Theorem xnegcl 12803

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 12708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 12801	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3		renegcl 11141	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 10883	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6		xnegeq 12797	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
7		xnegpnf 12799	. . . . 5 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
8		mnfxr 10890	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9	7, 8	eqeltri 2834	. . . 4 ⊢ -𝑒+∞ ∈ ℝ*
10	6, 9	eqeltrdi 2846	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
11		xnegeq 12797	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
12		xnegmnf 12800	. . . . 5 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
13		pnfxr 10887	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	12, 13	eqeltri 2834	. . . 4 ⊢ -𝑒-∞ ∈ ℝ*
15	11, 14	eqeltrdi 2846	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
16	5, 10, 15	3jaoi 1429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
17	1, 16	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1088   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ℝcr 10728  +∞cpnf 10864  -∞cmnf 10865  ℝ^*cxr 10866  -cneg 11063  -_𝑒cxne 12701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-sub 11064  df-neg 11065  df-xneg 12704

This theorem is referenced by:  xltneg  12807  xleneg  12808  xnegdi  12838  xaddass2  12840  xleadd1  12845  xsubge0  12851  xposdif  12852  xlesubadd  12853  xmulneg1  12859  xmulneg2  12860  xmulpnf1n  12868  xmulasslem  12875  xnegcld  12890  xrsds  20406  xrsxmet  23706  xrhmeo  23843  xaddeq0  30796  xrsinvgval  31005  xrge0npcan  31022  xnegcli  42657  xlenegcon1  42702  xlenegcon2  42703