Theorem xrge0npcan 33680

Description: Extended nonnegative real version of npcan 11605. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0npcan	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +e -e𝐵) +e 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xrge0npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13601	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sselid 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
5		simpl3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
6	4, 5	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≤ 𝐴)
7		xgepnf 13335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 = +∞))
8	7	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ≤ 𝐴) → 𝐴 = +∞)
9	3, 6, 8	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = +∞)
10		xnegeq 13377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → -e𝐵 = -e+∞)
11	4, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → -e𝐵 = -e+∞)
12	9, 11	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +e -e𝐵) = (+∞ +e -e+∞))
13		pnfxr 11402	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		xnegid 13408	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ +e -e+∞) = 0)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (+∞ +e -e+∞) = 0
16	12, 15	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +e -e𝐵) = 0)
17	16	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +e -e𝐵) +e 𝐵) = (0 +e 𝐵))
18	4	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +e 𝐵) = (0 +e +∞))
19		xaddlid 13412	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → (0 +e +∞) = +∞)
20	13, 19	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +e +∞) = +∞)
21	17, 18, 20	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +e -e𝐵) +e 𝐵) = +∞)
22	21, 9	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +e -e𝐵) +e 𝐵) = 𝐴)
23		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
24	1, 23	sselid 3911	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25		xrge0neqmnf 13623	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)
26	23, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
27		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
28	1, 27	sselid 3911	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
29	28	xnegcld 13470	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -e𝐵 ∈ ℝ*)
30		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 = +∞)
31		xnegneg 13384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -e -e𝐵 = 𝐵)
32		xnegeq 13377	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -e𝐵 = -∞ → -e -e𝐵 = -e-∞)
33	31, 32	sylan9req 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -e𝐵 = -∞) → 𝐵 = -e-∞)
34		xnegmnf 13380	. . . . . . . 8 ⊢ -e-∞ = +∞
35	33, 34	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -e𝐵 = -∞) → 𝐵 = +∞)
36	35	stoic1a 1805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ -e𝐵 = -∞)
37	36	neqned 2966	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -e𝐵 ≠ -∞)
38	28, 30, 37	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -e𝐵 ≠ -∞)
39		xrge0neqmnf 13623	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ≠ -∞)
40	27, 39	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
41		xaddass 13419	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ( -e𝐵 ∈ ℝ* ∧ -e𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +e -e𝐵) +e 𝐵) = (𝐴 +e ( -e𝐵 +e 𝐵)))
42	24, 26, 29, 38, 28, 40, 41	syl222anc 1414	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +e -e𝐵) +e 𝐵) = (𝐴 +e ( -e𝐵 +e 𝐵)))
43		xnegcl 13383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -e𝐵 ∈ ℝ*)
44		xaddcom 13410	. . . . . . . 8 ⊢ (( -e𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ( -e𝐵 +e 𝐵) = (𝐵 +e -e𝐵))
45	43, 44	mpancom 701	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ( -e𝐵 +e 𝐵) = (𝐵 +e -e𝐵))
46		xnegid 13408	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 +e -e𝐵) = 0)
47	45, 46	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ( -e𝐵 +e 𝐵) = 0)
48	47	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴 +e ( -e𝐵 +e 𝐵)) = (𝐴 +e 0))
49		xaddrid 13411	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
50	48, 49	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e ( -e𝐵 +e 𝐵)) = 𝐴)
51	24, 28, 50	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +e ( -e𝐵 +e 𝐵)) = 𝐴)
52	42, 51	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +e -e𝐵) +e 𝐵) = 𝐴)
53	22, 52	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +e -e𝐵) +e 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383   -_ecxne 13278   +_e cxad 13279  [,]cicc 13519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-icc 13523

This theorem is used by:  esumle  34801  esumlef  34805  carsgclctunlem2  35062