Theorem xrge0npcan 33159

Description: Extended nonnegative real version of npcan 11433. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0npcan	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xrge0npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13428	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		simpl1 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sselid 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
5		simpl3 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
6	4, 5	eqbrtrrd 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≤ 𝐴)
7		xgepnf 13162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 = +∞))
8	7	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ≤ 𝐴) → 𝐴 = +∞)
9	3, 6, 8	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = +∞)
10		xnegeq 13204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
11	4, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
12	9, 11	oveq12d 7409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒+∞))
13		pnfxr 11230	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		xnegid 13235	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 -𝑒+∞) = 0)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (+∞ +𝑒 -𝑒+∞) = 0
16	12, 15	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
17	16	oveq1d 7406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 𝐵))
18	4	oveq2d 7407	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 +∞))
19		xaddlid 13239	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → (0 +𝑒 +∞) = +∞)
20	13, 19	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +𝑒 +∞) = +∞)
21	17, 18, 20	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = +∞)
22	21, 9	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
23		simpl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
24	1, 23	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25		xrge0neqmnf 13450	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)
26	23, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
27		simpl2 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
28	1, 27	sselid 3932	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
29	28	xnegcld 13297	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
30		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 = +∞)
31		xnegneg 13211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
32		xnegeq 13204	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
33	31, 32	sylan9req 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 = -∞) → 𝐵 = -𝑒-∞)
34		xnegmnf 13207	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
35	33, 34	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 = -∞) → 𝐵 = +∞)
36	35	stoic1a 1791	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ -𝑒𝐵 = -∞)
37	36	neqned 2963	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
38	28, 30, 37	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
39		xrge0neqmnf 13450	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ≠ -∞)
40	27, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
41		xaddass 13246	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)))
42	24, 26, 29, 38, 28, 40, 41	syl222anc 1404	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)))
43		xnegcl 13210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
44		xaddcom 13237	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
45	43, 44	mpancom 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
46		xnegid 13235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
47	45, 46	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = 0)
48	47	oveq2d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = (𝐴 +𝑒 0))
49		xaddrid 13238	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
50	48, 49	sylan9eqr 2818	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = 𝐴)
51	24, 28, 50	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = 𝐴)
52	42, 51	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
53	22, 52	pm2.61dan 822	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  0cc0 11067  +∞cpnf 11207  -∞cmnf 11208  ℝ^*cxr 11209   ≤ cle 11211  -_𝑒cxne 13105   +_𝑒 cxad 13106  [,]cicc 13346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-icc 13350

This theorem is referenced by:  esumle  34316  esumlef  34320  carsgclctunlem2  34577