Theorem finorwe 37377

Description: If the Axiom of Infinity is denied, every total order is a well-order. The notion of a well-order cannot be usefully expressed without the Axiom of Infinity due to the inability to quantify over proper classes. (Contributed by ML, 5-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finorwe	⊢ (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴 → < We 𝐴))

Proof of Theorem finorwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ¬ ω ∈ V)
2		soss 5569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ( < Or 𝐴 → < Or 𝑥))
3	2	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ( < Or 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < Or 𝑥))
4	3	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < Or 𝑥))
5		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		fineqv 9217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
7	6	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin = V)
8	5, 7	eleqtrrid 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ω ∈ V → 𝑥 ∈ Fin)
9		wofi 9243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → < We 𝑥)
10	9	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
11	8, 10	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
12	1, 4, 11	syl6an 684	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < We 𝑥))
13		ssid 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ⊆ 𝑥
14		wereu 5637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
15		reurex 3360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
17	5, 16	mp3anr1 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
18	13, 17	mpanr1 703	. . . . . . . 8 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
19	18	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ( < We 𝑥 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
20	12, 19	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)))
21	20	impd 410	. . . . 5 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
22	21	alrimiv 1927	. . . 4 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
23		df-fr 5594	. . . 4 ⊢ ( < Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
24	22, 23	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Fr 𝐴)
25		simpr 484	. . 3 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Or 𝐴)
26		df-we 5596	. . 3 ⊢ ( < We 𝐴 ↔ ( < Fr 𝐴 ∧ < Or 𝐴))
27	24, 25, 26	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < We 𝐴)
28	27	ex 412	1 ⊢ (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴 → < We 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  ∃!wreu 3354  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299   class class class wbr 5110   Or wor 5548   Fr wfr 5591   We wwe 5593  ωcom 7845  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925

This theorem is referenced by: (None)