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Theorem xrge0npcan 31934
Description: Extended nonnegative real version of npcan 11415. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0npcan ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xrge0npcan
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13353 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
31, 2sselid 3943 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
5 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵𝐴)
64, 5eqbrtrrd 5130 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≤ 𝐴)
7 xgepnf 13090 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴𝐴 = +∞))
87biimpa 478 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ≤ 𝐴) → 𝐴 = +∞)
93, 6, 8syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = +∞)
10 xnegeq 13132 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
114, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
129, 11oveq12d 7376 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒+∞))
13 pnfxr 11214 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
14 xnegid 13163 . . . . . . 7 (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 -𝑒+∞) = 0)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (+∞ +𝑒 -𝑒+∞) = 0
1612, 15eqtrdi 2789 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
1716oveq1d 7373 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 𝐵))
184oveq2d 7374 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 +∞))
19 xaddid2 13167 . . . . 5 (+∞ ∈ ℝ* → (0 +𝑒 +∞) = +∞)
2013, 19mp1i 13 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +𝑒 +∞) = +∞)
2117, 18, 203eqtrd 2777 . . 3 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = +∞)
2221, 9eqtr4d 2776 . 2 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
23 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
241, 23sselid 3943 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25 xrge0neqmnf 13375 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)
2623, 25syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
27 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
281, 27sselid 3943 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2928xnegcld 13225 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
30 simpr 486 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 = +∞)
31 xnegneg 13139 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
32 xnegeq 13132 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
3331, 32sylan9req 2794 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 = -∞) → 𝐵 = -𝑒-∞)
34 xnegmnf 13135 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
3533, 34eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 = -∞) → 𝐵 = +∞)
3635stoic1a 1775 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ -𝑒𝐵 = -∞)
3736neqned 2947 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
3828, 30, 37syl2anc 585 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
39 xrge0neqmnf 13375 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ≠ -∞)
4027, 39syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
41 xaddass 13174 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)))
4224, 26, 29, 38, 28, 40, 41syl222anc 1387 . . 3 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)))
43 xnegcl 13138 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
44 xaddcom 13165 . . . . . . . 8 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
4543, 44mpancom 687 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
46 xnegid 13163 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
4745, 46eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = 0)
4847oveq2d 7374 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = (𝐴 +𝑒 0))
49 xaddid1 13166 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
5048, 49sylan9eqr 2795 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = 𝐴)
5124, 28, 50syl2anc 585 . . 3 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = 𝐴)
5242, 51eqtrd 2773 . 2 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
5322, 52pm2.61dan 812 1 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  -∞cmnf 11192  *cxr 11193  cle 11195  -𝑒cxne 13035   +𝑒 cxad 13036  [,]cicc 13273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-icc 13277
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