Theorem xnegcl 13383

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 13381	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 = -𝐴)
3		renegcl 11660	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11398	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 ∈ ℝ*)
6		xnegeq 13377	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e𝐴 = -e+∞)
7		xnegpnf 13379	. . . . 5 ⊢ -e+∞ = -∞
8		mnfxr 11405	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9	7, 8	eqeltri 2860	. . . 4 ⊢ -e+∞ ∈ ℝ*
10	6, 9	eqeltrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e𝐴 ∈ ℝ*)
11		xnegeq 13377	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e𝐴 = -e-∞)
12		xnegmnf 13380	. . . . 5 ⊢ -e-∞ = +∞
13		pnfxr 11402	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	12, 13	eqeltri 2860	. . . 4 ⊢ -e-∞ ∈ ℝ*
15	11, 14	eqeltrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e𝐴 ∈ ℝ*)
16	5, 10, 15	3jaoi 1455	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -e𝐴 ∈ ℝ*)
17	1, 16	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e𝐴 ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ℝcr 11238  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   -cneg 11581   -_ecxne 13278

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583  df-xneg 13281

This theorem is used by:  xltneg  13387  xleneg  13388  xnegdi  13418  xaddass2  13420  xleadd1  13425  xsubge0  13431  xposdif  13432  xlesubadd  13433  xmulneg1  13439  xmulneg2  13440  xmulpnf1n  13448  xmulasslem  13455  xnegcld  13470  xrsds  21768  xrsxmet  25184  xrhmeo  25322  xaddeq0  33441  xrsinvgval  33668  xrge0npcan  33680  xnegcli  46727  xlenegcon1  46769  xlenegcon2  46770