MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2v2evd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2v2evd2 28784
Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has degree 2. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g 𝐺 = βŸ¨π‘‰, {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}⟩
Assertion
Ref Expression
umgr2v2evd2 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = 2)

Proof of Theorem umgr2v2evd2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgr2v2evtx.g . . . 4 𝐺 = βŸ¨π‘‰, {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}⟩
21umgr2v2e 28782 . . 3 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
31umgr2v2evtxel 28779 . . . . 5 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
433adant3 1133 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
54adantr 482 . . 3 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 eqid 2733 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
7 eqid 2733 . . . 4 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
8 eqid 2733 . . . 4 dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom (iEdgβ€˜πΊ)
9 eqid 2733 . . . 4 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
106, 7, 8, 9vtxdumgrval 28743 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
112, 5, 10syl2anc 585 . 2 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
121umgr2v2eiedg 28780 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩})
1312dmeqd 5906 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩})
14 prex 5433 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐡} ∈ V
1514, 14dmprop 6217 . . . . . . 7 dom {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩} = {0, 1}
1613, 15eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {0, 1})
1712fveq1d 6894 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯))
1817eleq2d 2820 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)))
1916, 18rabeqbidv 3450 . . . . 5 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)})
2019fveq2d 6896 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}))
21 prid1g 4765 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐡})
22 0ne1 12283 . . . . . . . . . . . 12 0 β‰  1
23 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2423, 14fvpr1 7191 . . . . . . . . . . . 12 (0 β‰  1 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0) = {𝐴, 𝐡})
2522, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0) = {𝐴, 𝐡}
2621, 25eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0))
27 1ex 11210 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
2827, 14fvpr2 7193 . . . . . . . . . . . 12 (0 β‰  1 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1) = {𝐴, 𝐡})
2922, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1) = {𝐴, 𝐡}
3021, 29eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1))
31 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) = ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0))
3231eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0)))
33 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 1 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) = ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1))
3433eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 1 β†’ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1)))
3523, 27, 32, 34ralpr 4705 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) ↔ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0) ∧ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1)))
3626, 30, 35sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯))
37 rabid2 3465 . . . . . . . . 9 ({0, 1} = {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {0, 1} = {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)})
3938eqcomd 2739 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)} = {0, 1})
4039fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{0, 1}))
41 prhash2ex 14359 . . . . . 6 (β™―β€˜{0, 1}) = 2
4240, 41eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}) = 2)
43423ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}) = 2)
4420, 43eqtrd 2773 . . 3 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 2)
4544adantr 482 . 2 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 2)
4611, 45eqtrd 2773 1 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544  0cc0 11110  1c1 11111  2c2 12267  β™―chash 14290  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  UMGraphcumgr 28341  VtxDegcvtxdg 28722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-xadd 13093  df-fz 13485  df-hash 14291  df-vtx 28258  df-iedg 28259  df-upgr 28342  df-umgr 28343  df-vtxdg 28723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator