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Theorem supminfxr 43004
Description: The extended real suprema of a set of reals is the extended real negative of the extended real infima of that set's image under negation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
supminfxr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
supminfxr (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supminfxr
Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supeq1 9204 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
2 xrsup0 13057 . . . . . 6 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
32a1i 11 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → sup(∅, ℝ*, < ) = -∞)
41, 3eqtrd 2778 . . . 4 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
54adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
6 eleq2 2827 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → (-𝑥𝐴 ↔ -𝑥 ∈ ∅))
76rabbidv 3414 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅})
8 noel 4264 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ -𝑥 ∈ ∅
98a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ -𝑥 ∈ ∅)
109rgen 3074 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ ℝ ¬ -𝑥 ∈ ∅
11 rabeq0 4318 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ -𝑥 ∈ ∅)
1210, 11mpbir 230 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅} = ∅
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅} = ∅)
147, 13eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} = ∅)
1514infeq1d 9236 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
16 xrinf0 13072 . . . . . . . 8 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) = +∞)
1815, 17eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = +∞)
1918xnegeqd 42977 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -𝑒+∞)
20 xnegpnf 12943 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
2120a1i 11 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → -𝑒+∞ = -∞)
2219, 21eqtrd 2778 . . . 4 (𝐴 = ∅ → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
2322adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
245, 23eqtr4d 2781 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
25 neqne 2951 . . 3 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
26 supminfxr.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2726ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
28 simplr 766 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
29 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
30 negn0 11404 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅)
31 ublbneg 12673 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧)
32 ssrab2 4013 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ
33 infrenegsup 11958 . . . . . . . . . . 11 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ))
3432, 33mp3an1 1447 . . . . . . . . . 10 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ))
3530, 31, 34syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ))
36353impa 1109 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ))
37 elrabi 3618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} → 𝑦 ∈ ℝ)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}) → 𝑦 ∈ ℝ)
39 ssel2 3916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
40 negeq 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑦 → -𝑤 = -𝑦)
4140eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑦 → (-𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ↔ -𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}))
4241elrab3 3625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} ↔ -𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}))
43 renegcl 11284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
44 negeq 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = -𝑦 → -𝑥 = --𝑦)
4544eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = -𝑦 → (-𝑥𝐴 ↔ --𝑦𝐴))
4645elrab3 3625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑦 ∈ ℝ → (-𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ↔ --𝑦𝐴))
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (-𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ↔ --𝑦𝐴))
48 recn 10961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
4948negnegd 11323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → --𝑦 = 𝑦)
5049eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (--𝑦𝐴𝑦𝐴))
5142, 47, 503bitrd 305 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} ↔ 𝑦𝐴))
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} ↔ 𝑦𝐴))
5338, 39, 52eqrdav 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} = 𝐴)
5453supeq1d 9205 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
55543ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
5655negeqd 11215 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
5736, 56eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
58 infrecl 11957 . . . . . . . . . . 11 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5932, 58mp3an1 1447 . . . . . . . . . 10 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6030, 31, 59syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
61603impa 1109 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
62 suprcl 11935 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63 recn 10961 . . . . . . . . 9 (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
64 recn 10961 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
65 negcon2 11274 . . . . . . . . 9 ((inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < )))
6663, 64, 65syl2an 596 . . . . . . . 8 ((inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < )))
6761, 62, 66syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < )))
6857, 67mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
6927, 28, 29, 68syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
70 supxrre 13061 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
7127, 28, 29, 70syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
7232a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ)
7327, 28, 30syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅)
7429, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧)
75 infxrre 13070 . . . . . . . 8 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
7672, 73, 74, 75syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
7776xnegeqd 42977 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
7826, 60sylanl1 677 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7978rexnegd 42692 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
8077, 79eqtrd 2778 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
8169, 71, 803eqtr4d 2788 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
82 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
83 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
8426sselda 3921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
8584adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
8683, 85ltnled 11122 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑦))
8786rexbidva 3225 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 ¬ 𝑧𝑦))
88 rexnal 3169 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧𝐴 ¬ 𝑧𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 ¬ 𝑧𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9087, 89bitrd 278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9190ralbidva 3111 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
92 ralnex 3167 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
9392a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9491, 93bitrd 278 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9594adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9682, 95mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
97 xnegmnf 12944 . . . . . . . . 9 -𝑒-∞ = +∞
9897eqcomi 2747 . . . . . . . 8 +∞ = -𝑒-∞
9998a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → +∞ = -𝑒-∞)
100 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
101 ressxr 11019 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
10326, 102sstrd 3931 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
104 supxrunb2 13054 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
106105adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
107100, 106mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
108 renegcl 11284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ℝ → -𝑣 ∈ ℝ)
109108adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧𝑣 ∈ ℝ) → -𝑣 ∈ ℝ)
110 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧𝑣 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
111 breq1 5077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -𝑣 → (𝑦 < 𝑧 ↔ -𝑣 < 𝑧))
112111rexbidv 3226 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = -𝑣 → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧))
113112rspcva 3559 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑣 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧)
114109, 110, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧𝑣 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧)
115114adantll 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧)
116 negeq 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = -𝑧 → -𝑥 = --𝑧)
117116eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑧 → (-𝑥𝐴 ↔ --𝑧𝐴))
11884renegcld 11402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → -𝑧 ∈ ℝ)
119118ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 ∈ ℝ)
12084recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
121120negnegd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → --𝑧 = 𝑧)
122 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
123121, 122eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → --𝑧𝐴)
124123ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → --𝑧𝐴)
125117, 119, 124elrabd 3626 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
126 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑣 < 𝑧)
127108ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑣 ∈ ℝ)
12884ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
129127, 128ltnegd 11553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → (-𝑣 < 𝑧 ↔ -𝑧 < --𝑣))
130126, 129mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 < --𝑣)
131 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → 𝑣 ∈ ℝ)
132 recn 10961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ ℝ → 𝑣 ∈ ℂ)
133 negneg 11271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ ℂ → --𝑣 = 𝑣)
134131, 132, 1333syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → --𝑣 = 𝑣)
135130, 134breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 < 𝑣)
136 breq1 5077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = -𝑧 → (𝑤 < 𝑣 ↔ -𝑧 < 𝑣))
137136rspcev 3561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ∧ -𝑧 < 𝑣) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣)
138125, 135, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣)
139138rexlimdva2 3216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣))
140139adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣))
141115, 140mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣)
142141ralrimiva 3103 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑣 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣)
14332, 101sstri 3930 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ*
144 infxrunb2 42907 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ* → (∀𝑣 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣 ↔ inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞))
145143, 144ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑣 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣 ↔ inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
146142, 145sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
147146xnegeqd 42977 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -𝑒-∞)
14899, 107, 1473eqtr4d 2788 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
14996, 148syldan 591 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
150149adantlr 712 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
15181, 150pm2.61dan 810 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
15225, 151sylan2 593 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
15324, 152pm2.61dan 810 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  {crab 3068  wss 3887  c0 4256   class class class wbr 5074  supcsup 9199  infcinf 9200  cc 10869  cr 10870  +∞cpnf 11006  -∞cmnf 11007  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010  -cneg 11206  -𝑒cxne 12845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-xneg 12848
This theorem is referenced by:  supminfxr2  43009
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