Theorem xnegneg 13357

Description: Extended real version of negneg 11621. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e -e𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem xnegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13258	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 13354	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 = -𝐴)
3		xnegeq 13350	. . . . 5 ⊢ ( -e𝐴 = -𝐴 → -e -e𝐴 = -e -𝐴)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e -e𝐴 = -e -𝐴)
5		renegcl 11634	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6		rexneg 13354	. . . . 5 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℝ → -e -𝐴 = - -𝐴)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e -𝐴 = - -𝐴)
8		recn 11303	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	negnegd 11673	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → - -𝐴 = 𝐴)
10	4, 7, 9	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e -e𝐴 = 𝐴)
11		xnegmnf 13353	. . . 4 ⊢ -e-∞ = +∞
12		xnegeq 13350	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e𝐴 = -e+∞)
13		xnegpnf 13352	. . . . . 6 ⊢ -e+∞ = -∞
14	12, 13	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e𝐴 = -∞)
15		xnegeq 13350	. . . . 5 ⊢ ( -e𝐴 = -∞ → -e -e𝐴 = -e-∞)
16	14, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e -e𝐴 = -e-∞)
17		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
18	11, 16, 17	3eqtr4a 2824	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e -e𝐴 = 𝐴)
19		xnegeq 13350	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e𝐴 = -e-∞)
20	19, 11	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e𝐴 = +∞)
21		xnegeq 13350	. . . . 5 ⊢ ( -e𝐴 = +∞ → -e -e𝐴 = -e+∞)
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e -e𝐴 = -e+∞)
23		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
24	13, 22, 23	3eqtr4a 2824	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e -e𝐴 = 𝐴)
25	10, 18, 24	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -e -e𝐴 = 𝐴)
26	1, 25	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e -e𝐴 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ℝcr 11212  +∞cpnf 11353  -∞cmnf 11354  ℝ^*cxr 11355   -cneg 11555   -_ecxne 13251

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-sub 11556  df-neg 11557  df-xneg 13254

This theorem is used by:  xneg11  13358  xltneg  13360  xnegdi  13391  xnpcan  13395  xposdif  13405  xrsxmet  25144  xrhmeo  25282  xaddeq0  33401  xrge0npcan  33637  carsgclctunlem2  35007  xnegnegi  46591  xnegnegd  46594  xnegrecl2  46612  supminfxr2  46621  supminfxrrnmpt  46623  xlenegcon1  46638  xlenegcon2  46639