MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustfilxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ustfilxp 23938
Description: A uniform structure on a nonempty base is a filter. Remark 3 of [BourbakiTop1] p. II.2. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
ustfilxp ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))

Proof of Theorem ustfilxp
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6930 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
2 isust 23929 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
43ibi 266 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
54adantl 481 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
65simp1d 1141 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
75simp2d 1142 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ)
87ne0d 4336 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
95simp3d 1143 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
109r19.21bi 3247 . . . . . . . . 9 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
1110simp3d 1143 . . . . . . . 8 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))
1211simp1d 1141 . . . . . . 7 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣)
13 opelidres 5994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ V β†’ (βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) ↔ 𝑀 ∈ 𝑋))
1413elv 3479 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) ↔ 𝑀 ∈ 𝑋)
1514biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝑋 β†’ βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋))
1615rgen 3062 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)
17 r19.2z 4495 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋))
1816, 17mpan2 688 . . . . . . . . 9 (𝑋 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋))
1918ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋))
20 ne0i 4335 . . . . . . . . 9 (βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
2120rexlimivw 3150 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑋 βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
23 ssn0 4401 . . . . . . 7 ((( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…) β†’ 𝑣 β‰  βˆ…)
2412, 22, 23syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑣 β‰  βˆ…)
2524nelrdva 3702 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ Β¬ βˆ… ∈ π‘ˆ)
26 df-nel 3046 . . . . 5 (βˆ… βˆ‰ π‘ˆ ↔ Β¬ βˆ… ∈ π‘ˆ)
2725, 26sylibr 233 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ… βˆ‰ π‘ˆ)
2810simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ)
2928r19.21bi 3247 . . . . . . . 8 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ)
30 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ V
3130inex2 5319 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ V
3231pwid 4625 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀))
3429, 33elind 4195 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)))
3534ne0d 4336 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…)
3635ralrimiva 3145 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…)
3736ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…)
388, 27, 373jca 1127 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…))
391, 1xpexd 7741 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
40 isfbas 23554 . . . . 5 ((𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…))))
4139, 40syl 17 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…))))
4241adantl 481 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘ˆ ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘ˆ ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑀)) β‰  βˆ…))))
436, 38, 42mpbir2and 710 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
44 n0 4347 . . . . 5 ((π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘£ 𝑣 ∈ (π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀))
45 elin 3965 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) ↔ (𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑀))
46 velpw 4608 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ 𝒫 𝑀 ↔ 𝑣 βŠ† 𝑀)
4746anbi2i 622 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑀) ↔ (𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀))
4845, 47bitri 274 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) ↔ (𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀))
4948exbii 1849 . . . . 5 (βˆƒπ‘£ 𝑣 ∈ (π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀))
5044, 49bitri 274 . . . 4 ((π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀))
5110simp1d 1141 . . . . . . . 8 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
5251r19.21bi 3247 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
5352an32s 649 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
5453expimpd 453 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
5554exlimdv 1935 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘£(𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑣 βŠ† 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
5650, 55biimtrid 241 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) β‰  βˆ… β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
5756ralrimiva 3145 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)((π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) β‰  βˆ… β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
58 isfil 23572 . 2 (π‘ˆ ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ (π‘ˆ ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)((π‘ˆ ∩ 𝒫 𝑀) β‰  βˆ… β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)))
5943, 57, 58sylanbrc 582 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ ∈ (Filβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ‰ wnel 3045  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635   I cid 5574   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  fBascfbas 21133  Filcfil 23570  UnifOncust 23925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-fbas 21142  df-fil 23571  df-ust 23926
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator