Theorem liminf0 46548

Description: The inferior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
liminf0	⊢ (lim inf‘∅) = +∞

Proof of Theorem liminf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1837	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⊤
2		0ex 5275	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
4		0red 11229	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
5		noel 4294	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
6		elinel1 4157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ∅)
7	6	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))
9		pm2.21 124	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
12	1, 3, 4, 11	liminfval3 46545	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))))
13	12	mptru 1577	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)))
14		mpt0 6684	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥)) = ∅
15	14	fveq2i 6891	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = (lim inf‘∅)
16		mpt0 6684	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)) = ∅
17	16	fveq2i 6891	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = (lim sup‘∅)
18		limsup0 46449	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞
19	17, 18	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -∞
20	19	xnegeqi 46195	. . 3 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -𝑒-∞
21		xnegmnf 13254	. . 3 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
22	20, 21	eqtri 2789	. 2 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = +∞
23	13, 15, 22	3eqtr3i 2797	1 ⊢ (lim inf‘∅) = +∞

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∩ cin 3907  ∅c0 4289   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  +∞cpnf 11258  -∞cmnf 11259  ℝ^*cxr 11260  -_𝑒cxne 13152  [,)cico 13392  lim supclsp 15547  lim infclsi 46506

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-xneg 13155  df-ico 13396  df-limsup 15548  df-liminf 46507

This theorem is used by:  liminflelimsupcex  46552