MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem1 10493
Description: Lemma for zorn2 10503. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem1 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑣,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem1
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . . 5 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
21tfr2 8400 . . . 4 (𝑥 ∈ On → (𝐹𝑥) = ((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))‘(𝐹𝑥)))
32adantr 479 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = ((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))‘(𝐹𝑥)))
41tfr1 8399 . . . . . 6 𝐹 Fn On
5 fnfun 6648 . . . . . 6 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 Fun 𝐹
7 vex 3476 . . . . 5 𝑥 ∈ V
8 resfunexg 7218 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ V) → (𝐹𝑥) ∈ V)
96, 7, 8mp2an 688 . . . 4 (𝐹𝑥) ∈ V
10 rneq 5934 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ran 𝑓 = ran (𝐹𝑥))
11 df-ima 5688 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑥) = ran (𝐹𝑥)
1210, 11eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ran 𝑓 = (𝐹𝑥))
1312eleq2d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (𝑔 ∈ ran 𝑓𝑔 ∈ (𝐹𝑥)))
1413imbi1d 340 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ((𝑔 ∈ ran 𝑓𝑔𝑅𝑧) ↔ (𝑔 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑔𝑅𝑧)))
1514ralbidv2 3171 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧))
1615rabbidv 3438 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑥) → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧})
17 zorn2lem.4 . . . . . . 7 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
18 zorn2lem.5 . . . . . . 7 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
1916, 17, 183eqtr4g 2795 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑥) → 𝐶 = 𝐷)
2019eleq2d 2817 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (𝑢𝐶𝑢𝐷))
2120imbi1d 340 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ((𝑢𝐶 → ¬ 𝑢𝑤𝑣) ↔ (𝑢𝐷 → ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2221ralbidv2 3171 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (∀𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣 ↔ ∀𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
2319, 22riotaeqbidv 7370 . . . . 5 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣) = (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
24 eqid 2730 . . . . 5 (𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)) = (𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
25 riotaex 7371 . . . . 5 (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 6997 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ V → ((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))‘(𝐹𝑥)) = (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
279, 26ax-mp 5 . . 3 ((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))‘(𝐹𝑥)) = (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣)
283, 27eqtrdi 2786 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
29 simprl 767 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝑤 We 𝐴)
30 weso 5666 . . . . . . 7 (𝑤 We 𝐴𝑤 Or 𝐴)
3130ad2antrl 724 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝑤 Or 𝐴)
32 vex 3476 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
33 soex 7914 . . . . . 6 ((𝑤 Or 𝐴𝑤 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
3431, 32, 33sylancl 584 . . . . 5 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ V)
3518, 34rabexd 5332 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝐷 ∈ V)
3618ssrab3 4079 . . . . 5 𝐷𝐴
3736a1i 11 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝐷𝐴)
38 simprr 769 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝐷 ≠ ∅)
39 wereu 5671 . . . 4 ((𝑤 We 𝐴 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐷𝐴𝐷 ≠ ∅)) → ∃!𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣)
4029, 35, 37, 38, 39syl13anc 1370 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → ∃!𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣)
41 riotacl 7385 . . 3 (∃!𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣 → (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣) ∈ 𝐷)
4240, 41syl 17 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣) ∈ 𝐷)
4328, 42eqeltrd 2831 1 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  ∃!wreu 3372  {crab 3430  Vcvv 3472  wss 3947  c0 4321   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Or wor 5586   We wwe 5629  ran crn 5676  cres 5677  cima 5678  Oncon0 6363  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  cfv 6542  crio 7366  recscrecs 8372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373
This theorem is referenced by:  zorn2lem2  10494  zorn2lem3  10495  zorn2lem4  10496  zorn2lem5  10497
  Copyright terms: Public domain W3C validator