Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustfilxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ustfilxp 22825
 Description: A uniform structure on a nonempty base is a filter. Remark 3 of [BourbakiTop1] p. II.2. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
ustfilxp ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → 𝑈 ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))

Proof of Theorem ustfilxp
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6678 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2 isust 22816 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ↔ (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈 (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈 ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ↔ (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈 (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈 ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))))
43ibi 270 . . . . 5 (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈 (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈 ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣))))
54adantl 485 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈 (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈 ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣))))
65simp1d 1139 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → 𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
75simp2d 1140 . . . . 5 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → (𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈)
87ne0d 4251 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → 𝑈 ≠ ∅)
95simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → ∀𝑣𝑈 (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈 ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))
109r19.21bi 3173 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈 ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))
1110simp3d 1141 . . . . . . . 8 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣𝑈 ∧ ∃𝑤𝑈 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣))
1211simp1d 1139 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣)
13 opelidres 5830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ V → (⟨𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) ↔ 𝑤𝑋))
1413elv 3446 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) ↔ 𝑤𝑋)
1514biimpri 231 . . . . . . . . . . 11 (𝑤𝑋 → ⟨𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
1615rgen 3116 . . . . . . . . . 10 𝑤𝑋𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)
17 r19.2z 4398 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑋𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) → ∃𝑤𝑋𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
1816, 17mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑤𝑋𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
1918ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → ∃𝑤𝑋𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
20 ne0i 4250 . . . . . . . . 9 (⟨𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
2120rexlimivw 3241 . . . . . . . 8 (∃𝑤𝑋𝑤, 𝑤⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
23 ssn0 4308 . . . . . . 7 ((( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣 ∧ ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑣 ≠ ∅)
2412, 22, 23syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣 ≠ ∅)
2524nelrdva 3644 . . . . 5 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → ¬ ∅ ∈ 𝑈)
26 df-nel 3092 . . . . 5 (∅ ∉ 𝑈 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝑈)
2725, 26sylibr 237 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → ∅ ∉ 𝑈)
2810simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑤𝑈 (𝑣𝑤) ∈ 𝑈)
2928r19.21bi 3173 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑣𝑤) ∈ 𝑈)
30 vex 3444 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ V
3130inex2 5186 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝑤) ∈ V
3231pwid 4521 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑤) ∈ 𝒫 (𝑣𝑤)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑣𝑤) ∈ 𝒫 (𝑣𝑤))
3429, 33elind 4121 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑣𝑤) ∈ (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)))
3534ne0d 4251 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
3635ralrimiva 3149 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑤𝑈 (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
3736ralrimiva 3149 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → ∀𝑣𝑈𝑤𝑈 (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
388, 27, 373jca 1125 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → (𝑈 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈𝑤𝑈 (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅))
391, 1xpexd 7456 . . . . 5 (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
40 isfbas 22441 . . . . 5 ((𝑋 × 𝑋) ∈ V → (𝑈 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑈 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈𝑤𝑈 (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅))))
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑈 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑈 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈𝑤𝑈 (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅))))
4241adantl 485 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → (𝑈 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑈 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑈 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑈 ∧ ∀𝑣𝑈𝑤𝑈 (𝑈 ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅))))
436, 38, 42mpbir2and 712 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → 𝑈 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
44 n0 4260 . . . . 5 ((𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣 ∈ (𝑈 ∩ 𝒫 𝑤))
45 elin 3897 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ↔ (𝑣𝑈𝑣 ∈ 𝒫 𝑤))
46 velpw 4502 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ 𝒫 𝑤𝑣𝑤)
4746anbi2i 625 . . . . . . 7 ((𝑣𝑈𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ↔ (𝑣𝑈𝑣𝑤))
4845, 47bitri 278 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ↔ (𝑣𝑈𝑣𝑤))
4948exbii 1849 . . . . 5 (∃𝑣 𝑣 ∈ (𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ↔ ∃𝑣(𝑣𝑈𝑣𝑤))
5044, 49bitri 278 . . . 4 ((𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣(𝑣𝑈𝑣𝑤))
5110simp1d 1139 . . . . . . . 8 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → ∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤𝑈))
5251r19.21bi 3173 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) → (𝑣𝑤𝑤𝑈))
5352an32s 651 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑈) → (𝑣𝑤𝑤𝑈))
5453expimpd 457 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑣𝑈𝑣𝑤) → 𝑤𝑈))
5554exlimdv 1934 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) → (∃𝑣(𝑣𝑈𝑣𝑤) → 𝑤𝑈))
5650, 55syl5bi 245 . . 3 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ≠ ∅ → 𝑤𝑈))
5756ralrimiva 3149 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → ∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)((𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ≠ ∅ → 𝑤𝑈))
58 isfil 22459 . 2 (𝑈 ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑈 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)((𝑈 ∩ 𝒫 𝑤) ≠ ∅ → 𝑤𝑈)))
5943, 57, 58sylanbrc 586 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋)) → 𝑈 ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∉ wnel 3091  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  ⟨cop 4531   I cid 5424   × cxp 5517  ◡ccnv 5518   ↾ cres 5521   ∘ ccom 5523  ‘cfv 6324  fBascfbas 20082  Filcfil 22457  UnifOncust 22812 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-fbas 20091  df-fil 22458  df-ust 22813 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator