Theorem liminf0 46897

Description: The inferior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
liminf0	⊢ (lim inf‘∅) = +∞

Proof of Theorem liminf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1836	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⊤
2		0ex 5260	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
4		0red 11315	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
5		noel 4283	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
6		elinel1 4098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ∅)
7	6	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))
9		pm2.21 124	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
12	1, 3, 4, 11	liminfval3 46894	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥))))
13	12	mptru 1576	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥)))
14		mpt0 6682	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥)) = ∅
15	14	fveq2i 6889	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = (lim inf‘∅)
16		mpt0 6682	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥)) = ∅
17	16	fveq2i 6889	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥))) = (lim sup‘∅)
18		limsup0 46798	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞
19	17, 18	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥))) = -∞
20	19	xnegeqi 46544	. . 3 ⊢ -e(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥))) = -e-∞
21		xnegmnf 13344	. . 3 ⊢ -e-∞ = +∞
22	20, 21	eqtri 2783	. 2 ⊢ -e(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥))) = +∞
23	13, 15, 22	3eqtr3i 2791	1 ⊢ (lim inf‘∅) = +∞

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∩ cin 4089  ∅c0 4278   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  +∞cpnf 11344  -∞cmnf 11345  ℝ^*cxr 11346   -_ecxne 13242  [,)cico 13482  lim supclsp 15643  lim infclsi 46855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-q 13080  df-xneg 13245  df-ico 13486  df-limsup 15644  df-liminf 46856

This theorem is used by:  liminflelimsupcex  46901