MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ustne0 23687
Description: A uniform structure cannot be empty. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ustne0 (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 ≠ ∅)

Proof of Theorem ustne0
StepHypRef Expression
1 ustbasel 23680 . 2 (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈)
21ne0d 4333 1 (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 2941  c0 4320   × cxp 5670  cfv 6535  UnifOncust 23673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-res 5684  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fv 6543  df-ust 23674
This theorem is referenced by:  utopbas  23709  cstucnd  23758
  Copyright terms: Public domain W3C validator