MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  utopbas Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem utopbas 23739
Description: The base of the topology induced by a uniform structure π‘ˆ. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
utopbas (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ (unifTopβ€˜π‘ˆ))
Proof of Theorem utopbas
Dummy variables π‘Ž 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 utopval 23736 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (unifTopβ€˜π‘ˆ) = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž})
2 ssrab2 4077 . . . 4 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž} βŠ† 𝒫 𝑋
31, 2eqsstrdi 4036 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (unifTopβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝒫 𝑋)
4 ssidd 4005 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑋)
5 ustssxp 23708 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
6 imassrn 6070 . . . . . . . . . 10 (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† ran 𝑣
7 rnss 5938 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ran 𝑣 βŠ† ran (𝑋 Γ— 𝑋))
8 rnxpid 6172 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑋 Γ— 𝑋) = 𝑋
97, 8sseqtrdi 4032 . . . . . . . . . 10 (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ran 𝑣 βŠ† 𝑋)
106, 9sstrid 3993 . . . . . . . . 9 (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
115, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
1211ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
13 ustne0 23717 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
14 r19.2zb 4495 . . . . . . . 8 (π‘ˆ β‰  βˆ… ↔ (βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋))
1513, 14sylib 217 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋))
1612, 15mpd 15 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
1716ralrimivw 3150 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
18 elutop 23737 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝑋 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)))
194, 17, 18mpbir2and 711 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ))
20 elpwuni 5108 . . . 4 (𝑋 ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ) β†’ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ (unifTopβ€˜π‘ˆ) = 𝑋))
2119, 20syl 17 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ (unifTopβ€˜π‘ˆ) = 𝑋))
223, 21mpbid 231 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ (unifTopβ€˜π‘ˆ) = 𝑋)
2322eqcomd 2738 1 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ (unifTopβ€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  UnifOncust 23703  unifTopcutop 23734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ust 23704  df-utop 23735
This theorem is referenced by:  utoptopon  23740  utop2nei  23754  utopreg  23756  tuslem  23770  tuslemOLD  23771
  Copyright terms: Public domain W3C validator