MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnegid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnegid 13277
Description: Extended real version of negid 11554. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegid (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Proof of Theorem xnegid
StepHypRef Expression
1 elxr 13156 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 13250 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
32oveq2d 7447 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐴 +𝑒 -𝐴))
4 renegcl 11570 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5 rexadd 13271 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
64, 5mpdan 687 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
7 recn 11243 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
87negidd 11608 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
93, 6, 83eqtrd 2779 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
10 id 22 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
11 xnegeq 13246 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
12 xnegpnf 13248 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
1311, 12eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
1410, 13oveq12d 7449 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -∞))
15 pnfaddmnf 13269 . . . 4 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
1614, 15eqtrdi 2791 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
17 id 22 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18 xnegeq 13246 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
19 xnegmnf 13249 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
2018, 19eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
2117, 20oveq12d 7449 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (-∞ +𝑒 +∞))
22 mnfaddpnf 13270 . . . 4 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
2321, 22eqtrdi 2791 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
249, 16, 233jaoi 1427 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
251, 24sylbi 217 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1085   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292  -cneg 11491  -𝑒cxne 13149   +𝑒 cxad 13150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-xneg 13152  df-xadd 13153
This theorem is referenced by:  xrsxmet  24845  xaddeq0  32764  xlt2addrd  32769  xrge0npcan  33008  carsgclctunlem2  34301
  Copyright terms: Public domain W3C validator