Theorem xnegid 13259

Description: Extended real version of negid 11500. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Proof of Theorem xnegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13136	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 13232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3	2	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐴 +𝑒 -𝐴))
4		renegcl 11516	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5		rexadd 13253	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
6	4, 5	mpdan 699	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
7		recn 11185	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	negidd 11554	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
9	3, 6, 8	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
10		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
11		xnegeq 13228	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
12		xnegpnf 13230	. . . . . 6 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
13	11, 12	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
14	10, 13	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -∞))
15		pnfaddmnf 13251	. . . 4 ⊢ (+∞ +𝑒 -∞) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
17		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18		xnegeq 13228	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
19		xnegmnf 13231	. . . . . 6 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
20	18, 19	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21	17, 20	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (-∞ +𝑒 +∞))
22		mnfaddpnf 13252	. . . 4 ⊢ (-∞ +𝑒 +∞) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
24	9, 16, 23	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
25	1, 24	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095   + caddc 11098  +∞cpnf 11235  -∞cmnf 11236  ℝ^*cxr 11237  -cneg 11437  -_𝑒cxne 13129   +_𝑒 cxad 13130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439  df-xneg 13132  df-xadd 13133

This theorem is referenced by:  xrsxmet  24967  xaddeq0  33098  xlt2addrd  33104  xrge0npcan  33340  carsgclctunlem2  34709