Theorem liminf0 45830

Description: The inferior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
liminf0	⊢ (lim inf‘∅) = +∞

Proof of Theorem liminf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1805	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⊤
2		0ex 5245	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
4		0red 11112	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
5		noel 4288	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
6		elinel1 4151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ∅)
7	6	con3i 154	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))
9		pm2.21 123	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
12	1, 3, 4, 11	liminfval3 45827	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))))
13	12	mptru 1548	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)))
14		mpt0 6623	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥)) = ∅
15	14	fveq2i 6825	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = (lim inf‘∅)
16		mpt0 6623	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)) = ∅
17	16	fveq2i 6825	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = (lim sup‘∅)
18		limsup0 45731	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞
19	17, 18	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -∞
20	19	xnegeqi 45477	. . 3 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -𝑒-∞
21		xnegmnf 13106	. . 3 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
22	20, 21	eqtri 2754	. 2 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = +∞
23	13, 15, 22	3eqtr3i 2762	1 ⊢ (lim inf‘∅) = +∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∩ cin 3901  ∅c0 4283   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  +∞cpnf 11140  -∞cmnf 11141  ℝ^*cxr 11142  -_𝑒cxne 13005  [,)cico 13244  lim supclsp 15374  lim infclsi 45788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-q 12844  df-xneg 13008  df-ico 13248  df-limsup 15375  df-liminf 45789

This theorem is referenced by:  liminflelimsupcex  45834