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Theorem ulmcau 26131
Description: A sequence of functions converges uniformly iff it is uniformly Cauchy, which is to say that for every 0 < π‘₯ there is a 𝑗 such that for all 𝑗 ≀ π‘˜ the functions 𝐹(π‘˜) and 𝐹(𝑗) are uniformly within π‘₯ of each other on 𝑆. This is the four-quantifier version, see ulmcau2 26132 for the more conventional five-quantifier version. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmcau.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmcau.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
ulmcau.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ulmcau (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑧,𝐹   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝑆,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝑗,𝑀,π‘˜,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑧,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem ulmcau
Dummy variables 𝑔 π‘š 𝑛 𝑝 π‘ž π‘Ÿ 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5898 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘” 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔))
21ibi 266 . . 3 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘” 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔)
3 ulmcau.z . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 ulmcau.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
54ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 ulmcau.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
76ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
8 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
9 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘”β€˜π‘§) = (π‘”β€˜π‘§))
10 simplr 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔)
11 rphalfcl 13005 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
1211adantl 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
133, 5, 7, 8, 9, 10, 12ulmi 26122 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2))
14 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
1514, 3eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
16 eluzelz 12836 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
17 uzid 12841 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
18 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
1918fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))
2019fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))))
2120breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
2221ralbidv 3177 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
2322rspcv 3608 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
2415, 16, 17, 234syl 19 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
25 r19.26 3111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
267ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
28 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
3029ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
31 ulmcl 26117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔 β†’ 𝑔:π‘†βŸΆβ„‚)
3231ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑔:π‘†βŸΆβ„‚)
3332ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘”β€˜π‘§) ∈ β„‚)
3430, 33abssubd 15404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) = (absβ€˜((π‘”β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))))
3534breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ↔ (absβ€˜((π‘”β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ (absβ€˜((π‘”β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)))
373uztrn2 12845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
38 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
397, 37, 38syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
4039anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
41 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
4342ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
44 rpre 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4544ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
46 abs3lem 15289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) ∈ β„‚) ∧ ((π‘”β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜((π‘”β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
4743, 30, 33, 45, 46syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜((π‘”β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
4836, 47sylan2d 605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
4948ancomsd 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5049ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5125, 50biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5251expdimp 453 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5352an32s 650 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5453ralimdva 3167 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5554ex 413 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯)))
5655com23 86 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯)))
5724, 56mpdd 43 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5857reximdva 3168 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (π‘”β€˜π‘§))) < (π‘₯ / 2) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
5913, 58mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯)
6059ralrimiva 3146 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯)
6160ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
6261exlimdv 1936 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘” 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑔 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
632, 62syl5 34 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
64 ulmrel 26114 . . . 4 Rel (β‡π‘’β€˜π‘†)
65 ulmcau.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
663, 4, 65, 6ulmcaulem 26130 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯))
6766biimpa 477 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯)
68 rphalfcl 13005 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
69 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (π‘Ÿ / 2) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
7069ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘Ÿ / 2) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
71702ralbidv 3218 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘Ÿ / 2) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
7271rexbidv 3178 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (π‘Ÿ / 2) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
73 ralcom 3286 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2))
74 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘ž) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
75 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§))
76 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))
7775, 76oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = 𝑧 β†’ (((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)) = (((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)))
7877fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))))
7978breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
8079cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2))
81 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘ž = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = (πΉβ€˜π‘˜))
8281fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘ž = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
8382fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ž = π‘˜ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))))
8483breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ž = π‘˜ β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
8584ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
8680, 85bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
8774, 86raleqbidv 3342 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
8873, 87bitrid 282 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
8988cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2))
90 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑗 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
9190raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
9289, 91bitrid 282 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2)))
9392cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < (π‘Ÿ / 2))
9472, 93bitr4di 288 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (π‘Ÿ / 2) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2)))
9594rspccva 3611 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) < π‘₯ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2))
9667, 68, 95syl2an 596 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2))
973uztrn2 12845 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ 𝑍 ∧ π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘ž ∈ 𝑍)
98 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„€β‰₯β€˜π‘ž) = (β„€β‰₯β€˜π‘ž)
99 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘ž ∈ β„€)
10099, 3eleq2s 2851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž ∈ 𝑍 β†’ π‘ž ∈ β„€)
101100ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ π‘ž ∈ β„€)
10268adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
103102ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
104 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ π‘ž ∈ 𝑍)
1053uztrn2 12845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ž ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
106104, 105sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
107 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘š))
108107fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
109 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))
110 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ∈ V
111108, 109, 110fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))β€˜π‘š) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
112106, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))β€˜π‘š) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
1136adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
114113ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
115 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘›):π‘†βŸΆβ„‚)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):π‘†βŸΆβ„‚)
117116ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
118117an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
119118fmpttd 7116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)):π‘βŸΆβ„‚)
120119ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) ∈ β„‚)
121 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
