Theorem xnegid 13375

Description: Extended real version of negid 11612. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +e -e𝐴) = 0)

Proof of Theorem xnegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13252	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 13348	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 = -𝐴)
3	2	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e -e𝐴) = (𝐴 +e -𝐴))
4		renegcl 11628	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5		rexadd 13369	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +e -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
6	4, 5	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
7		recn 11297	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	negidd 11666	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
9	3, 6, 8	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e -e𝐴) = 0)
10		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
11		xnegeq 13344	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e𝐴 = -e+∞)
12		xnegpnf 13346	. . . . . 6 ⊢ -e+∞ = -∞
13	11, 12	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e𝐴 = -∞)
14	10, 13	oveq12d 7442	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e -e𝐴) = (+∞ +e -∞))
15		pnfaddmnf 13367	. . . 4 ⊢ (+∞ +e -∞) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e -e𝐴) = 0)
17		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18		xnegeq 13344	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e𝐴 = -e-∞)
19		xnegmnf 13347	. . . . . 6 ⊢ -e-∞ = +∞
20	18, 19	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e𝐴 = +∞)
21	17, 20	oveq12d 7442	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +e -e𝐴) = (-∞ +e +∞))
22		mnfaddpnf 13368	. . . 4 ⊢ (-∞ +e +∞) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +e -e𝐴) = 0)
24	9, 16, 23	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +e -e𝐴) = 0)
25	1, 24	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +e -e𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207   + caddc 11210  +∞cpnf 11347  -∞cmnf 11348  ℝ^*cxr 11349   -cneg 11549   -_ecxne 13245   +_e cxad 13246

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-sub 11550  df-neg 11551  df-xneg 13248  df-xadd 13249

This theorem is used by:  xrsxmet  25138  xaddeq0  33395  xlt2addrd  33401  xrge0npcan  33631  carsgclctunlem2  35001