Theorem finorwe 36566

Description: If the Axiom of Infinity is denied, every total order is a well-order. The notion of a well-order cannot be usefully expressed without the Axiom of Infinity due to the inability to quantify over proper classes. (Contributed by ML, 5-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finorwe	⊢ (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴 → < We 𝐴))

Proof of Theorem finorwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ¬ ω ∈ V)
2		soss 5607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ( < Or 𝐴 → < Or 𝑥))
3	2	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ( < Or 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < Or 𝑥))
4	3	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < Or 𝑥))
5		vex 3476	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		fineqv 9265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
7	6	biimpi 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin = V)
8	5, 7	eleqtrrid 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ω ∈ V → 𝑥 ∈ Fin)
9		wofi 9294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → < We 𝑥)
10	9	ancoms 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
11	8, 10	sylan 578	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
12	1, 4, 11	syl6an 680	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < We 𝑥))
13		ssid 4003	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ⊆ 𝑥
14		wereu 5671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
15		reurex 3378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
17	5, 16	mp3anr1 1456	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
18	13, 17	mpanr1 699	. . . . . . . 8 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
19	18	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ ( < We 𝑥 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
20	12, 19	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)))
21	20	impd 409	. . . . 5 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
22	21	alrimiv 1928	. . . 4 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
23		df-fr 5630	. . . 4 ⊢ ( < Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
24	22, 23	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Fr 𝐴)
25		simpr 483	. . 3 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Or 𝐴)
26		df-we 5632	. . 3 ⊢ ( < We 𝐴 ↔ ( < Fr 𝐴 ∧ < Or 𝐴))
27	24, 25, 26	sylanbrc 581	. 2 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < We 𝐴)
28	27	ex 411	1 ⊢ (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴 → < We 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  ∃!wreu 3372  Vcvv 3472   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   Or wor 5586   Fr wfr 5627   We wwe 5629  ωcom 7857  Fincfn 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945

This theorem is referenced by: (None)