MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnegid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnegid 12619
Description: Extended real version of negid 10921. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegid (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Proof of Theorem xnegid
StepHypRef Expression
1 elxr 12499 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 12592 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
32oveq2d 7161 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐴 +𝑒 -𝐴))
4 renegcl 10937 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5 rexadd 12613 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
64, 5mpdan 683 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
7 recn 10615 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
87negidd 10975 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
93, 6, 83eqtrd 2857 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
10 id 22 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
11 xnegeq 12588 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
12 xnegpnf 12590 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
1311, 12syl6eq 2869 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
1410, 13oveq12d 7163 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -∞))
15 pnfaddmnf 12611 . . . 4 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
1614, 15syl6eq 2869 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
17 id 22 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18 xnegeq 12588 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
19 xnegmnf 12591 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
2018, 19syl6eq 2869 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
2117, 20oveq12d 7163 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (-∞ +𝑒 +∞))
22 mnfaddpnf 12612 . . . 4 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
2321, 22syl6eq 2869 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
249, 16, 233jaoi 1419 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
251, 24sylbi 218 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1078   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662  -cneg 10859  -𝑒cxne 12492   +𝑒 cxad 12493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861  df-xneg 12495  df-xadd 12496
This theorem is referenced by:  xrsxmet  23344  xaddeq0  30403  xlt2addrd  30408  xrge0npcan  30608  carsgclctunlem2  31476
  Copyright terms: Public domain W3C validator