Theorem xnegid 13254

Description: Extended real version of negid 11530. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Proof of Theorem xnegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 13227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3	2	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐴 +𝑒 -𝐴))
4		renegcl 11546	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5		rexadd 13248	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
6	4, 5	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
7		recn 11219	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	negidd 11584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
9	3, 6, 8	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
10		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
11		xnegeq 13223	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
12		xnegpnf 13225	. . . . . 6 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
13	11, 12	eqtrdi 2786	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
14	10, 13	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -∞))
15		pnfaddmnf 13246	. . . 4 ⊢ (+∞ +𝑒 -∞) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2786	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
17		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18		xnegeq 13223	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
19		xnegmnf 13226	. . . . . 6 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
20	18, 19	eqtrdi 2786	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21	17, 20	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (-∞ +𝑒 +∞))
22		mnfaddpnf 13247	. . . 4 ⊢ (-∞ +𝑒 +∞) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2786	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
24	9, 16, 23	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
25	1, 24	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129   + caddc 11132  +∞cpnf 11266  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268  -cneg 11467  -_𝑒cxne 13125   +_𝑒 cxad 13126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-xneg 13128  df-xadd 13129

This theorem is referenced by:  xrsxmet  24749  xaddeq0  32730  xlt2addrd  32736  xrge0npcan  33015  carsgclctunlem2  34351