Theorem finorwe 37587

Description: If the Axiom of Infinity is denied, every total order is a well-order. The notion of a well-order cannot be usefully expressed without the Axiom of Infinity due to the inability to quantify over proper classes. (Contributed by ML, 5-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finorwe	⊢ (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴 → < We 𝐴))

Proof of Theorem finorwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ¬ ω ∈ V)
2		soss 5552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ( < Or 𝐴 → < Or 𝑥))
3	2	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ( < Or 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < Or 𝑥))
4	3	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < Or 𝑥))
5		vex 3444	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		fineqv 9167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
7	6	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin = V)
8	5, 7	eleqtrrid 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ω ∈ V → 𝑥 ∈ Fin)
9		wofi 9189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → < We 𝑥)
10	9	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
11	8, 10	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
12	1, 4, 11	syl6an 684	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < We 𝑥))
13		ssid 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ⊆ 𝑥
14		wereu 5620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
15		reurex 3354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
17	5, 16	mp3anr1 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
18	13, 17	mpanr1 703	. . . . . . . 8 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
19	18	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ( < We 𝑥 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
20	12, 19	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)))
21	20	impd 410	. . . . 5 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
22	21	alrimiv 1928	. . . 4 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
23		df-fr 5577	. . . 4 ⊢ ( < Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
24	22, 23	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Fr 𝐴)
25		simpr 484	. . 3 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Or 𝐴)
26		df-we 5579	. . 3 ⊢ ( < We 𝐴 ↔ ( < Fr 𝐴 ∧ < Or 𝐴))
27	24, 25, 26	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < We 𝐴)
28	27	ex 412	1 ⊢ (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴 → < We 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3348  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5098   Or wor 5531   Fr wfr 5574   We wwe 5576  ωcom 7808  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887

This theorem is referenced by: (None)