| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | supeq1 9485 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
sup(∅, ℝ*, < )) |
| 2 | | xrsup0 13365 |
. . . . . 6
⊢
sup(∅, ℝ*, < ) = -∞ |
| 3 | 2 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 = ∅ → sup(∅,
ℝ*, < ) = -∞) |
| 4 | 1, 3 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-∞) |
| 5 | 4 | adantl 481 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-∞) |
| 6 | | eleq2 2830 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 = ∅ → (-𝑥 ∈ 𝐴 ↔ -𝑥 ∈ ∅)) |
| 7 | 6 | rabbidv 3444 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅}) |
| 8 | | noel 4338 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ¬
-𝑥 ∈
∅ |
| 9 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬
-𝑥 ∈
∅) |
| 10 | 9 | rgen 3063 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
∀𝑥 ∈
ℝ ¬ -𝑥 ∈
∅ |
| 11 | | rabeq0 4388 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅} = ∅
↔ ∀𝑥 ∈
ℝ ¬ -𝑥 ∈
∅) |
| 12 | 10, 11 | mpbir 231 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅} =
∅ |
| 13 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅} =
∅) |
| 14 | 7, 13 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} = ∅) |
| 15 | 14 | infeq1d 9517 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 = ∅ → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) =
inf(∅, ℝ*, < )) |
| 16 | | xrinf0 13380 |
. . . . . . . 8
⊢
inf(∅, ℝ*, < ) = +∞ |
| 17 | 16 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 = ∅ → inf(∅,
ℝ*, < ) = +∞) |
| 18 | 15, 17 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 = ∅ → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) =
+∞) |
| 19 | 18 | xnegeqd 45448 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 = ∅ →
-𝑒inf({𝑥
∈ ℝ ∣ -𝑥
∈ 𝐴},
ℝ*, < ) = -𝑒+∞) |
| 20 | | xnegpnf 13251 |
. . . . . 6
⊢
-𝑒+∞ = -∞ |
| 21 | 20 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 = ∅ →
-𝑒+∞ = -∞) |
| 22 | 19, 21 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (𝐴 = ∅ →
-𝑒inf({𝑥
∈ ℝ ∣ -𝑥
∈ 𝐴},
ℝ*, < ) = -∞) |
| 23 | 22 | adantl 481 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) →
-𝑒inf({𝑥
∈ ℝ ∣ -𝑥
∈ 𝐴},
ℝ*, < ) = -∞) |
| 24 | 5, 23 | eqtr4d 2780 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-𝑒inf({𝑥
∈ ℝ ∣ -𝑥
∈ 𝐴},
ℝ*, < )) |
| 25 | | neqne 2948 |
. . 3
⊢ (¬
𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅) |
| 26 | | supminfxr.1 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ) |
| 27 | 26 | ad2antrr 726 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ) |
| 28 | | simplr 769 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝐴 ≠ ∅) |
| 29 | | simpr 484 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) |
| 30 | | negn0 11692 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅) |
| 31 | | ublbneg 12975 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑦 ∈
ℝ ∀𝑧 ∈
𝐴 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑦 ≤ 𝑧) |
| 32 | | ssrab2 4080 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ |
| 33 | | infrenegsup 12251 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑦 ≤ 𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}}, ℝ, < )) |
| 34 | 32, 33 | mp3an1 1450 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑦 ≤ 𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}}, ℝ, < )) |
| 35 | 30, 31, 34 | syl2an 596 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧
∃𝑦 ∈ ℝ
∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}}, ℝ, < )) |
| 36 | 35 | 3impa 1110 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}}, ℝ, < )) |
| 37 | | elrabi 3687 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}} → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 38 | 37 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}}) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 39 | | ssel2 3978 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 40 | | negeq 11500 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑤 = 𝑦 → -𝑤 = -𝑦) |
| 41 | 40 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑤 = 𝑦 → (-𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ↔ -𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})) |
| 42 | 41 | elrab3 3693 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}} ↔ -𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})) |
| 43 | | renegcl 11572 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈
ℝ) |
| 44 | | negeq 11500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = -𝑦 → -𝑥 = --𝑦) |
| 45 | 44 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = -𝑦 → (-𝑥 ∈ 𝐴 ↔ --𝑦 ∈ 𝐴)) |
| 46 | 45 | elrab3 3693 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (-𝑦 ∈ ℝ → (-𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ↔ --𝑦 ∈ 𝐴)) |
| 47 | 43, 46 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (-𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ↔ --𝑦 ∈ 𝐴)) |
| 48 | | recn 11245 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈
ℂ) |
| 49 | 48 | negnegd 11611 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 ∈ ℝ → --𝑦 = 𝑦) |
| 50 | 49 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (--𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴)) |
