Theorem xnegid 13408

Description: Extended real version of negid 11644. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +e -e𝐴) = 0)

Proof of Theorem xnegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 13381	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 = -𝐴)
3	2	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e -e𝐴) = (𝐴 +e -𝐴))
4		renegcl 11660	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5		rexadd 13402	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +e -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
6	4, 5	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
7		recn 11329	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	negidd 11698	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
9	3, 6, 8	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e -e𝐴) = 0)
10		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
11		xnegeq 13377	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e𝐴 = -e+∞)
12		xnegpnf 13379	. . . . . 6 ⊢ -e+∞ = -∞
13	11, 12	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e𝐴 = -∞)
14	10, 13	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e -e𝐴) = (+∞ +e -∞))
15		pnfaddmnf 13400	. . . 4 ⊢ (+∞ +e -∞) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e -e𝐴) = 0)
17		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18		xnegeq 13377	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e𝐴 = -e-∞)
19		xnegmnf 13380	. . . . . 6 ⊢ -e-∞ = +∞
20	18, 19	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e𝐴 = +∞)
21	17, 20	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +e -e𝐴) = (-∞ +e +∞))
22		mnfaddpnf 13401	. . . 4 ⊢ (-∞ +e +∞) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +e -e𝐴) = 0)
24	9, 16, 23	3jaoi 1455	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +e -e𝐴) = 0)
25	1, 24	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +e -e𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239   + caddc 11242  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   -cneg 11581   -_ecxne 13278   +_e cxad 13279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583  df-xneg 13281  df-xadd 13282

This theorem is used by:  xrsxmet  25184  xaddeq0  33441  xlt2addrd  33447  xrge0npcan  33680  carsgclctunlem2  35062