MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadddi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xadddi2 13280
Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 13278 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddi2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = ((๐ด ยทe ๐ต) +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)))

Proof of Theorem xadddi2
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 simp2l 1199 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
32ad2antrr 724 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
4 simp3l 1201 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
54ad2antrr 724 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
6 xadddi 13278 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = ((๐ด ยทe ๐ต) +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)))
71, 3, 5, 6syl3anc 1371 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = ((๐ด ยทe ๐ต) +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)))
8 pnfxr 11272 . . . . . 6 +โˆž โˆˆ โ„*
94adantr 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
10 xmulcl 13256 . . . . . 6 ((+โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
118, 9, 10sylancr 587 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
12 simpl3r 1229 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
13 0lepnf 13116 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค +โˆž
14 xmulge0 13267 . . . . . . . . 9 (((+โˆž โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค +โˆž) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ 0 โ‰ค (+โˆž ยทe ๐ถ))
158, 13, 14mpanl12 700 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†’ 0 โ‰ค (+โˆž ยทe ๐ถ))
164, 12, 15syl2an2r 683 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (+โˆž ยทe ๐ถ))
17 ge0nemnf 13156 . . . . . . 7 (((+โˆž ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (+โˆž ยทe ๐ถ)) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) โ‰  -โˆž)
1811, 16, 17syl2anc 584 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) โ‰  -โˆž)
1918adantr 481 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) โ‰  -โˆž)
20 xaddpnf2 13210 . . . . 5 (((+โˆž ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง (+โˆž ยทe ๐ถ) โ‰  -โˆž) โ†’ (+โˆž +๐‘’ (+โˆž ยทe ๐ถ)) = +โˆž)
2111, 19, 20syl2an2r 683 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (+โˆž +๐‘’ (+โˆž ยทe ๐ถ)) = +โˆž)
22 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐ด = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (+โˆž ยทe ๐ต))
23 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐ด = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (+โˆž ยทe ๐ถ))
2422, 23oveq12d 7429 . . . . 5 (๐ด = +โˆž โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)) = ((+โˆž ยทe ๐ต) +๐‘’ (+โˆž ยทe ๐ถ)))
25 xmulpnf2 13258 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ต) = +โˆž)
262, 25sylan 580 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ต) = +โˆž)
2726oveq1d 7426 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ((+โˆž ยทe ๐ต) +๐‘’ (+โˆž ยทe ๐ถ)) = (+โˆž +๐‘’ (+โˆž ยทe ๐ถ)))
2824, 27sylan9eqr 2794 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)) = (+โˆž +๐‘’ (+โˆž ยทe ๐ถ)))
29 oveq1 7418 . . . . 5 (๐ด = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = (+โˆž ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)))
30 xaddcl 13222 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต +๐‘’ ๐ถ) โˆˆ โ„*)
312, 4, 30syl2anc 584 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ต +๐‘’ ๐ถ) โˆˆ โ„*)
32 0xr 11265 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„*
3332a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ โ„*)
342adantr 481 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
3531adantr 481 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต +๐‘’ ๐ถ) โˆˆ โ„*)
36 simpr 485 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)
3734xaddridd 13226 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต +๐‘’ 0) = ๐ต)
38 xleadd2a 13237 . . . . . . . . 9 (((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†’ (๐ต +๐‘’ 0) โ‰ค (๐ต +๐‘’ ๐ถ))
3933, 9, 34, 12, 38syl31anc 1373 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต +๐‘’ 0) โ‰ค (๐ต +๐‘’ ๐ถ))
4037, 39eqbrtrrd 5172 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต +๐‘’ ๐ถ))
4133, 34, 35, 36, 40xrltletrd 13144 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ต +๐‘’ ๐ถ))
42 xmulpnf2 13258 . . . . . 6 (((๐ต +๐‘’ ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง 0 < (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) โ†’ (+โˆž ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = +โˆž)
4331, 41, 42syl2an2r 683 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (+โˆž ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = +โˆž)
4429, 43sylan9eqr 2794 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = +โˆž)
4521, 28, 443eqtr4rd 2783 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = ((๐ด ยทe ๐ต) +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)))
46 mnfxr 11275 . . . . . . 7 -โˆž โˆˆ โ„*
47 xmulcl 13256 . . . . . . 7 ((-โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (-โˆž ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
4846, 9, 47sylancr 587 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (-โˆž ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
49 xmulneg1 13252 . . . . . . . . . . . 12 ((-โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’-โˆž ยทe ๐ถ) = -๐‘’(-โˆž ยทe ๐ถ))
5046, 9, 49sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (-๐‘’-โˆž ยทe ๐ถ) = -๐‘’(-โˆž ยทe ๐ถ))
51 xnegmnf 13193 . . . . . . . . . . . 12 -๐‘’-โˆž = +โˆž
5251oveq1i 7421 . . . . . . . . . . 11 (-๐‘’-โˆž ยทe ๐ถ) = (+โˆž ยทe ๐ถ)
5350, 52eqtr3di 2787 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ -๐‘’(-โˆž ยทe ๐ถ) = (+โˆž ยทe ๐ถ))
54 xnegpnf 13192 . . . . . . . . . . 11 -๐‘’+โˆž = -โˆž
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ -๐‘’+โˆž = -โˆž)
5653, 55eqeq12d 2748 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (-๐‘’(-โˆž ยทe ๐ถ) = -๐‘’+โˆž โ†” (+โˆž ยทe ๐ถ) = -โˆž))
57 xneg11 13198 . . . . . . . . . 10 (((-โˆž ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’(-โˆž ยทe ๐ถ) = -๐‘’+โˆž โ†” (-โˆž ยทe ๐ถ) = +โˆž))
5848, 8, 57sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (-๐‘’(-โˆž ยทe ๐ถ) = -๐‘’+โˆž โ†” (-โˆž ยทe ๐ถ) = +โˆž))
5956, 58bitr3d 280 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ((+โˆž ยทe ๐ถ) = -โˆž โ†” (-โˆž ยทe ๐ถ) = +โˆž))
6059necon3bid 2985 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ((+โˆž ยทe ๐ถ) โ‰  -โˆž โ†” (-โˆž ยทe ๐ถ) โ‰  +โˆž))
6118, 60mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (-โˆž ยทe ๐ถ) โ‰  +โˆž)
62 xaddmnf2 13212 . . . . . 6 (((-โˆž ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง (-โˆž ยทe ๐ถ) โ‰  +โˆž) โ†’ (-โˆž +๐‘’ (-โˆž ยทe ๐ถ)) = -โˆž)
6348, 61, 62syl2anc 584 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (-โˆž +๐‘’ (-โˆž ยทe ๐ถ)) = -โˆž)
6463adantr 481 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ (-โˆž +๐‘’ (-โˆž ยทe ๐ถ)) = -โˆž)
65 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐ด = -โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (-โˆž ยทe ๐ต))
66 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐ด = -โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (-โˆž ยทe ๐ถ))
6765, 66oveq12d 7429 . . . . 5 (๐ด = -โˆž โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)) = ((-โˆž ยทe ๐ต) +๐‘’ (-โˆž ยทe ๐ถ)))
68 xmulmnf2 13260 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (-โˆž ยทe ๐ต) = -โˆž)
692, 68sylan 580 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (-โˆž ยทe ๐ต) = -โˆž)
7069oveq1d 7426 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ((-โˆž ยทe ๐ต) +๐‘’ (-โˆž ยทe ๐ถ)) = (-โˆž +๐‘’ (-โˆž ยทe ๐ถ)))
7167, 70sylan9eqr 2794 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)) = (-โˆž +๐‘’ (-โˆž ยทe ๐ถ)))
72 oveq1 7418 . . . . 5 (๐ด = -โˆž โ†’ (๐ด ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = (-โˆž ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)))
73 xmulmnf2 13260 . . . . . 6 (((๐ต +๐‘’ ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง 0 < (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) โ†’ (-โˆž ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = -โˆž)
7431, 41, 73syl2an2r 683 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (-โˆž ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = -โˆž)
7572, 74sylan9eqr 2794 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = -โˆž)
7664, 71, 753eqtr4rd 2783 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = ((๐ด ยทe ๐ต) +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)))
77 simpl1 1191 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
78 elxr 13100 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„* โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž โˆจ ๐ด = -โˆž))
7977, 78sylib 217 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž โˆจ ๐ด = -โˆž))
807, 45, 76, 79mpjao3dan 1431 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = ((๐ด ยทe ๐ต) +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)))
81 simp1 1136 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
82 xmulcl 13256 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
8381, 4, 82syl2anc 584 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
8483adantr 481 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
85 xaddlid 13225 . . . 4 ((๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โ†’ (0 +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)) = (๐ด ยทe ๐ถ))
8684, 85syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ (0 +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)) = (๐ด ยทe ๐ถ))
87 oveq2 7419 . . . . . 6 (0 = ๐ต โ†’ (๐ด ยทe 0) = (๐ด ยทe ๐ต))
8887eqcomd 2738 . . . . 5 (0 = ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe 0))
89 xmul01 13250 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)
90893ad2ant1 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)
9188, 90sylan9eqr 2794 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = 0)
9291oveq1d 7426 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)) = (0 +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)))
93 oveq1 7418 . . . . . 6 (0 = ๐ต โ†’ (0 +๐‘’ ๐ถ) = (๐ต +๐‘’ ๐ถ))
9493eqcomd 2738 . . . . 5 (0 = ๐ต โ†’ (๐ต +๐‘’ ๐ถ) = (0 +๐‘’ ๐ถ))
95 xaddlid 13225 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„* โ†’ (0 +๐‘’ ๐ถ) = ๐ถ)
964, 95syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (0 +๐‘’ ๐ถ) = ๐ถ)
9794, 96sylan9eqr 2794 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ (๐ต +๐‘’ ๐ถ) = ๐ถ)
9897oveq2d 7427 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = (๐ด ยทe ๐ถ))
9986, 92, 983eqtr4rd 2783 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = ((๐ด ยทe ๐ต) +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)))
100 simp2r 1200 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
101 xrleloe 13127 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
10232, 2, 101sylancr 587 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
103100, 102mpbid 231 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต))
10480, 99, 103mpjaodan 957 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต +๐‘’ ๐ถ)) = ((๐ด ยทe ๐ต) +๐‘’ (๐ด ยทe ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆจ w3o 1086   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  +โˆžcpnf 11249  -โˆžcmnf 11250  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  -๐‘’cxne 13093   +๐‘’ cxad 13094   ยทe cxmu 13095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098
This theorem is referenced by:  xadddi2r  13281
  Copyright terms: Public domain W3C validator