| 51 | 42, 47, 50 | 3bitrd 305 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑦 ∈ 𝐴)) |
| 52 | 51 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}} ↔ 𝑦 ∈ 𝐴)) |
| 53 | 38, 39, 52 | eqrdav 2736 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}} = 𝐴) |
| 54 | 53 | supeq1d 9486 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ⊆ ℝ →
sup({𝑤 ∈ ℝ
∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < )) |
| 55 | 54 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < )) |
| 56 | 55 | negeqd 11502 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < )) |
| 57 | 36, 56 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < )) |
| 58 | | infrecl 12250 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑦 ≤ 𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
| 59 | 32, 58 | mp3an1 1450 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑦 ≤ 𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
| 60 | 30, 31, 59 | syl2an 596 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧
∃𝑦 ∈ ℝ
∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
| 61 | 60 | 3impa 1110 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
| 62 | | suprcl 12228 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
| 63 | | recn 11245 |
. . . . . . . . 9
⊢
(inf({𝑥 ∈
ℝ ∣ -𝑥 ∈
𝐴}, ℝ, < ) ∈
ℝ → inf({𝑥
∈ ℝ ∣ -𝑥
∈ 𝐴}, ℝ, < )
∈ ℂ) |
| 64 | | recn 11245 |
. . . . . . . . 9
⊢
(sup(𝐴, ℝ,
< ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈
ℂ) |
| 65 | | negcon2 11562 |
. . . . . . . . 9
⊢
((inf({𝑥 ∈
ℝ ∣ -𝑥 ∈
𝐴}, ℝ, < ) ∈
ℂ ∧ sup(𝐴,
ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) |
| 66 | 63, 64, 65 | syl2an 596 |
. . . . . . . 8
⊢
((inf({𝑥 ∈
ℝ ∣ -𝑥 ∈
𝐴}, ℝ, < ) ∈
ℝ ∧ sup(𝐴,
ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) |
| 67 | 61, 62, 66 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))) |
| 68 | 57, 67 | mpbid 232 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) |
| 69 | 27, 28, 29, 68 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) |
| 70 | | supxrre 13369 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, <
)) |
| 71 | 27, 28, 29, 70 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, <
)) |
| 72 | 32 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ) |
| 73 | 27, 28, 30 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅) |
| 74 | 29, 31 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑦 ≤ 𝑧) |
| 75 | | infxrre 13378 |
. . . . . . . 8
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑦 ≤ 𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) |
| 76 | 72, 73, 74, 75 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) |
| 77 | 76 | xnegeqd 45448 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) =
-𝑒inf({𝑥
∈ ℝ ∣ -𝑥
∈ 𝐴}, ℝ, <
)) |
| 78 | 26, 60 | sylanl1 680 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
| 79 | 78 | rexnegd 45148 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) |
| 80 | 77, 79 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ, < )) |
| 81 | 69, 71, 80 | 3eqtr4d 2787 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-𝑒inf({𝑥
∈ ℝ ∣ -𝑥
∈ 𝐴},
ℝ*, < )) |
| 82 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) |
| 83 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 84 | 26 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ) |
| 85 | 84 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ) |
| 86 | 83, 85 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≤ 𝑦)) |
| 87 | 86 | rexbidva 3177 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ≤ 𝑦)) |
| 88 | | rexnal 3100 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∃𝑧 ∈
𝐴 ¬ 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) |
| 89 | 88 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)) |
| 90 | 87, 89 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)) |
| 91 | 90 | ralbidva 3176 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)) |
| 92 | | ralnex 3072 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑦 ∈
ℝ ¬ ∀𝑧
∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) |
| 93 | 92 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ¬
∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)) |
| 94 | 91, 93 | bitrd 279 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)) |
| 95 | 94 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)) |
| 96 | 82, 95 | mpbird 257 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) |
| 97 | | xnegmnf 13252 |
. . . . . . . . 9
⊢
-𝑒-∞ = +∞ |
| 98 | 97 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . 8
⊢ +∞
= -𝑒-∞ |
| 99 | 98 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → +∞ =
-𝑒-∞) |
| 100 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) |
| 101 | | ressxr 11305 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ℝ
⊆ ℝ* |
| 102 | 101 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℝ*) |
| 103 | 26, 102 | sstrd 3994 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆
ℝ*) |
| 104 | | supxrunb2 13362 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ⊆ ℝ*
→ (∀𝑦 ∈
ℝ ∃𝑧 ∈
𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) =
+∞)) |
| 105 | 103, 104 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) =
