Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminf0 45210
Description: The inferior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
liminf0 (lim inf‘∅) = +∞

Proof of Theorem liminf0
StepHypRef Expression
1 nftru 1798 . . . 4 𝑥
2 0ex 5311 . . . . 5 ∅ ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
4 0red 11255 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
5 noel 4334 . . . . . . 7 ¬ 𝑥 ∈ ∅
6 elinel1 4197 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ∅)
76con3i 154 . . . . . . 7 𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)))
85, 7ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))
9 pm2.21 123 . . . . . 6 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
1110adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
121, 3, 4, 11liminfval3 45207 . . 3 (⊤ → (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))))
1312mptru 1540 . 2 (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)))
14 mpt0 6702 . . 3 (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥)) = ∅
1514fveq2i 6905 . 2 (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = (lim inf‘∅)
16 mpt0 6702 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)) = ∅
1716fveq2i 6905 . . . . 5 (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = (lim sup‘∅)
18 limsup0 45111 . . . . 5 (lim sup‘∅) = -∞
1917, 18eqtri 2756 . . . 4 (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -∞
2019xnegeqi 44851 . . 3 -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -𝑒-∞
21 xnegmnf 13229 . . 3 -𝑒-∞ = +∞
2220, 21eqtri 2756 . 2 -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = +∞
2313, 15, 223eqtr3i 2764 1 (lim inf‘∅) = +∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  Vcvv 3473  cin 3948  c0 4326  cmpt 5235  cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  -∞cmnf 11284  *cxr 11285  -𝑒cxne 13129  [,)cico 13366  lim supclsp 15454  lim infclsi 45168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-xneg 13132  df-ico 13370  df-limsup 15455  df-liminf 45169
This theorem is referenced by:  liminflelimsupcex  45214
  Copyright terms: Public domain W3C validator