Mathbox for ML < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finorwe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finorwe 35114
 Description: If the Axiom of Infinity is denied, every total order is a well-order. The notion of a well-order cannot be usefully expressed without the Axiom of Infinity due to the inability to quantify over proper classes. (Contributed by ML, 5-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
finorwe (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴< We 𝐴))

Proof of Theorem finorwe
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . . . . 8 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ¬ ω ∈ V)
2 soss 5466 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → ( < Or 𝐴< Or 𝑥))
32com12 32 . . . . . . . . 9 ( < Or 𝐴 → (𝑥𝐴< Or 𝑥))
43adantl 485 . . . . . . . 8 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥𝐴< Or 𝑥))
5 vex 3413 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
6 fineqv 8784 . . . . . . . . . . 11 (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
76biimpi 219 . . . . . . . . . 10 (¬ ω ∈ V → Fin = V)
85, 7eleqtrrid 2859 . . . . . . . . 9 (¬ ω ∈ V → 𝑥 ∈ Fin)
9 wofi 8813 . . . . . . . . . 10 (( < Or 𝑥𝑥 ∈ Fin) → < We 𝑥)
109ancoms 462 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Fin ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
118, 10sylan 583 . . . . . . . 8 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
121, 4, 11syl6an 683 . . . . . . 7 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥𝐴< We 𝑥))
13 ssid 3916 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥
14 wereu 5524 . . . . . . . . . . 11 (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥𝑥𝑥 ≠ ∅)) → ∃!𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
15 reurex 3341 . . . . . . . . . . 11 (∃!𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦 → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥𝑥𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
175, 16mp3anr1 1455 . . . . . . . . 9 (( < We 𝑥 ∧ (𝑥𝑥𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
1813, 17mpanr1 702 . . . . . . . 8 (( < We 𝑥𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
1918ex 416 . . . . . . 7 ( < We 𝑥 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
2012, 19syl6 35 . . . . . 6 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)))
2120impd 414 . . . . 5 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
2221alrimiv 1928 . . . 4 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
23 df-fr 5487 . . . 4 ( < Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
2422, 23sylibr 237 . . 3 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Fr 𝐴)
25 simpr 488 . . 3 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Or 𝐴)
26 df-we 5489 . . 3 ( < We 𝐴 ↔ ( < Fr 𝐴< Or 𝐴))
2724, 25, 26sylanbrc 586 . 2 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < We 𝐴)
2827ex 416 1 (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴< We 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  ∃!wreu 3072  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227   class class class wbr 5036   Or wor 5446   Fr wfr 5484   We wwe 5486  ωcom 7585  Fincfn 8540 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-om 7586  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator