Theorem xnegneg 13240

Description: Extended real version of negneg 11508. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem xnegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13141	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 13237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3		xnegeq 13233	. . . . 5 ⊢ (-𝑒𝐴 = -𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
5		renegcl 11521	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6		rexneg 13237	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
8		recn 11190	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	negnegd 11560	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
10	4, 7, 9	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
11		xnegmnf 13236	. . . 4 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
12		xnegeq 13233	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
13		xnegpnf 13235	. . . . . 6 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
14	12, 13	eqtrdi 2820	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
15		xnegeq 13233	. . . . 5 ⊢ (-𝑒𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
16	14, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
17		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
18	11, 16, 17	3eqtr4a 2830	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
19		xnegeq 13233	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
20	19, 11	eqtrdi 2820	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21		xnegeq 13233	. . . . 5 ⊢ (-𝑒𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
23		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
24	13, 22, 23	3eqtr4a 2830	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
25	10, 18, 24	3jaoi 1452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
26	1, 25	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1100   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ℝcr 11099  +∞cpnf 11240  -∞cmnf 11241  ℝ^*cxr 11242  -cneg 11442  -_𝑒cxne 13134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-neg 11444  df-xneg 13137

This theorem is referenced by:  xneg11  13241  xltneg  13243  xnegdi  13274  xnpcan  13278  xposdif  13288  xrsxmet  24936  xrhmeo  25074  xaddeq0  33039  xrge0npcan  33281  carsgclctunlem2  34654  xnegnegi  46079  xnegnegd  46082  xnegrecl2  46100  supminfxr2  46109  supminfxrrnmpt  46111  xlenegcon1  46126  xlenegcon2  46127