Theorem umgr2v2evd2 29545

Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has degree 2. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2evd2	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = 2)

Proof of Theorem umgr2v2evd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2v2evtx.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
2	1	umgr2v2e 29543	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)
3	1	umgr2v2evtxel 29540	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
4	3	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
10	6, 7, 8, 9	vtxdumgrval 29504	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
11	2, 5, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
12	1	umgr2v2eiedg 29541	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
13	12	dmeqd 5916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
14		prex 5437	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
15	14, 14	dmprop 6237	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩} = {0, 1}
16	13, 15	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → dom (iEdg‘𝐺) = {0, 1})
17	12	fveq1d 6908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
18	17	eleq2d 2827	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)))
19	16, 18	rabeqbidv 3455	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)})
20	19	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}))
21		prid1g 4760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
22		0ne1 12337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 1
23		c0ex 11255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
24	23, 14	fvpr1 7212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) = {𝐴, 𝐵})
25	22, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) = {𝐴, 𝐵}
26	21, 25	eleqtrrdi 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0))
27		1ex 11257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
28	27, 14	fvpr2 7213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1) = {𝐴, 𝐵})
29	22, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1) = {𝐴, 𝐵}
30	21, 29	eleqtrrdi 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1))
31		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0))
32	31	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0)))
33		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1))
34	33	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1)))
35	23, 27, 32, 34	ralpr 4700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) ∧ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1)))
36	26, 30, 35	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
37		rabid2 3470	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0, 1} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
38	36, 37	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {0, 1} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)})
39	38	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)} = {0, 1})
40	39	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = (♯‘{0, 1}))
41		prhash2ex 14438	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
42	40, 41	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = 2)
43	42	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = 2)
44	20, 43	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 2)
45	44	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 2)
46	11, 45	eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3436  {cpr 4628  ⟨cop 4632  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156  2c2 12321  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  UMGraphcumgr 29098  VtxDegcvtxdg 29483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-hash 14370  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-vtxdg 29484

This theorem is referenced by: (None)