Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem1 9907
 Description: Lemma for zorn2 9917. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem1 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑣,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem1
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . . 5 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
21tfr2 8017 . . . 4 (𝑥 ∈ On → (𝐹𝑥) = ((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))‘(𝐹𝑥)))
32adantr 484 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = ((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))‘(𝐹𝑥)))
41tfr1 8016 . . . . . 6 𝐹 Fn On
5 fnfun 6423 . . . . . 6 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 Fun 𝐹
7 vex 3444 . . . . 5 𝑥 ∈ V
8 resfunexg 6955 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ V) → (𝐹𝑥) ∈ V)
96, 7, 8mp2an 691 . . . 4 (𝐹𝑥) ∈ V
10 rneq 5770 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ran 𝑓 = ran (𝐹𝑥))
11 df-ima 5532 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑥) = ran (𝐹𝑥)
1210, 11eqtr4di 2851 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ran 𝑓 = (𝐹𝑥))
1312eleq2d 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (𝑔 ∈ ran 𝑓𝑔 ∈ (𝐹𝑥)))
1413imbi1d 345 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ((𝑔 ∈ ran 𝑓𝑔𝑅𝑧) ↔ (𝑔 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑔𝑅𝑧)))
1514ralbidv2 3160 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧))
1615rabbidv 3427 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑥) → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧})
17 zorn2lem.4 . . . . . . 7 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
18 zorn2lem.5 . . . . . . 7 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
1916, 17, 183eqtr4g 2858 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑥) → 𝐶 = 𝐷)
2019eleq2d 2875 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (𝑢𝐶𝑢𝐷))
2120imbi1d 345 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑥) → ((𝑢𝐶 → ¬ 𝑢𝑤𝑣) ↔ (𝑢𝐷 → ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2221ralbidv2 3160 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (∀𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣 ↔ ∀𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
2319, 22riotaeqbidv 7096 . . . . 5 (𝑓 = (𝐹𝑥) → (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣) = (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
24 eqid 2798 . . . . 5 (𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)) = (𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
25 riotaex 7097 . . . . 5 (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 6745 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ V → ((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))‘(𝐹𝑥)) = (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
279, 26ax-mp 5 . . 3 ((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣))‘(𝐹𝑥)) = (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣)
283, 27eqtrdi 2849 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣))
29 simprl 770 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝑤 We 𝐴)
30 weso 5510 . . . . . . 7 (𝑤 We 𝐴𝑤 Or 𝐴)
3130ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝑤 Or 𝐴)
32 vex 3444 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
33 soex 7608 . . . . . 6 ((𝑤 Or 𝐴𝑤 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
3431, 32, 33sylancl 589 . . . . 5 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ V)
3518, 34rabexd 5200 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝐷 ∈ V)
3618ssrab3 4008 . . . . 5 𝐷𝐴
3736a1i 11 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝐷𝐴)
38 simprr 772 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → 𝐷 ≠ ∅)
39 wereu 5515 . . . 4 ((𝑤 We 𝐴 ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐷𝐴𝐷 ≠ ∅)) → ∃!𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣)
4029, 35, 37, 38, 39syl13anc 1369 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → ∃!𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣)
41 riotacl 7110 . . 3 (∃!𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣 → (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣) ∈ 𝐷)
4240, 41syl 17 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑣𝐷𝑢𝐷 ¬ 𝑢𝑤𝑣) ∈ 𝐷)
4328, 42eqeltrd 2890 1 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃!wreu 3108  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   Or wor 5437   We wwe 5477  ran crn 5520   ↾ cres 5521   “ cima 5522  Oncon0 6159  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  ℩crio 7092  recscrecs 7990 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-wrecs 7930  df-recs 7991 This theorem is referenced by:  zorn2lem2  9908  zorn2lem3  9909  zorn2lem4  9910  zorn2lem5  9911
 Copyright terms: Public domain W3C validator