MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  utopbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem utopbas 23610
Description: The base of the topology induced by a uniform structure π‘ˆ. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
utopbas (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ (unifTopβ€˜π‘ˆ))

Proof of Theorem utopbas
Dummy variables π‘Ž 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 utopval 23607 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (unifTopβ€˜π‘ˆ) = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž})
2 ssrab2 4041 . . . 4 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† π‘Ž} βŠ† 𝒫 𝑋
31, 2eqsstrdi 4002 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (unifTopβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝒫 𝑋)
4 ssidd 3971 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑋)
5 ustssxp 23579 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
6 imassrn 6028 . . . . . . . . . 10 (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† ran 𝑣
7 rnss 5898 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ran 𝑣 βŠ† ran (𝑋 Γ— 𝑋))
8 rnxpid 6129 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑋 Γ— 𝑋) = 𝑋
97, 8sseqtrdi 3998 . . . . . . . . . 10 (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ran 𝑣 βŠ† 𝑋)
106, 9sstrid 3959 . . . . . . . . 9 (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
115, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
1211ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
13 ustne0 23588 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
14 r19.2zb 4457 . . . . . . . 8 (π‘ˆ β‰  βˆ… ↔ (βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋))
1513, 14sylib 217 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋))
1612, 15mpd 15 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
1716ralrimivw 3144 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
18 elutop 23608 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝑋 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)))
194, 17, 18mpbir2and 712 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ))
20 elpwuni 5069 . . . 4 (𝑋 ∈ (unifTopβ€˜π‘ˆ) β†’ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ (unifTopβ€˜π‘ˆ) = 𝑋))
2119, 20syl 17 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ((unifTopβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ (unifTopβ€˜π‘ˆ) = 𝑋))
223, 21mpbid 231 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ (unifTopβ€˜π‘ˆ) = 𝑋)
2322eqcomd 2739 1 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ (unifTopβ€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   β€œ cima 5640  β€˜cfv 6500  UnifOncust 23574  unifTopcutop 23605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ust 23575  df-utop 23606
This theorem is referenced by:  utoptopon  23611  utop2nei  23625  utopreg  23627  tuslem  23641  tuslemOLD  23642
  Copyright terms: Public domain W3C validator