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Theorem xadddi2 12333
Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 12331 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddi2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddi2
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simp2l 1241 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 699 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 simp3l 1243 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 699 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6 xadddi 12331 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
71, 3, 5, 6syl3anc 1476 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
8 pnfxr 10295 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
94adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
109adantr 466 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11 xmulcl 12309 . . . . . 6 ((+∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (+∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
128, 10, 11sylancr 569 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
138, 9, 11sylancr 569 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
14 simpl3r 1288 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
15 0lepnf 12172 . . . . . . . . 9 0 ≤ +∞
16 xmulge0 12320 . . . . . . . . 9 (((+∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 0 ≤ (+∞ ·e 𝐶))
178, 15, 16mpanl12 676 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶) → 0 ≤ (+∞ ·e 𝐶))
189, 14, 17syl2anc 567 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (+∞ ·e 𝐶))
19 ge0nemnf 12210 . . . . . . 7 (((+∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (+∞ ·e 𝐶)) → (+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞)
2013, 18, 19syl2anc 567 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞)
2120adantr 466 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞)
22 xaddpnf2 12264 . . . . 5 (((+∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)) = +∞)
2312, 21, 22syl2anc 567 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)) = +∞)
24 oveq1 6801 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞ ·e 𝐵))
25 oveq1 6801 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
2624, 25oveq12d 6812 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((+∞ ·e 𝐵) +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)))
27 xmulpnf2 12311 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
282, 27sylan 563 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
2928oveq1d 6809 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → ((+∞ ·e 𝐵) +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)))
3026, 29sylan9eqr 2827 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)))
31 oveq1 6801 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (+∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
32 xaddcl 12276 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
332, 4, 32syl2anc 567 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
3433adantr 466 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
35 0xr 10289 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
3635a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ*)
372adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
39 xaddid1 12278 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 +𝑒 0) = 𝐵)
4037, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 +𝑒 0) = 𝐵)
41 xleadd2a 12290 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐵 +𝑒 0) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
4236, 9, 37, 14, 41syl31anc 1479 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 +𝑒 0) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
4340, 42eqbrtrrd 4811 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
4436, 37, 34, 38, 43xrltletrd 12198 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵 +𝑒 𝐶))
45 xmulpnf2 12311 . . . . . 6 (((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐵 +𝑒 𝐶)) → (+∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
4634, 44, 45syl2anc 567 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
4731, 46sylan9eqr 2827 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
4823, 30, 473eqtr4rd 2816 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
49 mnfxr 10299 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
50 xmulcl 12309 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (-∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
5149, 9, 50sylancr 569 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
52 xnegmnf 12247 . . . . . . . . . . . 12 -𝑒-∞ = +∞
5352oveq1i 6804 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒-∞ ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶)
54 xmulneg1 12305 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒-∞ ·e 𝐶) = -𝑒(-∞ ·e 𝐶))
5549, 9, 54sylancr 569 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-𝑒-∞ ·e 𝐶) = -𝑒(-∞ ·e 𝐶))
5653, 55syl5reqr 2820 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → -𝑒(-∞ ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
57 xnegpnf 12246 . . . . . . . . . . 11 -𝑒+∞ = -∞
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → -𝑒+∞ = -∞)
5956, 58eqeq12d 2786 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-𝑒(-∞ ·e 𝐶) = -𝑒+∞ ↔ (+∞ ·e 𝐶) = -∞))
60 xneg11 12252 . . . . . . . . . 10 (((-∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(-∞ ·e 𝐶) = -𝑒+∞ ↔ (-∞ ·e 𝐶) = +∞))
6151, 8, 60sylancl 568 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-𝑒(-∞ ·e 𝐶) = -𝑒+∞ ↔ (-∞ ·e 𝐶) = +∞))
6259, 61bitr3d 270 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → ((+∞ ·e 𝐶) = -∞ ↔ (-∞ ·e 𝐶) = +∞))
6362necon3bid 2987 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → ((+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞ ↔ (-∞ ·e 𝐶) ≠ +∞))
6420, 63mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e 𝐶) ≠ +∞)
65 xaddmnf2 12266 . . . . . 6 (((-∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (-∞ ·e 𝐶) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)) = -∞)
6651, 64, 65syl2anc 567 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)) = -∞)
6766adantr 466 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)) = -∞)
68 oveq1 6801 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (-∞ ·e 𝐵))
69 oveq1 6801 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (-∞ ·e 𝐶))
7068, 69oveq12d 6812 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((-∞ ·e 𝐵) +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)))
71 xmulmnf2 12313 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e 𝐵) = -∞)
722, 71sylan 563 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e 𝐵) = -∞)
7372oveq1d 6809 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → ((-∞ ·e 𝐵) +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)) = (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)))
7470, 73sylan9eqr 2827 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)))
75 oveq1 6801 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
76 xmulmnf2 12313 . . . . . 6 (((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐵 +𝑒 𝐶)) → (-∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -∞)
7734, 44, 76syl2anc 567 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -∞)
7875, 77sylan9eqr 2827 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -∞)
7967, 74, 783eqtr4rd 2816 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
80 simpl1 1227 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
81 elxr 12156 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8280, 81sylib 208 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
837, 48, 79, 82mpjao3dan 1543 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
84 simp1 1130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
85 xmulcl 12309 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
8684, 4, 85syl2anc 567 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
8786adantr 466 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
88 xaddid2 12279 . . . 4 ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (𝐴 ·e 𝐶))
8987, 88syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (0 +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (𝐴 ·e 𝐶))
90 oveq2 6802 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 0) = (𝐴 ·e 𝐵))
9190eqcomd 2777 . . . . 5 (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 0))
92 xmul01 12303 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
93923ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ·e 0) = 0)
9491, 93sylan9eqr 2827 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐵) = 0)
9594oveq1d 6809 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (0 +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
96 oveq1 6801 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (0 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
9796eqcomd 2777 . . . . 5 (0 = 𝐵 → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (0 +𝑒 𝐶))
98 xaddid2 12279 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐶) = 𝐶)
994, 98syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (0 +𝑒 𝐶) = 𝐶)
10097, 99sylan9eqr 2827 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = 𝐶)
101100oveq2d 6810 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 𝐶))
10289, 95, 1013eqtr4rd 2816 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
103 simp2r 1242 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 0 ≤ 𝐵)
104 xrleloe 12183 . . . 4 ((0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
10535, 2, 104sylancr 569 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
106103, 105mpbid 222 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
10783, 102, 106mpjaodan 933 1 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 828  w3o 1070  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4787  (class class class)co 6794  cr 10138  0cc0 10139  +∞cpnf 10274  -∞cmnf 10275  *cxr 10276   < clt 10277  cle 10278  -𝑒cxne 12149   +𝑒 cxad 12150   ·e cxmu 12151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-xneg 12152  df-xadd 12153  df-xmul 12154
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