MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2v2evd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2v2evd2 28517
Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has degree 2. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g 𝐺 = βŸ¨π‘‰, {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}⟩
Assertion
Ref Expression
umgr2v2evd2 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = 2)

Proof of Theorem umgr2v2evd2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgr2v2evtx.g . . . 4 𝐺 = βŸ¨π‘‰, {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}⟩
21umgr2v2e 28515 . . 3 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
31umgr2v2evtxel 28512 . . . . 5 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
433adant3 1133 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
54adantr 482 . . 3 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 eqid 2733 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
7 eqid 2733 . . . 4 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
8 eqid 2733 . . . 4 dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom (iEdgβ€˜πΊ)
9 eqid 2733 . . . 4 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
106, 7, 8, 9vtxdumgrval 28476 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
112, 5, 10syl2anc 585 . 2 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
121umgr2v2eiedg 28513 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩})
1312dmeqd 5862 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩})
14 prex 5390 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐡} ∈ V
1514, 14dmprop 6170 . . . . . . 7 dom {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩} = {0, 1}
1613, 15eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {0, 1})
1712fveq1d 6845 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯))
1817eleq2d 2820 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)))
1916, 18rabeqbidv 3423 . . . . 5 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)})
2019fveq2d 6847 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}))
21 prid1g 4722 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐡})
22 0ne1 12229 . . . . . . . . . . . 12 0 β‰  1
23 c0ex 11154 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2423, 14fvpr1 7140 . . . . . . . . . . . 12 (0 β‰  1 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0) = {𝐴, 𝐡})
2522, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0) = {𝐴, 𝐡}
2621, 25eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0))
27 1ex 11156 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
2827, 14fvpr2 7142 . . . . . . . . . . . 12 (0 β‰  1 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1) = {𝐴, 𝐡})
2922, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1) = {𝐴, 𝐡}
3021, 29eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1))
31 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) = ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0))
3231eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0)))
33 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 1 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) = ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1))
3433eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 1 β†’ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1)))
3523, 27, 32, 34ralpr 4662 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) ↔ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0) ∧ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1)))
3626, 30, 35sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯))
37 rabid2 3435 . . . . . . . . 9 ({0, 1} = {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {0, 1} = {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)})
3938eqcomd 2739 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)} = {0, 1})
4039fveq2d 6847 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{0, 1}))
41 prhash2ex 14305 . . . . . 6 (β™―β€˜{0, 1}) = 2
4240, 41eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}) = 2)
43423ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}) = 2)
4420, 43eqtrd 2773 . . 3 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 2)
4544adantr 482 . 2 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 2)
4611, 45eqtrd 2773 1 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  0cc0 11056  1c1 11057  2c2 12213  β™―chash 14236  Vtxcvtx 27989  iEdgciedg 27990  UMGraphcumgr 28074  VtxDegcvtxdg 28455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-xadd 13039  df-fz 13431  df-hash 14237  df-vtx 27991  df-iedg 27992  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-vtxdg 28456
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator