Theorem umgr2v2eiedg 29607

Description: The edge function in a multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2eiedg	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})

Proof of Theorem umgr2v2eiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2v2evtx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
2	1	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩)
3		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ 𝑊)
4		prex 5375	. . 3 ⊢ {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩} ∈ V
5		opiedgfv 29090	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
6	3, 4, 5	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
7	2, 6	eqtrid 2784	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {cpr 4570  ⟨cop 4574  ‘cfv 6492  0cc0 11029  1c1 11030  iEdgciedg 29080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-2nd 7936  df-iedg 29082

This theorem is referenced by:  umgr2v2eedg  29608  umgr2v2e  29609  umgr2v2evd2  29611