Theorem liminf0 46629

Description: The inferior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
liminf0	⊢ (lim inf‘∅) = +∞

Proof of Theorem liminf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1837	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⊤
2		0ex 5268	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
4		0red 11239	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
5		noel 4287	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
6		elinel1 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ∅)
7	6	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))
9		pm2.21 124	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
12	1, 3, 4, 11	liminfval3 46626	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))))
13	12	mptru 1577	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)))
14		mpt0 6678	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥)) = ∅
15	14	fveq2i 6885	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = (lim inf‘∅)
16		mpt0 6678	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)) = ∅
17	16	fveq2i 6885	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = (lim sup‘∅)
18		limsup0 46530	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞
19	17, 18	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -∞
20	19	xnegeqi 46276	. . 3 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -𝑒-∞
21		xnegmnf 13266	. . 3 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
22	20, 21	eqtri 2785	. 2 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = +∞
23	13, 15, 22	3eqtr3i 2793	1 ⊢ (lim inf‘∅) = +∞

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∩ cin 3901  ∅c0 4282   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  +∞cpnf 11268  -∞cmnf 11269  ℝ^*cxr 11270  -_𝑒cxne 13164  [,)cico 13404  lim supclsp 15561  lim infclsi 46587

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-xneg 13167  df-ico 13408  df-limsup 15562  df-liminf 46588

This theorem is used by:  liminflelimsupcex  46633