Theorem xnegmnf 13157

Description: Minus -∞. Remark of [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegmnf	⊢ -𝑒-∞ = +∞

Proof of Theorem xnegmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13058	. 2 ⊢ -𝑒-∞ = if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞))
2		mnfnepnf 11196	. . 3 ⊢ -∞ ≠ +∞
3		ifnefalse 4479	. . 3 ⊢ (-∞ ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞)) = if(-∞ = -∞, +∞, --∞))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞)) = if(-∞ = -∞, +∞, --∞)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ -∞ = -∞
6	5	iftruei 4474	. 2 ⊢ if(-∞ = -∞, +∞, --∞) = +∞
7	1, 4, 6	3eqtri 2764	1 ⊢ -𝑒-∞ = +∞

Syntax hints:   = wceq 1542   ≠ wne 2933  ifcif 4467  +∞cpnf 11171  -∞cmnf 11172  -cneg 11373  -_𝑒cxne 13055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5304  ax-un 7684  ax-cnex 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-rab 3391  df-v 3432  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-uni 4852  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-xneg 13058

This theorem is referenced by:  xnegcl  13160  xnegneg  13161  xltnegi  13163  xnegid  13185  xnegdi  13195  xsubge0  13208  xmulneg1  13216  xmulpnf1n  13225  xadddi2  13244  xrsdsreclblem  21406  xaddeq0  32845  xrge0npcan  33099  carsgclctunlem2  34483  supminfxr  45914  supminfxr2  45919  liminf0  46243  liminflbuz2  46265  liminfpnfuz  46266