MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnegneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnegneg 12243
Description: Extended real version of negneg 10531. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegneg (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem xnegneg
StepHypRef Expression
1 elxr 12148 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 12240 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3 xnegeq 12236 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = -𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
5 renegcl 10544 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6 rexneg 12240 . . . . 5 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
8 recn 10226 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
98negnegd 10583 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
104, 7, 93eqtrd 2809 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
11 xnegmnf 12239 . . . 4 -𝑒-∞ = +∞
12 xnegeq 12236 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
13 xnegpnf 12238 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
1412, 13syl6eq 2821 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
15 xnegeq 12236 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
17 id 22 . . . 4 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
1811, 16, 173eqtr4a 2831 . . 3 (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
19 xnegeq 12236 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
2019, 11syl6eq 2821 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21 xnegeq 12236 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
23 id 22 . . . 4 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
2413, 22, 233eqtr4a 2831 . . 3 (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
2510, 18, 243jaoi 1539 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
261, 25sylbi 207 1 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1070   = wceq 1631  wcel 2145  cr 10135  +∞cpnf 10271  -∞cmnf 10272  *cxr 10273  -cneg 10467  -𝑒cxne 12141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-sub 10468  df-neg 10469  df-xneg 12144
This theorem is referenced by:  xneg11  12244  xltneg  12246  xnegdi  12276  xnpcan  12280  xposdif  12290  xrsxmet  22825  xrhmeo  22958  xaddeq0  29851  xrge0npcan  30027  carsgclctunlem2  30714  xnegnegi  40175  xnegnegd  40178  xnegrecl2  40199  supminfxr2  40208  supminfxrrnmpt  40210
  Copyright terms: Public domain W3C validator