MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustfilxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ustfilxp 23580
Description: A uniform structure on a nonempty base is a filter. Remark 3 of [BourbakiTop1] p. II.2. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
ustfilxp ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))

Proof of Theorem ustfilxp
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6881 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
2 isust 23571 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
43ibi 267 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
54adantl 483 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
65simp1d 1143 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
75simp2d 1144 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ)
87ne0d 4296 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
95simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
109r19.21bi 3233 . . . . . . . . 9 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
1110simp3d 1145 . . . . . . . 8 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))
1211simp1d 1143 . . . . . . 7 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣)
13 opelidres 5950 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ V β†’ (βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) ↔ 𝑀 ∈ 𝑋))
1413elv 3450 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) ↔ 𝑀 ∈ 𝑋)
1514biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝑋 β†’ βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋))
1615rgen 3063 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)
17 r19.2z 4453 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋))
1816, 17mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝑋 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋))
1918ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋))
20 ne0i 4295 . . . . . . . . 9 (βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
2120rexlimivw 3145 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
23 ssn0 4361 . . . . . . 7 ((( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…) β†’ 𝑣 β‰  βˆ…)
2412, 22, 23syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑣 β‰  βˆ…)
2524nelrdva 3664 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ Β¬ βˆ… ∈ π‘ˆ)
26 df-nel 3047 . . . . 5 (βˆ… βˆ‰ π‘ˆ ↔ Β¬ βˆ… ∈ π‘ˆ)
2725, 26sylibr 233 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ… βˆ‰ π‘ˆ)
2810simp2d 1144 . . . . . . . . 9 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ)
2928r19.21bi 3233 . . . . . . . 8 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ)
30 vex 3448 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ V
3130inex2 5276 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ V
3231pwid 4583 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀))
3429, 33elind 4155 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)))
3534ne0d 4296 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…)
3635ralrimiva 3140 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…)
3736ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…)
388, 27, 373jca 1129 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…))
391, 1xpexd 7686 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
40 isfbas 23196 . . . . 5 ((𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…))))
4139, 40syl 17 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…))))
4241adantl 483 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘ˆ ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…))))
436, 38, 42mpbir2and 712 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
44 n0 4307 . . . . 5 ((π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘£ 𝑣 ∈ (π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀))
45 elin 3927 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) ↔ (𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑀))
46 velpw 4566 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ 𝒫 𝑀 ↔ 𝑣 βŠ† 𝑀)
4746anbi2i 624 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑀) ↔ (𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀))
4845, 47bitri 275 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) ↔ (𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀))
4948exbii 1851 . . . . 5 (βˆƒπ‘£ 𝑣 ∈ (π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀))
5044, 49bitri 275 . . . 4 ((π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀))
5110simp1d 1143 . . . . . . . 8 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
5251r19.21bi 3233 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
5352an32s 651 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
5453expimpd 455 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
5554exlimdv 1937 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
5650, 55biimtrid 241 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) β‰  βˆ… β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
5756ralrimiva 3140 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)((π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) β‰  βˆ… β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
58 isfil 23214 . 2 (π‘ˆ ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ (π‘ˆ ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)((π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) β‰  βˆ… β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)))
5943, 57, 58sylanbrc 584 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ‰ wnel 3046  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  βŸ¨cop 4593   I cid 5531   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  fBascfbas 20800  Filcfil 23212  UnifOncust 23567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-fbas 20809  df-fil 23213  df-ust 23568
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator