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Theorem xadddi2 13216
Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 13214 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddi2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddi2
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simp2l 1199 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 724 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 simp3l 1201 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 724 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6 xadddi 13214 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
71, 3, 5, 6syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
8 pnfxr 11209 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
94adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
10 xmulcl 13192 . . . . . 6 ((+∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (+∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
118, 9, 10sylancr 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
12 simpl3r 1229 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
13 0lepnf 13053 . . . . . . . . 9 0 ≤ +∞
14 xmulge0 13203 . . . . . . . . 9 (((+∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 0 ≤ (+∞ ·e 𝐶))
158, 13, 14mpanl12 700 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶) → 0 ≤ (+∞ ·e 𝐶))
164, 12, 15syl2an2r 683 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (+∞ ·e 𝐶))
17 ge0nemnf 13092 . . . . . . 7 (((+∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (+∞ ·e 𝐶)) → (+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞)
1811, 16, 17syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞)
1918adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞)
20 xaddpnf2 13146 . . . . 5 (((+∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)) = +∞)
2111, 19, 20syl2an2r 683 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)) = +∞)
22 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞ ·e 𝐵))
23 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
2422, 23oveq12d 7375 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((+∞ ·e 𝐵) +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)))
25 xmulpnf2 13194 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
262, 25sylan 580 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
2726oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → ((+∞ ·e 𝐵) +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)))
2824, 27sylan9eqr 2798 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)))
29 oveq1 7364 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (+∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
30 xaddcl 13158 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
312, 4, 30syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
32 0xr 11202 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ*)
342adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3531adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
36 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
3734xaddid1d 13162 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 +𝑒 0) = 𝐵)
38 xleadd2a 13173 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐵 +𝑒 0) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
3933, 9, 34, 12, 38syl31anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 +𝑒 0) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
4037, 39eqbrtrrd 5129 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
4133, 34, 35, 36, 40xrltletrd 13080 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵 +𝑒 𝐶))
42 xmulpnf2 13194 . . . . . 6 (((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐵 +𝑒 𝐶)) → (+∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
4331, 41, 42syl2an2r 683 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
4429, 43sylan9eqr 2798 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
4521, 28, 443eqtr4rd 2787 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
46 mnfxr 11212 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
47 xmulcl 13192 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (-∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
4846, 9, 47sylancr 587 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
49 xmulneg1 13188 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒-∞ ·e 𝐶) = -𝑒(-∞ ·e 𝐶))
5046, 9, 49sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-𝑒-∞ ·e 𝐶) = -𝑒(-∞ ·e 𝐶))
51 xnegmnf 13129 . . . . . . . . . . . 12 -𝑒-∞ = +∞
5251oveq1i 7367 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒-∞ ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶)
5350, 52eqtr3di 2791 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → -𝑒(-∞ ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
54 xnegpnf 13128 . . . . . . . . . . 11 -𝑒+∞ = -∞
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → -𝑒+∞ = -∞)
5653, 55eqeq12d 2752 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-𝑒(-∞ ·e 𝐶) = -𝑒+∞ ↔ (+∞ ·e 𝐶) = -∞))
57 xneg11 13134 . . . . . . . . . 10 (((-∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(-∞ ·e 𝐶) = -𝑒+∞ ↔ (-∞ ·e 𝐶) = +∞))
5848, 8, 57sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-𝑒(-∞ ·e 𝐶) = -𝑒+∞ ↔ (-∞ ·e 𝐶) = +∞))
5956, 58bitr3d 280 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → ((+∞ ·e 𝐶) = -∞ ↔ (-∞ ·e 𝐶) = +∞))
6059necon3bid 2988 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → ((+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞ ↔ (-∞ ·e 𝐶) ≠ +∞))
6118, 60mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e 𝐶) ≠ +∞)
62 xaddmnf2 13148 . . . . . 6 (((-∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (-∞ ·e 𝐶) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)) = -∞)
6348, 61, 62syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)) = -∞)
6463adantr 481 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)) = -∞)
65 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (-∞ ·e 𝐵))
66 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (-∞ ·e 𝐶))
6765, 66oveq12d 7375 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((-∞ ·e 𝐵) +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)))
68 xmulmnf2 13196 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e 𝐵) = -∞)
692, 68sylan 580 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e 𝐵) = -∞)
7069oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → ((-∞ ·e 𝐵) +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)) = (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)))
7167, 70sylan9eqr 2798 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)))
72 oveq1 7364 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
73 xmulmnf2 13196 . . . . . 6 (((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐵 +𝑒 𝐶)) → (-∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -∞)
7431, 41, 73syl2an2r 683 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -∞)
7572, 74sylan9eqr 2798 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -∞)
7664, 71, 753eqtr4rd 2787 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
77 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
78 elxr 13037 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7977, 78sylib 217 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
807, 45, 76, 79mpjao3dan 1431 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
81 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
82 xmulcl 13192 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
8381, 4, 82syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
8483adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
85 xaddid2 13161 . . . 4 ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (𝐴 ·e 𝐶))
8684, 85syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (0 +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (𝐴 ·e 𝐶))
87 oveq2 7365 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 0) = (𝐴 ·e 𝐵))
8887eqcomd 2742 . . . . 5 (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 0))
89 xmul01 13186 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
90893ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ·e 0) = 0)
9188, 90sylan9eqr 2798 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐵) = 0)
9291oveq1d 7372 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (0 +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
93 oveq1 7364 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (0 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
9493eqcomd 2742 . . . . 5 (0 = 𝐵 → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (0 +𝑒 𝐶))
95 xaddid2 13161 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐶) = 𝐶)
964, 95syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (0 +𝑒 𝐶) = 𝐶)
9794, 96sylan9eqr 2798 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = 𝐶)
9897oveq2d 7373 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 𝐶))
9986, 92, 983eqtr4rd 2787 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
100 simp2r 1200 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 0 ≤ 𝐵)
101 xrleloe 13063 . . . 4 ((0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
10232, 2, 101sylancr 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
103100, 102mpbid 231 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
10480, 99, 103mpjaodan 957 1 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  -𝑒cxne 13030   +𝑒 cxad 13031   ·e cxmu 13032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035
This theorem is referenced by:  xadddi2r  13217
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