122 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))
123121, 122oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑦 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦)))
124123fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 𝑦 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))))
125124breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
126125rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
127126ralimdv 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
128127reximdv 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
129128ralimdv 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
130129impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯)
131130adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯)
132 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘ž = π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜))
133132fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘ž = π‘˜ β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) = (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))))
134133breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘ž = π‘˜ β†’ ((absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ))
135134cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ)
136 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑝 = 𝑗 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))
137136oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑝 = 𝑗 β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘)) = (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—)))
138137fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑝 = 𝑗 β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) = (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))))
139138breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑝 = 𝑗 β†’ ((absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ))
14090, 139raleqbidv 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ))
141135, 140bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ))
142141cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ)
143 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
144143fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
145 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))
146 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) ∈ V
147144, 145, 146fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
14837, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
149 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘—))
150149fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))
151 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦) ∈ V
152150, 145, 151fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))
153152adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))
154148, 153oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—)) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦)))
155154fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))))
156155breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ))
157156ralbidva 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ))
158157rexbiia 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘—))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ)
159142, 158bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ)
160 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ÿ = π‘₯ β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
161160ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ÿ = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
162161rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ÿ = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
163159, 162bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ÿ = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯))
164163cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘¦))) < π‘₯)
165131, 164sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘ž) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘))) < π‘Ÿ)
1663fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 ∈ V
167166mptex 7227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ V
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ V)
1693, 120, 165, 168caucvg 15629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ )
170169ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ )
171170ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ )
172 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))
173172mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)))
174173eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ ))
175174rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ )
176171, 175sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ )
177 climdm 15502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ⇝ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))
178176, 177sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ⇝ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))
17998, 101, 103, 112, 178climi2 15459 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘£)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2))
18098r19.29uz 15301 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘£)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘£)((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)))
18198r19.2uz 15302 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘£ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘£)((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)))
182180, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘£)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)))
1836ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
184183ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
185 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘ž) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘ž):π‘†βŸΆβ„‚)
186184, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘ž):π‘†βŸΆβ„‚)
187186ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
188187adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
189 climcl 15447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) ⇝ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))) β†’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))) ∈ β„‚)
190178, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))) ∈ β„‚)
191190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))) ∈ β„‚)
1926ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
193192, 106ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
194 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘š) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘š):π‘†βŸΆβ„‚)
195193, 194syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ (πΉβ€˜π‘š):π‘†βŸΆβ„‚)
196 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑆)
197195, 196ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
198 rpre 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
199198ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
200 abs3lem 15289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) ∈ β„‚ ∧ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))) ∈ β„‚) ∧ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ)) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
201188, 191, 197, 199, 200syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
202201rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
203182, 202syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘£)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
204179, 203mpan2d 692 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
205204ralimdva 3167 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘ž ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
20697, 205sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
207206anassrs 468 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
208207ralimdva 3167 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) β†’ βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
209208reximdva 3168 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ž)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))) < (π‘Ÿ / 2) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
21096, 209mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ)
211210ralrimiva 3146 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ)
2124adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
213 eqidd 2733 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ (π‘ž ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€))
214173fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑀 β†’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))) = ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))
215 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))
216 fvex 6904 . . . . . . . 8 ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))) ∈ V
217214, 215, 216fvmpt 6998 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))β€˜π‘€) = ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))
218217adantl 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))β€˜π‘€) = ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))
219 climdm 15502 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))
220169, 219sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))
221 climcl 15447 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))) β†’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
222220, 221syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
223222fmpttd 7116 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))):π‘†βŸΆβ„‚)
22465adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
2253, 212, 113, 213, 218, 223, 224ulm2 26121 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘ž)β€˜π‘€) βˆ’ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))))) < π‘Ÿ))
226211, 225mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))))
227 releldm 5943 . . . 4 ((Rel (β‡π‘’β€˜π‘†) ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)(𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†))
22864, 226, 227sylancr 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†))
229228ex 413 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†)))
23063, 229impbid 211 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  Rel wrel 5681  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  β„cr 11111   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  abscabs 15185   ⇝ cli 15432  β‡π‘’culm 26112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-ulm 26113
This theorem is referenced by:  ulmcau2  26132  mtest  26140
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