Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminf0 45749
Description: The inferior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
liminf0 (lim inf‘∅) = +∞

Proof of Theorem liminf0
StepHypRef Expression
1 nftru 1801 . . . 4 𝑥
2 0ex 5313 . . . . 5 ∅ ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
4 0red 11262 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
5 noel 4344 . . . . . . 7 ¬ 𝑥 ∈ ∅
6 elinel1 4211 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ∅)
76con3i 154 . . . . . . 7 𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)))
85, 7ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))
9 pm2.21 123 . . . . . 6 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
1110adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
121, 3, 4, 11liminfval3 45746 . . 3 (⊤ → (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))))
1312mptru 1544 . 2 (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)))
14 mpt0 6711 . . 3 (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥)) = ∅
1514fveq2i 6910 . 2 (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = (lim inf‘∅)
16 mpt0 6711 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)) = ∅
1716fveq2i 6910 . . . . 5 (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = (lim sup‘∅)
18 limsup0 45650 . . . . 5 (lim sup‘∅) = -∞
1917, 18eqtri 2763 . . . 4 (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -∞
2019xnegeqi 45390 . . 3 -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -𝑒-∞
21 xnegmnf 13249 . . 3 -𝑒-∞ = +∞
2220, 21eqtri 2763 . 2 -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = +∞
2313, 15, 223eqtr3i 2771 1 (lim inf‘∅) = +∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  c0 4339  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292  -𝑒cxne 13149  [,)cico 13386  lim supclsp 15503  lim infclsi 45707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-xneg 13152  df-ico 13390  df-limsup 15504  df-liminf 45708
This theorem is referenced by:  liminflelimsupcex  45753
  Copyright terms: Public domain W3C validator