Theorem umgr2v2evd2 29621

Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has degree 2. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2evd2	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = 2)

Proof of Theorem umgr2v2evd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2v2evtx.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
2	1	umgr2v2e 29619	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)
3	1	umgr2v2evtxel 29616	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
4	3	3adant3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8		eqid 2740	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
10	6, 7, 8, 9	vtxdumgrval 29580	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
11	2, 5, 10	syl2anc 590	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
12	1	umgr2v2eiedg 29617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
13	12	dmeqd 5854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
14		prex 5374	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
15	14, 14	dmprop 6175	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩} = {0, 1}
16	13, 15	eqtrdi 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → dom (iEdg‘𝐺) = {0, 1})
17	12	fveq1d 6836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
18	17	eleq2d 2826	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)))
19	16, 18	rabeqbidv 3410	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)})
20	19	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}))
21		prid1g 4699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
22		0ne1 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 1
23		c0ex 11136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
24	23, 14	fvpr1 7143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) = {𝐴, 𝐵})
25	22, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) = {𝐴, 𝐵}
26	21, 25	eleqtrrdi 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0))
27		1ex 11138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
28	27, 14	fvpr2 7144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1) = {𝐴, 𝐵})
29	22, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1) = {𝐴, 𝐵}
30	21, 29	eleqtrrdi 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1))
31		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0))
32	31	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0)))
33		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1))
34	33	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1)))
35	23, 27, 32, 34	ralpr 4639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) ∧ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1)))
36	26, 30, 35	sylanbrc 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
37		rabid2 3425	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0, 1} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
38	36, 37	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {0, 1} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)})
39	38	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)} = {0, 1})
40	39	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = (♯‘{0, 1}))
41		prhash2ex 14359	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
42	40, 41	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = 2)
43	42	3ad2ant2 1140	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = 2)
44	20, 43	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 2)
45	44	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 2)
46	11, 45	eqtrd 2775	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  {crab 3392  {cpr 4564  ⟨cop 4568  dom cdm 5625  ‘cfv 6492  0cc0 11036  1c1 11037  2c2 12234  ♯chash 14290  Vtxcvtx 29090  iEdgciedg 29091  UMGraphcumgr 29175  VtxDegcvtxdg 29559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-xadd 13062  df-fz 13460  df-hash 14291  df-vtx 29092  df-iedg 29093  df-upgr 29176  df-umgr 29177  df-vtxdg 29560

This theorem is referenced by: (None)