Theorem umgr2v2eedg 30110

Description: The set of edges in a multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2eedg	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Edg‘𝐺) = {{𝐴, 𝐵}})

Proof of Theorem umgr2v2eedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 29632	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
3		umgr2v2evtx.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
4	3	umgr2v2eiedg 30109	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
5	4	rneqd 5919	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
6		c0ex 11303	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7		1ex 11306	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
8		rnpropg 6223	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → ran {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩} = {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
9	6, 7, 8	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ran {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩} = {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ran {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩} = {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
11		dfsn2 4593	. . 3 ⊢ {{𝐴, 𝐵}} = {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
12	10, 11	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ran {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩} = {{𝐴, 𝐵}})
13	2, 5, 12	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Edg‘𝐺) = {{𝐴, 𝐵}})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4834  ran crn 5651  ‘cfv 6538  0cc0 11203  1c1 11204  iEdgciedg 29580  Edgcedg 29630

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-mulcl 11265  ax-i2m1 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-2nd 8002  df-iedg 29582  df-edg 29631

This theorem is used by:  umgr2v2enb1  30112