Theorem liminf0 45775

Description: The inferior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
liminf0	⊢ (lim inf‘∅) = +∞

Proof of Theorem liminf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1804	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⊤
2		0ex 5249	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
4		0red 11137	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
5		noel 4291	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
6		elinel1 4154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ∅)
7	6	con3i 154	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))
9		pm2.21 123	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞)) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (∅ ∩ (0[,)+∞))) → (∅‘𝑥) ∈ ℝ*)
12	1, 3, 4, 11	liminfval3 45772	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))))
13	12	mptru 1547	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)))
14		mpt0 6628	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥)) = ∅
15	14	fveq2i 6829	. 2 ⊢ (lim inf‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘𝑥))) = (lim inf‘∅)
16		mpt0 6628	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥)) = ∅
17	16	fveq2i 6829	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = (lim sup‘∅)
18		limsup0 45676	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞
19	17, 18	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -∞
20	19	xnegeqi 45420	. . 3 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = -𝑒-∞
21		xnegmnf 13130	. . 3 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
22	20, 21	eqtri 2752	. 2 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ -𝑒(∅‘𝑥))) = +∞
23	13, 15, 22	3eqtr3i 2760	1 ⊢ (lim inf‘∅) = +∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∩ cin 3904  ∅c0 4286   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167  -_𝑒cxne 13029  [,)cico 13268  lim supclsp 15395  lim infclsi 45733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-xneg 13032  df-ico 13272  df-limsup 15396  df-liminf 45734

This theorem is referenced by:  liminflelimsupcex  45779