MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2v2evd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2v2evd2 28822
Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has degree 2. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g 𝐺 = βŸ¨π‘‰, {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}⟩
Assertion
Ref Expression
umgr2v2evd2 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = 2)

Proof of Theorem umgr2v2evd2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgr2v2evtx.g . . . 4 𝐺 = βŸ¨π‘‰, {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}⟩
21umgr2v2e 28820 . . 3 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
31umgr2v2evtxel 28817 . . . . 5 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
433adant3 1132 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
54adantr 481 . . 3 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 eqid 2732 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
7 eqid 2732 . . . 4 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
8 eqid 2732 . . . 4 dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom (iEdgβ€˜πΊ)
9 eqid 2732 . . . 4 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
106, 7, 8, 9vtxdumgrval 28781 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
112, 5, 10syl2anc 584 . 2 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
121umgr2v2eiedg 28818 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩})
1312dmeqd 5905 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩})
14 prex 5432 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐡} ∈ V
1514, 14dmprop 6216 . . . . . . 7 dom {⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩} = {0, 1}
1613, 15eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {0, 1})
1712fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯))
1817eleq2d 2819 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)))
1916, 18rabeqbidv 3449 . . . . 5 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)})
2019fveq2d 6895 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}))
21 prid1g 4764 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐡})
22 0ne1 12285 . . . . . . . . . . . 12 0 β‰  1
23 c0ex 11210 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2423, 14fvpr1 7193 . . . . . . . . . . . 12 (0 β‰  1 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0) = {𝐴, 𝐡})
2522, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0) = {𝐴, 𝐡}
2621, 25eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0))
27 1ex 11212 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
2827, 14fvpr2 7195 . . . . . . . . . . . 12 (0 β‰  1 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1) = {𝐴, 𝐡})
2922, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1) = {𝐴, 𝐡}
3021, 29eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1))
31 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) = ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0))
3231eleq2d 2819 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0)))
33 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 1 β†’ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) = ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1))
3433eleq2d 2819 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 1 β†’ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) ↔ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1)))
3523, 27, 32, 34ralpr 4704 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯) ↔ (𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜0) ∧ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜1)))
3626, 30, 35sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯))
37 rabid2 3464 . . . . . . . . 9 ({0, 1} = {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {0, 1}𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {0, 1} = {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)})
3938eqcomd 2738 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)} = {0, 1})
4039fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{0, 1}))
41 prhash2ex 14361 . . . . . 6 (β™―β€˜{0, 1}) = 2
4240, 41eqtrdi 2788 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}) = 2)
43423ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {0, 1} ∣ 𝐴 ∈ ({⟨0, {𝐴, 𝐡}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐡}⟩}β€˜π‘₯)}) = 2)
4420, 43eqtrd 2772 . . 3 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 2)
4544adantr 481 . 2 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 2)
4611, 45eqtrd 2772 1 (((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΄) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  0cc0 11112  1c1 11113  2c2 12269  β™―chash 14292  Vtxcvtx 28294  iEdgciedg 28295  UMGraphcumgr 28379  VtxDegcvtxdg 28760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-xadd 13095  df-fz 13487  df-hash 14293  df-vtx 28296  df-iedg 28297  df-upgr 28380  df-umgr 28381  df-vtxdg 28761
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator