoveq1d 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘ž = π‘˜ β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) = (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))))
134133breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘ž = π‘˜ β†’ ((absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ))
135134cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ)
136 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑝 = 𝑗 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))
137136oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑝 = 𝑗 β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘)) = (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—)))
138137fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑝 = 𝑗 β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) = (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))))
139138breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑝 = 𝑗 β†’ ((absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ))
14090, 139raleqbidv 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ))
141135, 140bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ))
142141cbvrexvw 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ)
143 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
144143fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
145 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))
146 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) ∈ V
147144, 145, 146fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
14837, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
149 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘—))
150149fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))
151 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦) ∈ V
152150, 145, 151fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))
153152adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))
154148, 153oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—)) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦)))
155154fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))))
156155breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ))
157156ralbidva 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ))
158157rexbiia 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ)
159142, 158bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ)
160 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ÿ = π‘₯ β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
161160ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ÿ = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
162161rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ÿ = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
163159, 162bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ÿ = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
164163cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯)
165131, 164sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ)
1663fvexi 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 ∈ V
167166mptex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ V
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ V)
1693, 120, 165, 168caucvg 15570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ )
170169ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ )
171170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ )
172 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))
173172mpteq2dv 5212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)))
174173eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ ))
175174rspccva 3583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ )
176171, 175sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ )
177 climdm 15443 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ⇝ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))
178176, 177sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ⇝ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))
17998, 101, 103, 112, 178climi2 15400 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘£)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2))
18098r19.29uz 15242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘£)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘£)((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)))
18198r19.2uz 15243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘£ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘£)((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)))
182180, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘£)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)))
1836ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
184183ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
185 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘ž) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘ž):π‘†βŸΆβ„‚)
186184, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘ž):π‘†βŸΆβ„‚)
187186ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
188187adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
189 climcl 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ⇝ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))) β†’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))) ∈ β„‚)
190178, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))) ∈ β„‚)
191190adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))) ∈ β„‚)
1926ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
193192, 106ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
194 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘š) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘š):π‘†βŸΆβ„‚)
195193, 194syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ (πΉβ€˜π‘š):π‘†βŸΆβ„‚)
196 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑆)
197195, 196ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
198 rpre 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
199198ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
200 abs3lem 15230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) ∈ β„‚ ∧ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))) ∈ β„‚) ∧ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ)) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
201188, 191, 197, 199, 200syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
202201rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
203182, 202syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘£)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
204179, 203mpan2d 693 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
205204ralimdva 3165 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
20697, 205sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
207206anassrs 469 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
208207ralimdva 3165 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) β†’ βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
209208reximdva 3166 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
21096, 209mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ)
211210ralrimiva 3144 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ)
2124adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
213 eqidd 2738 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ (π‘ž ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€))
214173fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑀 β†’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))) = ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))
215 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))
216 fvex 6860 . . . . . . . 8 ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))) ∈ V
217214, 215, 216fvmpt 6953 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))β€˜π‘€) = ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))
218217adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))β€˜π‘€) = ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))
219 climdm 15443 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))
220169, 219sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))
221 climcl 15388 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))) β†’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
222220, 221syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
223222fmpttd 7068 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))):π‘†βŸΆβ„‚)
22465adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
2253, 212, 113, 213, 218, 223, 224ulm2 25760 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
226211, 225mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))))
227 releldm 5904 . . . 4 ((Rel (β‡π‘’β€˜π‘†) ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†))
22864, 226, 227sylancr 588 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†))
229228ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†)))
23063, 229impbid 211 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  Rel wrel 5643  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  β„cr 11057   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  abscabs 15126   ⇝ cli 15373  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-ulm 25752
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