+∞)) |
| 106 | 105 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) =
+∞)) |
| 107 | 100, 106 | mpbid 232 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
+∞) |
| 108 | | renegcl 11572 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑣 ∈ ℝ → -𝑣 ∈
ℝ) |
| 109 | 108 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((∀𝑦 ∈
ℝ ∃𝑧 ∈
𝐴 𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → -𝑣 ∈ ℝ) |
| 110 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((∀𝑦 ∈
ℝ ∃𝑧 ∈
𝐴 𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) |
| 111 | | breq1 5146 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 = -𝑣 → (𝑦 < 𝑧 ↔ -𝑣 < 𝑧)) |
| 112 | 111 | rexbidv 3179 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = -𝑣 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 -𝑣 < 𝑧)) |
| 113 | 112 | rspcva 3620 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((-𝑣 ∈ ℝ ∧
∀𝑦 ∈ ℝ
∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 -𝑣 < 𝑧) |
| 114 | 109, 110,
113 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((∀𝑦 ∈
ℝ ∃𝑧 ∈
𝐴 𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 -𝑣 < 𝑧) |
| 115 | 114 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 -𝑣 < 𝑧) |
| 116 | | negeq 11500 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = -𝑧 → -𝑥 = --𝑧) |
| 117 | 116 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = -𝑧 → (-𝑥 ∈ 𝐴 ↔ --𝑧 ∈ 𝐴)) |
| 118 | 84 | renegcld 11690 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → -𝑧 ∈ ℝ) |
| 119 | 118 | ad4ant13 751 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 ∈ ℝ) |
| 120 | 84 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ) |
| 121 | 120 | negnegd 11611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → --𝑧 = 𝑧) |
| 122 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴) |
| 123 | 121, 122 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → --𝑧 ∈ 𝐴) |
| 124 | 123 | ad4ant13 751 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → --𝑧 ∈ 𝐴) |
| 125 | 117, 119,
124 | elrabd 3694 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}) |
| 126 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑣 < 𝑧) |
| 127 | 108 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑣 ∈ ℝ) |
| 128 | 84 | ad4ant13 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ) |
| 129 | 127, 128 | ltnegd 11841 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → (-𝑣 < 𝑧 ↔ -𝑧 < --𝑣)) |
| 130 | 126, 129 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 < --𝑣) |
| 131 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → 𝑣 ∈ ℝ) |
| 132 | | recn 11245 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑣 ∈ ℝ → 𝑣 ∈
ℂ) |
| 133 | | negneg 11559 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑣 ∈ ℂ → --𝑣 = 𝑣) |
| 134 | 131, 132,
133 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → --𝑣 = 𝑣) |
| 135 | 130, 134 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 < 𝑣) |
| 136 | | breq1 5146 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑤 = -𝑧 → (𝑤 < 𝑣 ↔ -𝑧 < 𝑣)) |
| 137 | 136 | rspcev 3622 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((-𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ∧ -𝑧 < 𝑣) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑤 < 𝑣) |
| 138 | 125, 135,
137 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑤 < 𝑣) |
| 139 | 138 | rexlimdva2 3157 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 -𝑣 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑤 < 𝑣)) |
| 140 | 139 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 -𝑣 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑤 < 𝑣)) |
| 141 | 115, 140 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑤 < 𝑣) |
| 142 | 141 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑣 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑤 < 𝑣) |
| 143 | 32, 101 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ⊆
ℝ* |
| 144 | | infxrunb2 45379 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ* →
(∀𝑣 ∈ ℝ
∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}𝑤 < 𝑣 ↔ inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) =
-∞)) |
| 145 | 143, 144 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑣 ∈
ℝ ∃𝑤 ∈
{𝑥 ∈ ℝ ∣
-𝑥 ∈ 𝐴}𝑤 < 𝑣 ↔ inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) =
-∞) |
| 146 | 142, 145 | sylib 218 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) =
-∞) |
| 147 | 146 | xnegeqd 45448 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) =
-𝑒-∞) |
| 148 | 99, 107, 147 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-𝑒inf({𝑥
∈ ℝ ∣ -𝑥
∈ 𝐴},
ℝ*, < )) |
| 149 | 96, 148 | syldan 591 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-𝑒inf({𝑥
∈ ℝ ∣ -𝑥
∈ 𝐴},
ℝ*, < )) |
| 150 | 149 | adantlr 715 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-𝑒inf({𝑥
∈ ℝ ∣ -𝑥
∈ 𝐴},
ℝ*, < )) |
| 151 | 81, 150 | pm2.61dan 813 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-𝑒inf({𝑥
∈ ℝ ∣ -𝑥
∈ 𝐴},
ℝ*, < )) |
| 152 | 25, 151 | sylan2 593 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-𝑒inf({𝑥
∈ ℝ ∣ -𝑥
∈ 𝐴},
ℝ*, < )) |
| 153 | 24, 152 | pm2.61dan 813 |
1
⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-𝑒inf({𝑥
∈ ℝ ∣ -𝑥
∈ 𝐴},
ℝ*, < )) |