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Theorem xsubge0 12473
Description: Extended real version of subge0 10956. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xsubge0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem xsubge0
StepHypRef Expression
1 elxr 12331 . 2 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
2 0xr 10489 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
3 rexr 10488 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 xnegcl 12426 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
5 xaddcl 12452 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
64, 5sylan2 583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
73, 6sylan2 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
8 simpr 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 xleadd1 12467 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ (0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵)))
102, 7, 8, 9mp3an2i 1445 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ (0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵)))
113adantl 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 xaddid2 12455 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
14 xnpcan 12464 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
1513, 14breq12d 4943 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((0 +𝑒 𝐵) ≤ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
1610, 15bitrd 271 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
17 pnfxr 10496 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
18 xrletri3 12367 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
1917, 18mpan2 678 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
20 mnflt0 12340 . . . . . . . . . . 11 -∞ < 0
21 mnfxr 10500 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
22 xrltnle 10510 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
2321, 2, 22mp2an 679 . . . . . . . . . . 11 (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
2420, 23mpbi 222 . . . . . . . . . 10 ¬ 0 ≤ -∞
25 xaddmnf1 12441 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
2625breq2d 4942 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ 0 ≤ -∞))
2724, 26mtbiri 319 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → ¬ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞))
2827ex 405 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ +∞ → ¬ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞)))
2928necon4ad 2986 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) → 𝐴 = +∞))
30 0le0 11551 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
31 oveq1 6985 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = (+∞ +𝑒 -∞))
32 pnfaddmnf 12443 . . . . . . . . 9 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
3331, 32syl6eq 2830 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = 0)
3430, 33syl5breqr 4968 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞))
3529, 34impbid1 217 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ 𝐴 = +∞))
36 pnfge 12345 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
3736biantrurd 525 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ 𝐴)))
3819, 35, 373bitr4d 303 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ +∞ ≤ 𝐴))
3938adantr 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞) ↔ +∞ ≤ 𝐴))
40 xnegeq 12420 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
41 xnegpnf 12422 . . . . . . . 8 -𝑒+∞ = -∞
4240, 41syl6eq 2830 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
4342adantl 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
4443oveq2d 6994 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
4544breq2d 4942 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -∞)))
46 breq1 4933 . . . . 5 (𝐵 = +∞ → (𝐵𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
4746adantl 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐵𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
4839, 45, 473bitr4d 303 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
49 oveq1 6985 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞))
50 mnfaddpnf 12444 . . . . . . . . . 10 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
5149, 50syl6eq 2830 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 +∞) = 0)
5251adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = 0)
5330, 52syl5breqr 4968 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
54 0lepnf 12347 . . . . . . . 8 0 ≤ +∞
55 xaddpnf1 12439 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5654, 55syl5breqr 4968 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
5753, 56pm2.61dane 3055 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞))
58 mnfle 12349 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
5957, 582thd 257 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞) ↔ -∞ ≤ 𝐴))
6059adantr 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞) ↔ -∞ ≤ 𝐴))
61 xnegeq 12420 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
62 xnegmnf 12423 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
6361, 62syl6eq 2830 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = +∞)
6463adantl 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒𝐵 = +∞)
6564oveq2d 6994 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
6665breq2d 4942 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 +∞)))
67 breq1 4933 . . . . 5 (𝐵 = -∞ → (𝐵𝐴 ↔ -∞ ≤ 𝐴))
6867adantl 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐵𝐴 ↔ -∞ ≤ 𝐴))
6960, 66, 683bitr4d 303 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
7016, 48, 693jaodan 1410 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
711, 70sylan2b 584 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3o 1067   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967   class class class wbr 4930  (class class class)co 6978  cr 10336  0cc0 10337  +∞cpnf 10473  -∞cmnf 10474  *cxr 10475   < clt 10476  cle 10477  -𝑒cxne 12324   +𝑒 cxad 12325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-po 5327  df-so 5328  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-xneg 12327  df-xadd 12328
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