Theorem umgr2v2evd2 30138

Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has degree 2. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2evd2	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = 2)

Proof of Theorem umgr2v2evd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2v2evtx.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
2	1	umgr2v2e 30136	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)
3	1	umgr2v2evtxel 30133	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
4	3	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
10	6, 7, 8, 9	vtxdumgrval 30097	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
11	2, 5, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
12	1	umgr2v2eiedg 30134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
13	12	dmeqd 5894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
14		prex 5400	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
15	14, 14	dmprop 6231	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩} = {0, 1}
16	13, 15	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → dom (iEdg‘𝐺) = {0, 1})
17	12	fveq1d 6910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
18	17	eleq2d 2850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)))
19	16, 18	rabeqbidv 3433	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)})
20	19	fveq2d 6912	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}))
21		prid1g 4721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
22		0ne1 12441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 1
23		c0ex 11327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
24	23, 14	fvpr1 7220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) = {𝐴, 𝐵})
25	22, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) = {𝐴, 𝐵}
26	21, 25	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0))
27		1ex 11330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
28	27, 14	fvpr2 7221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1) = {𝐴, 𝐵})
29	22, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1) = {𝐴, 𝐵}
30	21, 29	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1))
31		fveq2 6908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0))
32	31	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0)))
33		fveq2 6908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1))
34	33	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1)))
35	23, 27, 32, 34	ralpr 4661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) ∧ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1)))
36	26, 30, 35	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
37		rabid2 3448	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0, 1} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
38	36, 37	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {0, 1} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)})
39	38	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)} = {0, 1})
40	39	fveq2d 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = (♯‘{0, 1}))
41		prhash2ex 14570	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
42	40, 41	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = 2)
43	42	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = 2)
44	20, 43	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 2)
45	44	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 2)
46	11, 45	eqtrd 2798	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = 2)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  {cpr 4590  ⟨cop 4838  dom cdm 5655  ‘cfv 6558  0cc0 11227  1c1 11228  2c2 12424  ♯chash 14501  Vtxcvtx 29604  iEdgciedg 29605  UMGraphcumgr 29689  VtxDegcvtxdg 30076

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-xadd 13269  df-fz 13667  df-hash 14502  df-vtx 29606  df-iedg 29607  df-upgr 29690  df-umgr 29691  df-vtxdg 30077

This theorem is used by: (None)