Theorem xnegcl 12598

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 12503	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 12596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3		renegcl 10941	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrd 2911	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 10683	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6		xnegeq 12592	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
7		xnegpnf 12594	. . . . 5 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
8		mnfxr 10690	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9	7, 8	eqeltri 2907	. . . 4 ⊢ -𝑒+∞ ∈ ℝ*
10	6, 9	syl6eqel 2919	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
11		xnegeq 12592	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
12		xnegmnf 12595	. . . . 5 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
13		pnfxr 10687	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	12, 13	eqeltri 2907	. . . 4 ⊢ -𝑒-∞ ∈ ℝ*
15	11, 14	syl6eqel 2919	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
16	5, 10, 15	3jaoi 1422	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
17	1, 16	sylbi 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1081   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ℝcr 10528  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  ℝ^*cxr 10666  -cneg 10863  -_𝑒cxne 12496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-neg 10865  df-xneg 12499

This theorem is referenced by:  xltneg  12602  xleneg  12603  xnegdi  12633  xaddass2  12635  xleadd1  12640  xsubge0  12646  xposdif  12647  xlesubadd  12648  xmulneg1  12654  xmulneg2  12655  xmulpnf1n  12663  xmulasslem  12670  xnegcld  12685  xrsds  20580  xrsxmet  23409  xrhmeo  23542  xaddeq0  30469  xrsinvgval  30657  xrge0npcan  30674  xnegcli  41707  xlenegcon1  41752  xlenegcon2  41753