MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2v2evd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2v2evd2 28304
Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has degree 2. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
Assertion
Ref Expression
umgr2v2evd2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = 2)

Proof of Theorem umgr2v2evd2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgr2v2evtx.g . . . 4 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
21umgr2v2e 28302 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)
31umgr2v2evtxel 28299 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝐴𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
433adant3 1133 . . . 4 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
54adantr 482 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6 eqid 2738 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7 eqid 2738 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8 eqid 2738 . . . 4 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
9 eqid 2738 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
106, 7, 8, 9vtxdumgrval 28263 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
112, 5, 10syl2anc 585 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
121umgr2v2eiedg 28300 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
1312dmeqd 5860 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
14 prex 5388 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} ∈ V
1514, 14dmprop 6168 . . . . . . 7 dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩} = {0, 1}
1613, 15eqtrdi 2794 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → dom (iEdg‘𝐺) = {0, 1})
1712fveq1d 6842 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
1817eleq2d 2824 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)))
1916, 18rabeqbidv 3423 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)})
2019fveq2d 6844 . . . 4 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}))
21 prid1g 4720 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
22 0ne1 12183 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ 1
23 c0ex 11108 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2423, 14fvpr1 7136 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≠ 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) = {𝐴, 𝐵})
2522, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) = {𝐴, 𝐵}
2621, 25eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0))
27 1ex 11110 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
2827, 14fvpr2 7138 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≠ 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1) = {𝐴, 𝐵})
2922, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1) = {𝐴, 𝐵}
3021, 29eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1))
31 fveq2 6840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0))
3231eleq2d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0)))
33 fveq2 6840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) = ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1))
3433eleq2d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1)))
3523, 27, 32, 34ralpr 4660 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘0) ∧ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘1)))
3626, 30, 35sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → ∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
37 rabid2 3435 . . . . . . . . 9 ({0, 1} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {0, 1} = {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)})
3938eqcomd 2744 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)} = {0, 1})
4039fveq2d 6844 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = (♯‘{0, 1}))
41 prhash2ex 14253 . . . . . 6 (♯‘{0, 1}) = 2
4240, 41eqtrdi 2794 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = 2)
43423ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = 2)
4420, 43eqtrd 2778 . . 3 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 2)
4544adantr 482 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 2)
4611, 45eqtrd 2778 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐴) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  wral 3063  {crab 3406  {cpr 4587  cop 4591  dom cdm 5632  cfv 6494  0cc0 11010  1c1 11011  2c2 12167  chash 14184  Vtxcvtx 27776  iEdgciedg 27777  UMGraphcumgr 27861  VtxDegcvtxdg 28242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-dju 9796  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-n0 12373  df-xnn0 12445  df-z 12459  df-uz 12723  df-xadd 12989  df-fz 13380  df-hash 14185  df-vtx 27778  df-iedg 27779  df-upgr 27862  df-umgr 27863  df-vtxdg 28243
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator