Theorem finorwe 38573

Description: If the Axiom of Infinity is denied, every total order is a well-order. The notion of a well-order cannot be usefully expressed without the Axiom of Infinity due to the inability to quantify over proper classes. (Contributed by ML, 5-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finorwe	⊢ (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴 → < We 𝐴))

Proof of Theorem finorwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ¬ ω ∈ V)
2		soss 5586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ( < Or 𝐴 → < Or 𝑥))
3	2	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ( < Or 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < Or 𝑥))
4	3	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < Or 𝑥))
5		vex 3458	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		fineqv 9296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
7	6	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin = V)
8	5, 7	eleqtrrid 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ω ∈ V → 𝑥 ∈ Fin)
9		wofi 9318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → < We 𝑥)
10	9	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
11	8, 10	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
12	1, 4, 11	syl6an 697	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → < We 𝑥))
13		ssid 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ⊆ 𝑥
14		wereu 5654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
15		reurex 3373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
17	5, 16	mp3anr1 1488	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
18	13, 17	mpanr1 716	. . . . . . . 8 ⊢ (( < We 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
19	18	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ( < We 𝑥 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
20	12, 19	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)))
21	20	impd 416	. . . . 5 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
22	21	alrimiv 1962	. . . 4 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
23		df-fr 5611	. . . 4 ⊢ ( < Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
24	22, 23	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Fr 𝐴)
25		simpr 490	. . 3 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Or 𝐴)
26		df-we 5613	. . 3 ⊢ ( < We 𝐴 ↔ ( < Fr 𝐴 ∧ < Or 𝐴))
27	24, 25, 26	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < We 𝐴)
28	27	ex 418	1 ⊢ (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴 → < We 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ∃!wreu 3367  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5108   Or wor 5565   Fr wfr 5608   We wwe 5610  ωcom 7911  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015

This theorem is used by: (None)