Theorem tskxp 9925

Description: The Cartesian product of two elements of a transitive Tarski class is an element of the class. JFM CLASSES2 th. 67 (partly). (Contributed by FL, 15-Apr-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tskxp	⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4151	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → 𝑇 ≠ ∅)
2		tskwun 9922	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ WUni)
3	2	3expa 1153	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ WUni)
4	1, 3	sylan2 588	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ WUni)
5	4	3adant3 1168	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ WUni)
6		simp2 1173	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
7		simp3 1174	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ 𝑇)
8	5, 6, 7	wunxp 9862	1 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ∅c0 4145  Tr wtr 4976   × cxp 5341  WUnicwun 9838  Tarskictsk 9886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-ac2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-smo 7710  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-oi 8685  df-har 8733  df-r1 8905  df-card 9079  df-aleph 9080  df-cf 9081  df-acn 9082  df-ac 9253  df-wina 9822  df-ina 9823  df-wun 9840  df-tsk 9887

This theorem is referenced by: (None)