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Theorem xsubge0 12642
Description: Extended real version of subge0 11141. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xsubge0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem xsubge0
StepHypRef Expression
1 elxr 12499 . 2 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
2 0xr 10676 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
3 rexr 10675 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 xnegcl 12594 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
5 xaddcl 12620 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
64, 5sylan2 592 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
73, 6sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
8 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 xleadd1 12636 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ (0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵)))
102, 7, 8, 9mp3an2i 1457 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ (0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵)))
113adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 xaddid2 12623 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
14 xnpcan 12633 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
1513, 14breq12d 5070 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
1610, 15bitrd 280 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
17 pnfxr 10683 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
18 xrletri3 12535 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
1917, 18mpan2 687 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
20 mnflt0 12508 . . . . . . . . . . 11 -∞ < 0
21 mnfxr 10686 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
22 xrltnle 10696 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
2321, 2, 22mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
2420, 23mpbi 231 . . . . . . . . . 10 ¬ 0 ≤ -∞
25 xaddmnf1 12609 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
2625breq2d 5069 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ 0 ≤ -∞))
2724, 26mtbiri 328 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → ¬ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞))
2827ex 413 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ +∞ → ¬ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞)))
2928necon4ad 3032 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
30 0le0 11726 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
31 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = (+∞ +𝑒 -∞))
32 pnfaddmnf 12611 . . . . . . . . 9 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
3331, 32syl6eq 2869 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = 0)
3430, 33breqtrrid 5095 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞))
3529, 34impbid1 226 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ 𝐴 = +∞))
36 pnfge 12513 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
3736biantrurd 533 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
3819, 35, 373bitr4d 312 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ +∞ ≤ 𝐴))
3938adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ +∞ ≤ 𝐴))
40 xnegeq 12588 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
41 xnegpnf 12590 . . . . . . . 8 -𝑒+∞ = -∞
4240, 41syl6eq 2869 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
4342adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
4443oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
4544breq2d 5069 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞)))
46 breq1 5060 . . . . 5 (𝐵 = +∞ → (𝐵𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
4746adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐵𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
4839, 45, 473bitr4d 312 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
49 oveq1 7152 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞))
50 mnfaddpnf 12612 . . . . . . . . . 10 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
5149, 50syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 +∞) = 0)
5251adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = 0)
5330, 52breqtrrid 5095 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
54 0lepnf 12515 . . . . . . . 8 0 ≤ +∞
55 xaddpnf1 12607 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5654, 55breqtrrid 5095 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
5753, 56pm2.61dane 3101 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
58 mnfle 12517 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
5957, 582thd 266 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞) ↔ -∞ ≤ 𝐴))
6059adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞) ↔ -∞ ≤ 𝐴))
61 xnegeq 12588 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
62 xnegmnf 12591 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
6361, 62syl6eq 2869 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = +∞)
6463adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒𝐵 = +∞)
6564oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
6665breq2d 5069 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞)))
67 breq1 5060 . . . . 5 (𝐵 = -∞ → (𝐵𝐴 ↔ -∞ ≤ 𝐴))
6867adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐵𝐴 ↔ -∞ ≤ 𝐴))
6960, 66, 683bitr4d 312 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
7016, 48, 693jaodan 1422 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
711, 70sylan2b 593 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3o 1078   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  -𝑒cxne 12492   +𝑒 cxad 12493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-xneg 12495  df-xadd 12496
This theorem is referenced by:  xposdif  12643  ssblps  22959  ssbl  22960  xrsxmet  23344  xrge0subcld  30413  esumle  31216  esumlef  31220
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