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Theorem supminfxr 40331
Description: The extended real suprema of a set of reals is the extended real negative of the extended real infima of that set's image under negation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
supminfxr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
supminfxr (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supminfxr
Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supeq1 8558 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
2 xrsup0 12355 . . . . . 6 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
32a1i 11 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → sup(∅, ℝ*, < ) = -∞)
41, 3eqtrd 2799 . . . 4 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
54adantl 473 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
6 eleq2 2833 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → (-𝑥𝐴 ↔ -𝑥 ∈ ∅))
76rabbidv 3338 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅})
8 noel 4083 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ -𝑥 ∈ ∅
98a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ -𝑥 ∈ ∅)
109rgen 3069 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ ℝ ¬ -𝑥 ∈ ∅
11 rabeq0 4121 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ -𝑥 ∈ ∅)
1210, 11mpbir 222 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅} = ∅
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅} = ∅)
147, 13eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} = ∅)
1514infeq1d 8590 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
16 xrinf0 12370 . . . . . . . 8 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) = +∞)
1815, 17eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = +∞)
1918xnegeqd 40301 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -𝑒+∞)
20 xnegpnf 12242 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
2120a1i 11 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → -𝑒+∞ = -∞)
2219, 21eqtrd 2799 . . . 4 (𝐴 = ∅ → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
2322adantl 473 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
245, 23eqtr4d 2802 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
25 neqne 2945 . . 3 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
26 supminfxr.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2726ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
28 simplr 785 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
29 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
30 negn0 10713 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅)
31 ublbneg 11974 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧)
32 ssrab2 3847 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ
33 infrenegsup 11260 . . . . . . . . . . 11 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ))
3432, 33mp3an1 1572 . . . . . . . . . 10 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ))
3530, 31, 34syl2an 589 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ))
36353impa 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ))
37 elrabi 3514 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} → 𝑦 ∈ ℝ)
3837adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}) → 𝑦 ∈ ℝ)
39 ssel2 3756 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
40 negeq 10527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑦 → -𝑤 = -𝑦)
4140eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑦 → (-𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ↔ -𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}))
4241elrab3 3521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} ↔ -𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}))
43 renegcl 10598 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
44 negeq 10527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = -𝑦 → -𝑥 = --𝑦)
4544eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = -𝑦 → (-𝑥𝐴 ↔ --𝑦𝐴))
4645elrab3 3521 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑦 ∈ ℝ → (-𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ↔ --𝑦𝐴))
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (-𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ↔ --𝑦𝐴))
48 recn 10279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
4948negnegd 10637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → --𝑦 = 𝑦)
5049eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (--𝑦𝐴𝑦𝐴))
5142, 47, 503bitrd 296 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} ↔ 𝑦𝐴))
5251adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} ↔ 𝑦𝐴))
5338, 39, 52eqrdav 2764 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} = 𝐴)
5453supeq1d 8559 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
55543ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
5655negeqd 10529 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
5736, 56eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
58 infrecl 11259 . . . . . . . . . . 11 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5932, 58mp3an1 1572 . . . . . . . . . 10 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6030, 31, 59syl2an 589 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
61603impa 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
62 suprcl 11237 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63 recn 10279 . . . . . . . . 9 (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
64 recn 10279 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
65 negcon2 10588 . . . . . . . . 9 ((inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < )))
6663, 64, 65syl2an 589 . . . . . . . 8 ((inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < )))
6761, 62, 66syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < )))
6857, 67mpbid 223 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
6927, 28, 29, 68syl3anc 1490 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
70 supxrre 12359 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
7127, 28, 29, 70syl3anc 1490 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
7232a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ)
7327, 28, 30syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅)
7429, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧)
75 infxrre 12368 . . . . . . . 8 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
7672, 73, 74, 75syl3anc 1490 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
7776xnegeqd 40301 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
7826, 60sylanl1 670 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7978rexnegd 39981 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
8077, 79eqtrd 2799 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
8169, 71, 803eqtr4d 2809 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
82 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
83 simplr 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
8426sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
8584adantlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
8683, 85ltnled 10438 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑦))
8786rexbidva 3196 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 ¬ 𝑧𝑦))
88 rexnal 3141 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧𝐴 ¬ 𝑧𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 ¬ 𝑧𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9087, 89bitrd 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9190ralbidva 3132 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
92 ralnex 3139 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
9392a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9491, 93bitrd 270 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9594adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9682, 95mpbird 248 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
97 xnegmnf 12243 . . . . . . . . 9 -𝑒-∞ = +∞
9897eqcomi 2774 . . . . . . . 8 +∞ = -𝑒-∞
9998a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → +∞ = -𝑒-∞)
100 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
101 ressxr 10337 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
10326, 102sstrd 3771 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
104 supxrunb2 12352 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
106105adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
107100, 106mpbid 223 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
108 renegcl 10598 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ℝ → -𝑣 ∈ ℝ)
109108adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧𝑣 ∈ ℝ) → -𝑣 ∈ ℝ)
110 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧𝑣 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
111 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -𝑣 → (𝑦 < 𝑧 ↔ -𝑣 < 𝑧))
112111rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = -𝑣 → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧))
113112rspcva 3459 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑣 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧)
114109, 110, 113syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧𝑣 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧)
115114adantll 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧)
116 negeq 10527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = -𝑧 → -𝑥 = --𝑧)
117116eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑧 → (-𝑥𝐴 ↔ --𝑧𝐴))
11884renegcld 10711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → -𝑧 ∈ ℝ)
119118ad4ant13 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 ∈ ℝ)
12084recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
121120negnegd 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → --𝑧 = 𝑧)
122 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
123121, 122eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → --𝑧𝐴)
124123ad4ant13 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → --𝑧𝐴)
125117, 119, 124elrabd 3522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
126 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑣 < 𝑧)
127108ad3antlr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑣 ∈ ℝ)
12884ad4ant13 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
129127, 128ltnegd 10859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → (-𝑣 < 𝑧 ↔ -𝑧 < --𝑣))
130126, 129mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 < --𝑣)
131 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → 𝑣 ∈ ℝ)
132 recn 10279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ ℝ → 𝑣 ∈ ℂ)
133 negneg 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ ℂ → --𝑣 = 𝑣)
134131, 132, 1333syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → --𝑣 = 𝑣)
135130, 134breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 < 𝑣)
136 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = -𝑧 → (𝑤 < 𝑣 ↔ -𝑧 < 𝑣))
137136rspcev 3461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ∧ -𝑧 < 𝑣) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣)
138125, 135, 137syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣)
139138rexlimdva2 39986 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣))
140139adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣))
141115, 140mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣)
142141ralrimiva 3113 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑣 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣)
14332, 101sstri 3770 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ*
144 infxrunb2 40222 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ* → (∀𝑣 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣 ↔ inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞))
145143, 144ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑣 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣 ↔ inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
146142, 145sylib 209 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
147146xnegeqd 40301 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -𝑒-∞)
14899, 107, 1473eqtr4d 2809 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
14996, 148syldan 585 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
150149adantlr 706 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
15181, 150pm2.61dan 847 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
15225, 151sylan2 586 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
15324, 152pm2.61dan 847 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  wss 3732  c0 4079   class class class wbr 4809  supcsup 8553  infcinf 8554  cc 10187  cr 10188  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  -cneg 10521  -𝑒cxne 12143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-xneg 12146
This theorem is referenced by:  supminfxr2  40336
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