Theorem xnegcl 13234

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 13232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3		renegcl 11551	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11290	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6		xnegeq 13228	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
7		xnegpnf 13230	. . . . 5 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
8		mnfxr 11297	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9	7, 8	eqeltri 2831	. . . 4 ⊢ -𝑒+∞ ∈ ℝ*
10	6, 9	eqeltrdi 2843	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
11		xnegeq 13228	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
12		xnegmnf 13231	. . . . 5 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
13		pnfxr 11294	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	12, 13	eqeltri 2831	. . . 4 ⊢ -𝑒-∞ ∈ ℝ*
15	11, 14	eqeltrdi 2843	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
16	5, 10, 15	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
17	1, 16	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ℝcr 11133  +∞cpnf 11271  -∞cmnf 11272  ℝ^*cxr 11273  -cneg 11472  -_𝑒cxne 13130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-sub 11473  df-neg 11474  df-xneg 13133

This theorem is referenced by:  xltneg  13238  xleneg  13239  xnegdi  13269  xaddass2  13271  xleadd1  13276  xsubge0  13282  xposdif  13283  xlesubadd  13284  xmulneg1  13290  xmulneg2  13291  xmulpnf1n  13299  xmulasslem  13306  xnegcld  13321  xrsds  21382  xrsxmet  24754  xrhmeo  24900  xaddeq0  32735  xrsinvgval  33005  xrge0npcan  33020  xnegcli  45438  xlenegcon1  45480  xlenegcon2  45481