Theorem xnegcl 13350

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13252	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 13348	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 = -𝐴)
3		renegcl 11628	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11366	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 ∈ ℝ*)
6		xnegeq 13344	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e𝐴 = -e+∞)
7		xnegpnf 13346	. . . . 5 ⊢ -e+∞ = -∞
8		mnfxr 11373	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9	7, 8	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ -e+∞ ∈ ℝ*
10	6, 9	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e𝐴 ∈ ℝ*)
11		xnegeq 13344	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e𝐴 = -e-∞)
12		xnegmnf 13347	. . . . 5 ⊢ -e-∞ = +∞
13		pnfxr 11370	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	12, 13	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ -e-∞ ∈ ℝ*
15	11, 14	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e𝐴 ∈ ℝ*)
16	5, 10, 15	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -e𝐴 ∈ ℝ*)
17	1, 16	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e𝐴 ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ℝcr 11206  +∞cpnf 11347  -∞cmnf 11348  ℝ^*cxr 11349   -cneg 11549   -_ecxne 13245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-sub 11550  df-neg 11551  df-xneg 13248

This theorem is used by:  xltneg  13354  xleneg  13355  xnegdi  13385  xaddass2  13387  xleadd1  13392  xsubge0  13398  xposdif  13399  xlesubadd  13400  xmulneg1  13406  xmulneg2  13407  xmulpnf1n  13415  xmulasslem  13422  xnegcld  13437  xrsds  21725  xrsxmet  25138  xrhmeo  25276  xaddeq0  33395  xrsinvgval  33619  xrge0npcan  33631  xnegcli  46590  xlenegcon1  46632  xlenegcon2  46633