MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2v2evd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2v2evd2 29052
Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has degree 2. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g 𝐺 = βŸ¨π‘‰, {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}⟩
Assertion
Ref Expression
umgr2v2evd2 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = 2)

Proof of Theorem umgr2v2evd2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgr2v2evtx.g . . . 4 𝐺 = βŸ¨π‘‰, {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}⟩
21umgr2v2e 29050 . . 3 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
31umgr2v2evtxel 29047 . . . . 5 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
433adant3 1131 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
54adantr 480 . . 3 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 eqid 2731 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
7 eqid 2731 . . . 4 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
8 eqid 2731 . . . 4 dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom (iEdgβ€˜πΊ)
9 eqid 2731 . . . 4 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
106, 7, 8, 9vtxdumgrval 29011 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
112, 5, 10syl2anc 583 . 2 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
121umgr2v2eiedg 29048 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩})
1312dmeqd 5905 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩})
14 prex 5432 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐡} ∈ V
1514, 14dmprop 6216 . . . . . . 7 dom {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩} = {0, 1}
1613, 15eqtrdi 2787 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {0, 1})
1712fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯))
1817eleq2d 2818 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)))
1916, 18rabeqbidv 3448 . . . . 5 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)})
2019fveq2d 6895 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}))
21 prid1g 4764 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐡})
22 0ne1 12288 . . . . . . . . . . . 12 0 β‰  1
23 c0ex 11213 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2423, 14fvpr1 7193 . . . . . . . . . . . 12 (0 β‰  1 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0) = {𝐴, 𝐡})
2522, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0) = {𝐴, 𝐡}
2621, 25eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0))
27 1ex 11215 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
2827, 14fvpr2 7195 . . . . . . . . . . . 12 (0 β‰  1 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1) = {𝐴, 𝐡})
2922, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1) = {𝐴, 𝐡}
3021, 29eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1))
31 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) = ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0))
3231eleq2d 2818 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0)))
33 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 1 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) = ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1))
3433eleq2d 2818 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 1 β†’ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1)))
3523, 27, 32, 34ralpr 4704 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) ↔ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0) ∧ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1)))
3626, 30, 35sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯))
37 rabid2 3463 . . . . . . . . 9 ({0, 1} = {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {0, 1} = {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)})
3938eqcomd 2737 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)} = {0, 1})
4039fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{0, 1}))
41 prhash2ex 14364 . . . . . 6 (β™―β€˜{0, 1}) = 2
4240, 41eqtrdi 2787 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}) = 2)
43423ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}) = 2)
4420, 43eqtrd 2771 . . 3 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 2)
4544adantr 480 . 2 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 2)
4611, 45eqtrd 2771 1 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  {crab 3431  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  0cc0 11114  1c1 11115  2c2 12272  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28524  iEdgciedg 28525  UMGraphcumgr 28609  VtxDegcvtxdg 28990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-xadd 13098  df-fz 13490  df-hash 14296  df-vtx 28526  df-iedg 28527  df-upgr 28610  df-umgr 28611  df-vtxdg 28991
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator