Theorem finorwe 34685

Description: If the Axiom of Infinity is denied, every total order is a well-order. The notion of a well-order cannot be usefully expressed without the Axiom of Infinity due to the inability to quantify over proper classes. (Contributed by ML, 5-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finorwe	⊢ (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴 → < We 𝐴))

Proof of Theorem finorwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ¬ ω ∈ V)
2		soss 5486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ( < Or 𝐴 → < Or 𝑥))
3	2	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ( < Or 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < Or 𝑥))
4	3	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < Or 𝑥))
5		vex 3494	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		fineqv 8726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
7	6	biimpi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin = V)
8	5, 7	eleqtrrid 2919	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ω ∈ V → 𝑥 ∈ Fin)
9		wofi 8760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → < We 𝑥)
10	9	ancoms 461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
11	8, 10	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
12	1, 4, 11	syl6an 682	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < We 𝑥))
13		ssid 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ⊆ 𝑥
14		wereu 5544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
15		reurex 3428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
17	5, 16	mp3anr1 1453	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
18	13, 17	mpanr1 701	. . . . . . . 8 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
19	18	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ ( < We 𝑥 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
20	12, 19	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)))
21	20	impd 413	. . . . 5 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
22	21	alrimiv 1927	. . . 4 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
23		df-fr 5507	. . . 4 ⊢ ( < Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
24	22, 23	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Fr 𝐴)
25		simpr 487	. . 3 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Or 𝐴)
26		df-we 5509	. . 3 ⊢ ( < We 𝐴 ↔ ( < Fr 𝐴 ∧ < Or 𝐴))
27	24, 25, 26	sylanbrc 585	. 2 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < We 𝐴)
28	27	ex 415	1 ⊢ (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴 → < We 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082  ∀wal 1534   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  ∀wral 3137  ∃wrex 3138  ∃!wreu 3139  Vcvv 3491   ⊆ wss 3929  ∅c0 4284   class class class wbr 5059   Or wor 5466   Fr wfr 5504   We wwe 5506  ωcom 7573  Fincfn 8502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7574  df-1o 8095  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506

This theorem is referenced by: (None)