Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminf0 45808
Description: The inferior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
liminf0 (lim inf‘∅) = +∞

Proof of Theorem liminf0
StepHypRef Expression
1 nftru 1804 . . . 4 𝑥
2 0ex 5307 . . . . 5 ∅ ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
4 0red 11264 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
5 noel 4338 . . . . . . 7 ¬ 𝑥 ∈ ∅
6 elinel1 4201 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ∅)
76con3i 154 . . . . . . 7 𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)))
85, 7ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))
9 pm2.21 123 . . . . . 6 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
1110adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
121, 3, 4, 11liminfval3 45805 . . 3 (⊤ → (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))))
1312mptru 1547 . 2 (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)))
14 mpt0 6710 . . 3 (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥)) = ∅
1514fveq2i 6909 . 2 (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = (lim inf‘∅)
16 mpt0 6710 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)) = ∅
1716fveq2i 6909 . . . . 5 (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = (lim sup‘∅)
18 limsup0 45709 . . . . 5 (lim sup‘∅) = -∞
1917, 18eqtri 2765 . . . 4 (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -∞
2019xnegeqi 45451 . . 3 -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -𝑒-∞
21 xnegmnf 13252 . . 3 -𝑒-∞ = +∞
2220, 21eqtri 2765 . 2 -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = +∞
2313, 15, 223eqtr3i 2773 1 (lim inf‘∅) = +∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  Vcvv 3480  cin 3950  c0 4333  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294  -𝑒cxne 13151  [,)cico 13389  lim supclsp 15506  lim infclsi 45766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-xneg 13154  df-ico 13393  df-limsup 15507  df-liminf 45767
This theorem is referenced by:  liminflelimsupcex  45812
  Copyright terms: Public domain W3C validator