MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem1 10433
Description: Lemma for zorn2 10443. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem1 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑣,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem1
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . . 5 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
21tfr2 8345 . . . 4 (𝑥 ∈ On → (𝐹𝑥) = ((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))‘(𝐹𝑥)))
32adantr 482 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = ((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))‘(𝐹𝑥)))
41tfr1 8344 . . . . . 6 𝐹 Fn On
5 fnfun 6603 . . . . . 6 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 Fun 𝐹
7 vex 3450 . . . . 5 𝑥 ∈ V
8 resfunexg 7166 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ V) → (𝐹𝑥) ∈ V)
96, 7, 8mp2an 691 . . . 4 (𝐹𝑥) ∈ V
10 rneq 5892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ran 𝑓 = ran (𝐹𝑥))
11 df-ima 5647 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑥) = ran (𝐹𝑥)
1210, 11eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ran 𝑓 = (𝐹𝑥))
1312eleq2d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (𝑔 ∈ ran 𝑓𝑔 ∈ (𝐹𝑥)))
1413imbi1d 342 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ((𝑔 ∈ ran 𝑓𝑔𝑅𝑧) ↔ (𝑔 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑔𝑅𝑧)))
1514ralbidv2 3171 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧))
1615rabbidv 3416 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑥) → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧})
17 zorn2lem.4 . . . . . . 7 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
18 zorn2lem.5 . . . . . . 7 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
1916, 17, 183eqtr4g 2802 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑥) → 𝐶 = 𝐷)
2019eleq2d 2824 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (𝑢𝐶𝑢𝐷))
2120imbi1d 342 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ((𝑢𝐶 → ¬ 𝑢𝑤𝑣) ↔ (𝑢𝐷 → ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2221ralbidv2 3171 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (∀𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣 ↔ ∀𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
2319, 22riotaeqbidv 7317 . . . . 5 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣) = (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
24 eqid 2737 . . . . 5 (𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)) = (𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
25 riotaex 7318 . . . . 5 (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 6949 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ V → ((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))‘(𝐹𝑥)) = (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
279, 26ax-mp 5 . . 3 ((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))‘(𝐹𝑥)) = (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣)
283, 27eqtrdi 2793 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
29 simprl 770 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝑤 We 𝐴)
30 weso 5625 . . . . . . 7 (𝑤 We 𝐴𝑤 Or 𝐴)
3130ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝑤 Or 𝐴)
32 vex 3450 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
33 soex 7859 . . . . . 6 ((𝑤 Or 𝐴𝑤 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
3431, 32, 33sylancl 587 . . . . 5 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ V)
3518, 34rabexd 5291 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝐷 ∈ V)
3618ssrab3 4041 . . . . 5 𝐷𝐴
3736a1i 11 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝐷𝐴)
38 simprr 772 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝐷 ≠ ∅)
39 wereu 5630 . . . 4 ((𝑤 We 𝐴 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐷𝐴𝐷 ≠ ∅)) → ∃!𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣)
4029, 35, 37, 38, 39syl13anc 1373 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → ∃!𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣)
41 riotacl 7332 . . 3 (∃!𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣 → (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣) ∈ 𝐷)
4240, 41syl 17 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣) ∈ 𝐷)
4328, 42eqeltrd 2838 1 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  ∃!wreu 3352  {crab 3408  Vcvv 3446  wss 3911  c0 4283   class class class wbr 5106  cmpt 5189   Or wor 5545   We wwe 5588  ran crn 5635  cres 5636  cima 5637  Oncon0 6318  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  cfv 6497  crio 7313  recscrecs 8317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318
This theorem is referenced by:  zorn2lem2  10434  zorn2lem3  10435  zorn2lem4  10436  zorn2lem5  10437
  Copyright terms: Public domain W3C validator