Theorem xnegcl 13249

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 13247	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3		renegcl 11531	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11269	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6		xnegeq 13243	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
7		xnegpnf 13245	. . . . 5 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
8		mnfxr 11276	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9	7, 8	eqeltri 2862	. . . 4 ⊢ -𝑒+∞ ∈ ℝ*
10	6, 9	eqeltrdi 2874	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
11		xnegeq 13243	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
12		xnegmnf 13246	. . . . 5 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
13		pnfxr 11273	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	12, 13	eqeltri 2862	. . . 4 ⊢ -𝑒-∞ ∈ ℝ*
15	11, 14	eqeltrdi 2874	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
16	5, 10, 15	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
17	1, 16	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ℝcr 11109  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  ℝ^*cxr 11252  -cneg 11452  -_𝑒cxne 13144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-sub 11453  df-neg 11454  df-xneg 13147

This theorem is used by:  xltneg  13253  xleneg  13254  xnegdi  13284  xaddass2  13286  xleadd1  13291  xsubge0  13297  xposdif  13298  xlesubadd  13299  xmulneg1  13305  xmulneg2  13306  xmulpnf1n  13314  xmulasslem  13321  xnegcld  13336  xrsds  21575  xrsxmet  24982  xrhmeo  25120  xaddeq0  33113  xrsinvgval  33341  xrge0npcan  33353  xnegcli  46190  xlenegcon1  46232  xlenegcon2  46233