Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finorwe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finorwe 37587
Description: If the Axiom of Infinity is denied, every total order is a well-order. The notion of a well-order cannot be usefully expressed without the Axiom of Infinity due to the inability to quantify over proper classes. (Contributed by ML, 5-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
finorwe (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴< We 𝐴))

Proof of Theorem finorwe
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . . 8 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ¬ ω ∈ V)
2 soss 5552 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → ( < Or 𝐴< Or 𝑥))
32com12 32 . . . . . . . . 9 ( < Or 𝐴 → (𝑥𝐴< Or 𝑥))
43adantl 481 . . . . . . . 8 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥𝐴< Or 𝑥))
5 vex 3444 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
6 fineqv 9167 . . . . . . . . . . 11 (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
76biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (¬ ω ∈ V → Fin = V)
85, 7eleqtrrid 2843 . . . . . . . . 9 (¬ ω ∈ V → 𝑥 ∈ Fin)
9 wofi 9189 . . . . . . . . . 10 (( < Or 𝑥𝑥 ∈ Fin) → < We 𝑥)
109ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Fin ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
118, 10sylan 580 . . . . . . . 8 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
121, 4, 11syl6an 684 . . . . . . 7 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥𝐴< We 𝑥))
13 ssid 3956 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥
14 wereu 5620 . . . . . . . . . . 11 (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥𝑥𝑥 ≠ ∅)) → ∃!𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
15 reurex 3354 . . . . . . . . . . 11 (∃!𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦 → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥𝑥𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
175, 16mp3anr1 1460 . . . . . . . . 9 (( < We 𝑥 ∧ (𝑥𝑥𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
1813, 17mpanr1 703 . . . . . . . 8 (( < We 𝑥𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
1918ex 412 . . . . . . 7 ( < We 𝑥 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
2012, 19syl6 35 . . . . . 6 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)))
2120impd 410 . . . . 5 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
2221alrimiv 1928 . . . 4 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
23 df-fr 5577 . . . 4 ( < Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
2422, 23sylibr 234 . . 3 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Fr 𝐴)
25 simpr 484 . . 3 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Or 𝐴)
26 df-we 5579 . . 3 ( < We 𝐴 ↔ ( < Fr 𝐴< Or 𝐴))
2724, 25, 26sylanbrc 583 . 2 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < We 𝐴)
2827ex 412 1 (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴< We 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2113  wne 2932  wral 3051  wrex 3060  ∃!wreu 3348  Vcvv 3440  wss 3901  c0 4285   class class class wbr 5098   Or wor 5531   Fr wfr 5574   We wwe 5576  ωcom 7808  Fincfn 8883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator