Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supminfxr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem supminfxr 44253
Description: The extended real suprema of a set of reals is the extended real negative of the extended real infima of that set's image under negation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
supminfxr.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
Assertion
Ref Expression
supminfxr (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘₯)
Proof of Theorem supminfxr
Dummy variables 𝑣 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supeq1 9442 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(βˆ…, ℝ*, < ))
2 xrsup0 13304 . . . . . 6 sup(βˆ…, ℝ*, < ) = -∞
32a1i 11 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ sup(βˆ…, ℝ*, < ) = -∞)
41, 3eqtrd 2772 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
54adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
6 eleq2 2822 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = βˆ… β†’ (-π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ -π‘₯ ∈ βˆ…))
76rabbidv 3440 . . . . . . . . 9 (𝐴 = βˆ… β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ βˆ…})
8 noel 4330 . . . . . . . . . . . . 13 Β¬ -π‘₯ ∈ βˆ…
98a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ Β¬ -π‘₯ ∈ βˆ…)
109rgen 3063 . . . . . . . . . . 11 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ Β¬ -π‘₯ ∈ βˆ…
11 rabeq0 4384 . . . . . . . . . . 11 ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ βˆ…} = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ Β¬ -π‘₯ ∈ βˆ…)
1210, 11mpbir 230 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ βˆ…} = βˆ…
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 = βˆ… β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ βˆ…} = βˆ…)
147, 13eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (𝐴 = βˆ… β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} = βˆ…)
1514infeq1d 9474 . . . . . . 7 (𝐴 = βˆ… β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = inf(βˆ…, ℝ*, < ))
16 xrinf0 13319 . . . . . . . 8 inf(βˆ…, ℝ*, < ) = +∞
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 = βˆ… β†’ inf(βˆ…, ℝ*, < ) = +∞)
1815, 17eqtrd 2772 . . . . . 6 (𝐴 = βˆ… β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = +∞)
1918xnegeqd 44226 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = -𝑒+∞)
20 xnegpnf 13190 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
2120a1i 11 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ -𝑒+∞ = -∞)
2219, 21eqtrd 2772 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
2322adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
245, 23eqtr4d 2775 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
25 neqne 2948 . . 3 (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
26 supminfxr.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2726ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
28 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
29 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦)
30 negn0 11645 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} β‰  βˆ…)
31 ublbneg 12919 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑦 ≀ 𝑧)
32 ssrab2 4077 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} βŠ† ℝ
33 infrenegsup 12199 . . . . . . . . . . 11 (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} βŠ† ℝ ∧ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑦 ≀ 𝑧) β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑀 ∈ ℝ ∣ -𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
3432, 33mp3an1 1448 . . . . . . . . . 10 (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑦 ≀ 𝑧) β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑀 ∈ ℝ ∣ -𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
3530, 31, 34syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑀 ∈ ℝ ∣ -𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
36353impa 1110 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑀 ∈ ℝ ∣ -𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}}, ℝ, < ))
37 elrabi 3677 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ ℝ ∣ -𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}} β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ ℝ ∣ -𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}}) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
39 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
40 negeq 11454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 𝑦 β†’ -𝑀 = -𝑦)
4140eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 𝑦 β†’ (-𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} ↔ -𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}))
4241elrab3 3684 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ ℝ ∣ -𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}} ↔ -𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}))
43 renegcl 11525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
44 negeq 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = -𝑦 β†’ -π‘₯ = --𝑦)
4544eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = -𝑦 β†’ (-π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ --𝑦 ∈ 𝐴))
4645elrab3 3684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑦 ∈ ℝ β†’ (-𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} ↔ --𝑦 ∈ 𝐴))
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (-𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} ↔ --𝑦 ∈ 𝐴))
48 recn 11202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
4948negnegd 11564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ β†’ --𝑦 = 𝑦)
5049eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (--𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
5142, 47, 503bitrd 304 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ ℝ ∣ -𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}} ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ ℝ ∣ -𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}} ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
5338, 39, 52eqrdav 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ {𝑀 ∈ ℝ ∣ -𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}} = 𝐴)
5453supeq1d 9443 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ sup({𝑀 ∈ ℝ ∣ -𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
55543ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ sup({𝑀 ∈ ℝ ∣ -𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
5655negeqd 11456 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ -sup({𝑀 ∈ ℝ ∣ -𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
5736, 56eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
58 infrecl 12198 . . . . . . . . . . 11 (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} βŠ† ℝ ∧ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑦 ≀ 𝑧) β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5932, 58mp3an1 1448 . . . . . . . . . 10 (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑦 ≀ 𝑧) β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6030, 31, 59syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
61603impa 1110 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
62 suprcl 12176 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63 recn 11202 . . . . . . . . 9 (inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ β„‚)
64 recn 11202 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ β†’ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ β„‚)
65 negcon2 11515 . . . . . . . . 9 ((inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ β„‚ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ β„‚) β†’ (inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
6663, 64, 65syl2an 596 . . . . . . . 8 ((inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) β†’ (inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
6761, 62, 66syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ (inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < )))
6857, 67mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
6927, 28, 29, 68syl3anc 1371 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
70 supxrre 13308 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
7127, 28, 29, 70syl3anc 1371 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
7232a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} βŠ† ℝ)
7327, 28, 30syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} β‰  βˆ…)
7429, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑦 ≀ 𝑧)
75 infxrre 13317 . . . . . . . 8 (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} βŠ† ℝ ∧ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑦 ≀ 𝑧) β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
7672, 73, 74, 75syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
7776xnegeqd 44226 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
7826, 60sylanl1 678 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7978rexnegd 43914 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = -inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
8077, 79eqtrd 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = -inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
8169, 71, 803eqtr4d 2782 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
82 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦)
83 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
8426sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
8584adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
8683, 85ltnled 11363 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < 𝑧 ↔ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑦))
8786rexbidva 3176 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑧 ≀ 𝑦))
88 rexnal 3100 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑧 ≀ 𝑦 ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦)
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑧 ≀ 𝑦 ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦))
9087, 89bitrd 278 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦))
9190ralbidva 3175 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦))
92 ralnex 3072 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦 ↔ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦)
9392a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦 ↔ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦))
9491, 93bitrd 278 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦))
9594adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦))
9682, 95mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)
97 xnegmnf 13191 . . . . . . . . 9 -𝑒-∞ = +∞
9897eqcomi 2741 . . . . . . . 8 +∞ = -𝑒-∞
9998a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) β†’ +∞ = -𝑒-∞)
100 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)
101 ressxr 11260 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† ℝ*
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ*)
10326, 102sstrd 3992 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ*)
104 supxrunb2 13301 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† ℝ* β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
106105adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
107100, 106mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
108 renegcl 11525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ℝ β†’ -𝑣 ∈ ℝ)
109108adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ -𝑣 ∈ ℝ)
110 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)
111 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -𝑣 β†’ (𝑦 < 𝑧 ↔ -𝑣 < 𝑧))
112111rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = -𝑣 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 -𝑣 < 𝑧))
113112rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑣 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 -𝑣 < 𝑧)
114109, 110, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 -𝑣 < 𝑧)
115114adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 -𝑣 < 𝑧)
116 negeq 11454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = -𝑧 β†’ -π‘₯ = --𝑧)
117116eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = -𝑧 β†’ (-π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ --𝑧 ∈ 𝐴))
11884renegcld 11643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ -𝑧 ∈ ℝ)
119118ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) β†’ -𝑧 ∈ ℝ)
12084recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
121120negnegd 11564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ --𝑧 = 𝑧)
122 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
123121, 122eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ --𝑧 ∈ 𝐴)
124123ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) β†’ --𝑧 ∈ 𝐴)
125117, 119, 124elrabd 3685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) β†’ -𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴})
126 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) β†’ -𝑣 < 𝑧)
127108ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) β†’ -𝑣 ∈ ℝ)
12884ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
129127, 128ltnegd 11794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) β†’ (-𝑣 < 𝑧 ↔ -𝑧 < --𝑣))
130126, 129mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) β†’ -𝑧 < --𝑣)
131 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
132 recn 11202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ ℝ β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
133 negneg 11512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ β„‚ β†’ --𝑣 = 𝑣)
134131, 132, 1333syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) β†’ --𝑣 = 𝑣)
135130, 134breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) β†’ -𝑧 < 𝑣)
136 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = -𝑧 β†’ (𝑀 < 𝑣 ↔ -𝑧 < 𝑣))
137136rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} ∧ -𝑧 < 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑀 < 𝑣)
138125, 135, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑀 < 𝑣)
139138rexlimdva2 3157 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 -𝑣 < 𝑧 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑀 < 𝑣))
140139adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 -𝑣 < 𝑧 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑀 < 𝑣))
141115, 140mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑀 < 𝑣)
142141ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ℝ βˆƒπ‘€ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑀 < 𝑣)
14332, 101sstri 3991 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} βŠ† ℝ*
144 infxrunb2 44157 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴} βŠ† ℝ* β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ℝ βˆƒπ‘€ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑀 < 𝑣 ↔ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = -∞))
145143, 144ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘£ ∈ ℝ βˆƒπ‘€ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}𝑀 < 𝑣 ↔ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
146142, 145sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) β†’ inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
147146xnegeqd 44226 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) β†’ -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = -𝑒-∞)
14899, 107, 1473eqtr4d 2782 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
14996, 148syldan 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
150149adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝑧 ≀ 𝑦) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
15181, 150pm2.61dan 811 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
15225, 151sylan2 593 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 = βˆ…) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
15324, 152pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({π‘₯ ∈ ℝ ∣ -π‘₯ ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  supcsup 9437  infcinf 9438  β„‚cc 11110  β„cr 11111  +∞cpnf 11247  -∞cmnf 11248  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  -cneg 11447  -𝑒cxne 13091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-xneg 13094
This theorem is referenced by:  supminfxr2  44258
  Copyright terms: Public domain W3C validator