Theorem xrge0npcan 33460

Description: Extended nonnegative real version of npcan 11490. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0npcan	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xrge0npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13483	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
5		simpl3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
6	4, 5	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≤ 𝐴)
7		xgepnf 13217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 = +∞))
8	7	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ≤ 𝐴) → 𝐴 = +∞)
9	3, 6, 8	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = +∞)
10		xnegeq 13259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
11	4, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
12	9, 11	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒+∞))
13		pnfxr 11287	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		xnegid 13290	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 -𝑒+∞) = 0)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (+∞ +𝑒 -𝑒+∞) = 0
16	12, 15	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
17	16	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 𝐵))
18	4	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 +∞))
19		xaddlid 13294	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → (0 +𝑒 +∞) = +∞)
20	13, 19	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +𝑒 +∞) = +∞)
21	17, 18, 20	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = +∞)
22	21, 9	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
23		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
24	1, 23	sselid 3929	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25		xrge0neqmnf 13505	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)
26	23, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
27		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
28	1, 27	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
29	28	xnegcld 13352	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
30		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 = +∞)
31		xnegneg 13266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
32		xnegeq 13259	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
33	31, 32	sylan9req 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 = -∞) → 𝐵 = -𝑒-∞)
34		xnegmnf 13262	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
35	33, 34	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 = -∞) → 𝐵 = +∞)
36	35	stoic1a 1805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ -𝑒𝐵 = -∞)
37	36	neqned 2962	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
38	28, 30, 37	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
39		xrge0neqmnf 13505	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ≠ -∞)
40	27, 39	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
41		xaddass 13301	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)))
42	24, 26, 29, 38, 28, 40, 41	syl222anc 1413	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)))
43		xnegcl 13265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
44		xaddcom 13292	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
45	43, 44	mpancom 701	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
46		xnegid 13290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
47	45, 46	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = 0)
48	47	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = (𝐴 +𝑒 0))
49		xaddrid 13293	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
50	48, 49	sylan9eqr 2817	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = 𝐴)
51	24, 28, 50	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = 𝐴)
52	42, 51	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
53	22, 52	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  0cc0 11124  +∞cpnf 11264  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268  -_𝑒cxne 13160   +_𝑒 cxad 13161  [,]cicc 13401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-icc 13405

This theorem is used by:  esumle  34568  esumlef  34572  carsgclctunlem2  34830