Theorem ustne0 22505

Description: A uniform structure cannot be empty. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ustne0	⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 ≠ ∅)

Proof of Theorem ustne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ustbasel 22498	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈)
2	1	ne0d 4223	1 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2080   ≠ wne 2983  ∅c0 4213   × cxp 5444  ‘cfv 6228  UnifOncust 22491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-ral 3109  df-rex 3110  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-uni 4748  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-id 5351  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-res 5458  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fv 6236  df-ust 22492

This theorem is referenced by:  utopbas  22527  cstucnd  22576