Theorem liminf0 45063

Description: The inferior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
liminf0	⊢ (lim inf‘∅) = +∞

Proof of Theorem liminf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1798	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⊤
2		0ex 5300	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
4		0red 11218	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
5		noel 4325	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
6		elinel1 4190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ∅)
7	6	con3i 154	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))
9		pm2.21 123	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
12	1, 3, 4, 11	liminfval3 45060	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))))
13	12	mptru 1540	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)))
14		mpt0 6685	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥)) = ∅
15	14	fveq2i 6887	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = (lim inf‘∅)
16		mpt0 6685	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)) = ∅
17	16	fveq2i 6887	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = (lim sup‘∅)
18		limsup0 44964	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞
19	17, 18	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -∞
20	19	xnegeqi 44704	. . 3 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -𝑒-∞
21		xnegmnf 13192	. . 3 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
22	20, 21	eqtri 2754	. 2 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = +∞
23	13, 15, 22	3eqtr3i 2762	1 ⊢ (lim inf‘∅) = +∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942  ∅c0 4317   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  ℝ^*cxr 11248  -_𝑒cxne 13092  [,)cico 13329  lim supclsp 15417  lim infclsi 45021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-xneg 13095  df-ico 13333  df-limsup 15418  df-liminf 45022

This theorem is referenced by:  liminflelimsupcex  45067