Theorem liminf0 47018

Description: The inferior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
liminf0	⊢ (lim inf‘∅) = +∞

Proof of Theorem liminf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1837	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⊤
2		0ex 5265	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
4		0red 11341	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
5		noel 4286	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
6		elinel1 4101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ∅)
7	6	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))
9		pm2.21 124	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
12	1, 3, 4, 11	liminfval3 47015	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥))))
13	12	mptru 1577	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥)))
14		mpt0 6706	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥)) = ∅
15	14	fveq2i 6914	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = (lim inf‘∅)
16		mpt0 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥)) = ∅
17	16	fveq2i 6914	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥))) = (lim sup‘∅)
18		limsup0 46919	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞
19	17, 18	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥))) = -∞
20	19	xnegeqi 46665	. . 3 ⊢ -e(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥))) = -e-∞
21		xnegmnf 13370	. . 3 ⊢ -e-∞ = +∞
22	20, 21	eqtri 2786	. 2 ⊢ -e(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -e(∅‘𝑥))) = +∞
23	13, 15, 22	3eqtr3i 2794	1 ⊢ (lim inf‘∅) = +∞

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∩ cin 4092  ∅c0 4281   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  +∞cpnf 11370  -∞cmnf 11371  ℝ^*cxr 11372   -_ecxne 13268  [,)cico 13508  lim supclsp 15669  lim infclsi 46976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-q 13106  df-xneg 13271  df-ico 13512  df-limsup 15670  df-liminf 46977

This theorem is used by:  liminflelimsupcex  47022