Theorem xnegmnf 13224

Description: Minus -∞. Remark of [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegmnf	⊢ -𝑒-∞ = +∞

Proof of Theorem xnegmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13125	. 2 ⊢ -𝑒-∞ = if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞))
2		mnfnepnf 11253	. . 3 ⊢ -∞ ≠ +∞
3		ifnefalse 4495	. . 3 ⊢ (-∞ ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞)) = if(-∞ = -∞, +∞, --∞))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ if(-∞ = +∞, -∞, if(-∞ = -∞, +∞, --∞)) = if(-∞ = -∞, +∞, --∞)
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ -∞ = -∞
6	5	iftruei 4490	. 2 ⊢ if(-∞ = -∞, +∞, --∞) = +∞
7	1, 4, 6	3eqtri 2792	1 ⊢ -𝑒-∞ = +∞

Syntax hints:   = wceq 1563   ≠ wne 2960  ifcif 4483  +∞cpnf 11228  -∞cmnf 11229  -cneg 11430  -_𝑒cxne 13122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pow 5326  ax-un 7722  ax-cnex 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-rab 3418  df-v 3459  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-uni 4868  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-xneg 13125

This theorem is referenced by:  xnegcl  13227  xnegneg  13228  xltnegi  13230  xnegid  13252  xnegdi  13262  xsubge0  13275  xmulneg1  13283  xmulpnf1n  13292  xadddi2  13311  xrsdsreclblem  21520  xaddeq0  33006  xrge0npcan  33248  carsgclctunlem2  34621  supminfxr  46037  supminfxr2  46042  liminf0  46366  liminflbuz2  46388  liminfpnfuz  46389