Theorem xnegmnf 13242

Description: Minus -∞. Remark of [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegmnf	⊢ -𝑒-∞ = +∞

Proof of Theorem xnegmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13143	. 2 ⊢ -𝑒-∞ = if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞))
2		mnfnepnf 11271	. . 3 ⊢ -∞ ≠ +∞
3		ifnefalse 4498	. . 3 ⊢ (-∞ ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞)) = if(-∞ = -∞, +∞, --∞))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞)) = if(-∞ = -∞, +∞, --∞)
5		eqid 2762	. . 3 ⊢ -∞ = -∞
6	5	iftruei 4493	. 2 ⊢ if(-∞ = -∞, +∞, --∞) = +∞
7	1, 4, 6	3eqtri 2789	1 ⊢ -𝑒-∞ = +∞

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ≠ wne 2957  ifcif 4486  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  -cneg 11448  -_𝑒cxne 13140

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pow 5335  ax-un 7734  ax-cnex 11162

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-rab 3416  df-v 3456  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-uni 4872  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-xneg 13143

This theorem is used by:  xnegcl  13245  xnegneg  13246  xltnegi  13248  xnegid  13270  xnegdi  13280  xsubge0  13293  xmulneg1  13301  xmulpnf1n  13310  xadddi2  13329  xrsdsreclblem  21574  xaddeq0  33109  xrge0npcan  33349  carsgclctunlem2  34718  supminfxr  46206  supminfxr2  46211  liminf0  46535  liminflbuz2  46557  liminfpnfuz  46558