Theorem xrge0npcan 33349

Description: Extended nonnegative real version of npcan 11472. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0npcan	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xrge0npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13463	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		simpl1 1209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sselid 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
5		simpl3 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
6	4, 5	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≤ 𝐴)
7		xgepnf 13197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 = +∞))
8	7	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ≤ 𝐴) → 𝐴 = +∞)
9	3, 6, 8	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = +∞)
10		xnegeq 13239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
11	4, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
12	9, 11	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒+∞))
13		pnfxr 11269	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		xnegid 13270	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 -𝑒+∞) = 0)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (+∞ +𝑒 -𝑒+∞) = 0
16	12, 15	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
17	16	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 𝐵))
18	4	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 +∞))
19		xaddlid 13274	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → (0 +𝑒 +∞) = +∞)
20	13, 19	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +𝑒 +∞) = +∞)
21	17, 18, 20	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = +∞)
22	21, 9	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
23		simpl1 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
24	1, 23	sselid 3934	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25		xrge0neqmnf 13485	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)
26	23, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
27		simpl2 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
28	1, 27	sselid 3934	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
29	28	xnegcld 13332	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
30		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 = +∞)
31		xnegneg 13246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
32		xnegeq 13239	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
33	31, 32	sylan9req 2818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 = -∞) → 𝐵 = -𝑒-∞)
34		xnegmnf 13242	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
35	33, 34	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 = -∞) → 𝐵 = +∞)
36	35	stoic1a 1801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ -𝑒𝐵 = -∞)
37	36	neqned 2964	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
38	28, 30, 37	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
39		xrge0neqmnf 13485	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ≠ -∞)
40	27, 39	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
41		xaddass 13281	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)))
42	24, 26, 29, 38, 28, 40, 41	syl222anc 1412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)))
43		xnegcl 13245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
44		xaddcom 13272	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
45	43, 44	mpancom 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
46		xnegid 13270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
47	45, 46	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = 0)
48	47	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = (𝐴 +𝑒 0))
49		xaddrid 13273	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
50	48, 49	sylan9eqr 2819	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = 𝐴)
51	24, 28, 50	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = 𝐴)
52	42, 51	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
53	22, 52	pm2.61dan 824	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  0cc0 11106  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  ℝ^*cxr 11248   ≤ cle 11250  -_𝑒cxne 13140   +_𝑒 cxad 13141  [,]cicc 13381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-icc 13385

This theorem is used by:  esumle  34457  esumlef  34461  carsgclctunlem2  34718