Theorem xrge0npcan 33112

Description: Extended nonnegative real version of npcan 11401. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0npcan	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xrge0npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13358	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		simpl1 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sselid 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
5		simpl3 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
6	4, 5	eqbrtrrd 5124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≤ 𝐴)
7		xgepnf 13092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 = +∞))
8	7	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ≤ 𝐴) → 𝐴 = +∞)
9	3, 6, 8	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = +∞)
10		xnegeq 13134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
11	4, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
12	9, 11	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒+∞))
13		pnfxr 11198	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		xnegid 13165	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 -𝑒+∞) = 0)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (+∞ +𝑒 -𝑒+∞) = 0
16	12, 15	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
17	16	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 𝐵))
18	4	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 +∞))
19		xaddlid 13169	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → (0 +𝑒 +∞) = +∞)
20	13, 19	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +𝑒 +∞) = +∞)
21	17, 18, 20	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = +∞)
22	21, 9	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
23		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
24	1, 23	sselid 3933	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25		xrge0neqmnf 13380	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)
26	23, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
27		simpl2 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
28	1, 27	sselid 3933	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
29	28	xnegcld 13227	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
30		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 = +∞)
31		xnegneg 13141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
32		xnegeq 13134	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
33	31, 32	sylan9req 2793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 = -∞) → 𝐵 = -𝑒-∞)
34		xnegmnf 13137	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
35	33, 34	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 = -∞) → 𝐵 = +∞)
36	35	stoic1a 1774	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ -𝑒𝐵 = -∞)
37	36	neqned 2940	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
38	28, 30, 37	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
39		xrge0neqmnf 13380	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ≠ -∞)
40	27, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
41		xaddass 13176	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)))
42	24, 26, 29, 38, 28, 40, 41	syl222anc 1389	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)))
43		xnegcl 13140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
44		xaddcom 13167	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
45	43, 44	mpancom 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
46		xnegid 13165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
47	45, 46	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = 0)
48	47	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = (𝐴 +𝑒 0))
49		xaddrid 13168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
50	48, 49	sylan9eqr 2794	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = 𝐴)
51	24, 28, 50	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = 𝐴)
52	42, 51	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
53	22, 52	pm2.61dan 813	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  -∞cmnf 11176  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179  -_𝑒cxne 13035   +_𝑒 cxad 13036  [,]cicc 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-icc 13280

This theorem is referenced by:  esumle  34235  esumlef  34239  carsgclctunlem2  34496