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Theorem xsubge0 12646
Description: Extended real version of subge0 11146. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xsubge0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem xsubge0
StepHypRef Expression
1 elxr 12503 . 2 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
2 0xr 10681 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
3 rexr 10680 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 xnegcl 12598 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
5 xaddcl 12624 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
64, 5sylan2 595 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
73, 6sylan2 595 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
8 simpr 488 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 xleadd1 12640 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ (0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵)))
102, 7, 8, 9mp3an2i 1463 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ (0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵)))
113adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 xaddid2 12627 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
14 xnpcan 12637 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
1513, 14breq12d 5046 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
1610, 15bitrd 282 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
17 pnfxr 10688 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
18 xrletri3 12539 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
1917, 18mpan2 690 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
20 mnflt0 12512 . . . . . . . . . . 11 -∞ < 0
21 mnfxr 10691 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
22 xrltnle 10701 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
2321, 2, 22mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
2420, 23mpbi 233 . . . . . . . . . 10 ¬ 0 ≤ -∞
25 xaddmnf1 12613 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
2625breq2d 5045 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ 0 ≤ -∞))
2724, 26mtbiri 330 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → ¬ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞))
2827ex 416 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ +∞ → ¬ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞)))
2928necon4ad 3009 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
30 0le0 11730 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
31 oveq1 7146 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = (+∞ +𝑒 -∞))
32 pnfaddmnf 12615 . . . . . . . . 9 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
3331, 32eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = 0)
3430, 33breqtrrid 5071 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞))
3529, 34impbid1 228 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ 𝐴 = +∞))
36 pnfge 12517 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
3736biantrurd 536 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
3819, 35, 373bitr4d 314 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ +∞ ≤ 𝐴))
3938adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ +∞ ≤ 𝐴))
40 xnegeq 12592 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
41 xnegpnf 12594 . . . . . . . 8 -𝑒+∞ = -∞
4240, 41eqtrdi 2852 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
4342adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
4443oveq2d 7155 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
4544breq2d 5045 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞)))
46 breq1 5036 . . . . 5 (𝐵 = +∞ → (𝐵𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
4746adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐵𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
4839, 45, 473bitr4d 314 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
49 oveq1 7146 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞))
50 mnfaddpnf 12616 . . . . . . . . . 10 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
5149, 50eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 +∞) = 0)
5251adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = 0)
5330, 52breqtrrid 5071 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
54 0lepnf 12519 . . . . . . . 8 0 ≤ +∞
55 xaddpnf1 12611 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5654, 55breqtrrid 5071 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
5753, 56pm2.61dane 3077 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
58 mnfle 12521 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
5957, 582thd 268 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞) ↔ -∞ ≤ 𝐴))
6059adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞) ↔ -∞ ≤ 𝐴))
61 xnegeq 12592 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
62 xnegmnf 12595 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
6361, 62eqtrdi 2852 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = +∞)
6463adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒𝐵 = +∞)
6564oveq2d 7155 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
6665breq2d 5045 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞)))
67 breq1 5036 . . . . 5 (𝐵 = -∞ → (𝐵𝐴 ↔ -∞ ≤ 𝐴))
6867adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐵𝐴 ↔ -∞ ≤ 𝐴))
6960, 66, 683bitr4d 314 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
7016, 48, 693jaodan 1427 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
711, 70sylan2b 596 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3o 1083   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  +∞cpnf 10665  -∞cmnf 10666  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  -𝑒cxne 12496   +𝑒 cxad 12497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-xneg 12499  df-xadd 12500
This theorem is referenced by:  xposdif  12647  ssblps  23033  ssbl  23034  xrsxmet  23418  xrge0subcld  30517  esumle  31431  esumlef  31435
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