Theorem xnegmnf 13139

Description: Minus -∞. Remark of [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegmnf	⊢ -𝑒-∞ = +∞

Proof of Theorem xnegmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13040	. 2 ⊢ -𝑒-∞ = if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞))
2		mnfnepnf 11202	. . 3 ⊢ -∞ ≠ +∞
3		ifnefalse 4493	. . 3 ⊢ (-∞ ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞)) = if(-∞ = -∞, +∞, --∞))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞)) = if(-∞ = -∞, +∞, --∞)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ -∞ = -∞
6	5	iftruei 4488	. 2 ⊢ if(-∞ = -∞, +∞, --∞) = +∞
7	1, 4, 6	3eqtri 2764	1 ⊢ -𝑒-∞ = +∞

Syntax hints:   = wceq 1542   ≠ wne 2933  ifcif 4481  +∞cpnf 11177  -∞cmnf 11178  -cneg 11379  -_𝑒cxne 13037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pow 5314  ax-un 7692  ax-cnex 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-rab 3402  df-v 3444  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-uni 4866  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-xneg 13040

This theorem is referenced by:  xnegcl  13142  xnegneg  13143  xltnegi  13145  xnegid  13167  xnegdi  13177  xsubge0  13190  xmulneg1  13198  xmulpnf1n  13207  xadddi2  13226  xrsdsreclblem  21384  xaddeq0  32850  xrge0npcan  33119  carsgclctunlem2  34503  supminfxr  45851  supminfxr2  45856  liminf0  46180  liminflbuz2  46202  liminfpnfuz  46203