MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulneg1 13280
Description: Extended real version of mulneg1 11680. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulneg1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe ๐ต) = -๐‘’(๐ด ยทe ๐ต))

Proof of Theorem xmulneg1
StepHypRef Expression
1 xneg0 13223 . . . . . . . . 9 -๐‘’0 = 0
21eqeq2i 2741 . . . . . . . 8 (-๐‘’๐ด = -๐‘’0 โ†” -๐‘’๐ด = 0)
3 0xr 11291 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„*
4 xneg11 13226 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’0 โ†” ๐ด = 0))
53, 4mpan2 690 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’0 โ†” ๐ด = 0))
62, 5bitr3id 285 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (-๐‘’๐ด = 0 โ†” ๐ด = 0))
76adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด = 0 โ†” ๐ด = 0))
87orbi1d 915 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0) โ†” (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)))
98ifbid 4552 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))))
10 xnegpnf 13220 . . . . . . . . . . . . . 14 -๐‘’+โˆž = -โˆž
1110eqeq2i 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (-๐‘’๐ด = -๐‘’+โˆž โ†” -๐‘’๐ด = -โˆž)
12 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
13 pnfxr 11298 . . . . . . . . . . . . . 14 +โˆž โˆˆ โ„*
14 xneg11 13226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’+โˆž โ†” ๐ด = +โˆž))
1512, 13, 14sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’+โˆž โ†” ๐ด = +โˆž))
1611, 15bitr3id 285 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด = -โˆž โ†” ๐ด = +โˆž))
1716anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โ†” (0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž)))
18 xnegmnf 13221 . . . . . . . . . . . . . 14 -๐‘’-โˆž = +โˆž
1918eqeq2i 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (-๐‘’๐ด = -๐‘’-โˆž โ†” -๐‘’๐ด = +โˆž)
20 mnfxr 11301 . . . . . . . . . . . . . 14 -โˆž โˆˆ โ„*
21 xneg11 13226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง -โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’-โˆž โ†” ๐ด = -โˆž))
2212, 20, 21sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’-โˆž โ†” ๐ด = -โˆž))
2319, 22bitr3id 285 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด = +โˆž โ†” ๐ด = -โˆž))
2423anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โ†” (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)))
2517, 24orbi12d 917 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โ†” ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž))))
26 xlt0neg1 13230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐‘’๐ด))
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐‘’๐ด))
2827bicomd 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (0 < -๐‘’๐ด โ†” ๐ด < 0))
2928anbi1d 630 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โ†” (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))
30 xlt0neg2 13231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (0 < ๐ด โ†” -๐‘’๐ด < 0))
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (0 < ๐ด โ†” -๐‘’๐ด < 0))
3231bicomd 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด < 0 โ†” 0 < ๐ด))
3332anbi1d 630 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž) โ†” (0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž)))
3429, 33orbi12d 917 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โ†” ((๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž))))
35 orcom 869 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž)) โ†” ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))
3634, 35bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โ†” ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
3725, 36orbi12d 917 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†” (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))))
3837biimpar 477 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
3938iftrued 4537 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)) = -โˆž)
40 xmullem2 13276 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))))
4140adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))))
4223anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โ†” (0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž)))
4316anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โ†” (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)))
4442, 43orbi12d 917 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โ†” ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž))))
4528anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โ†” (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))
4632anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž) โ†” (0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž)))
4745, 46orbi12d 917 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โ†” ((๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž))))
48 orcom 869 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž)) โ†” ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))
4947, 48bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โ†” ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
5044, 49orbi12d 917 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†” (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))))
5150notbid 318 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†” ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))))
5241, 51sylibrd 259 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))))
5352imp 406 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
5453iffalsed 4540 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))
55 iftrue 4535 . . . . . . . . . 10 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž)
5655adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž)
57 xnegeq 13218 . . . . . . . . 9 (if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’+โˆž)
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’+โˆž)
5958, 10eqtrdi 2784 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -โˆž)
6039, 54, 593eqtr4d 2778 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
6150biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
6261iftrued 4537 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž)
6341con2d 134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))))
6463imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
6564iffalsed 4540 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))
66 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . 13 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = -โˆž)
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = -โˆž)
6865, 67eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -โˆž)
69 xnegeq 13218 . . . . . . . . . . 11 (if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -โˆž โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’-โˆž)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’-โˆž)
7170, 18eqtrdi 2784 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž)
7262, 71eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
7372adantlr 714 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
7437notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†” ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))))
7574biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
7675adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
7776iffalsed 4540 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)) = (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))
7851biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
7978adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
8079iffalsed 4540 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))
81 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))
8281ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))
83 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = (๐ด ยท ๐ต))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = (๐ด ยท ๐ต))
8582, 84eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = (๐ด ยท ๐ต))
86 xnegeq 13218 . . . . . . . . . 10 (if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = (๐ด ยท ๐ต) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’(๐ด ยท ๐ต))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’(๐ด ยท ๐ต))
88 xmullem 13275 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8988recnd 11272 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
90 ancom 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†” (๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*))
91 orcom 869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0) โ†” (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0))
9291notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0) โ†” ยฌ (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0))
9390, 92anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†” ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0)))
94 orcom 869 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†” (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž))))
9594notbii 320 . . . . . . . . . . . . . 14 (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†” ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž))))
9693, 95anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†” (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)))))
97 orcom 869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†” (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž))))
9897notbii 320 . . . . . . . . . . . . 13 (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†” ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž))))
99 xmullem 13275 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
10096, 98, 99syl2anb 597 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
101100recnd 11272 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
10289, 101mulneg1d 11697 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
103 rexneg 13222 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘’๐ด = -๐ด)
10488, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’๐ด = -๐ด)
105104oveq1d 7435 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (-๐‘’๐ด ยท ๐ต) = (-๐ด ยท ๐ต))
10688, 100remulcld 11274 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
107 rexneg 13222 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘’(๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’(๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
109102, 105, 1083eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (-๐‘’๐ด ยท ๐ต) = -๐‘’(๐ด ยท ๐ต))
11087, 109eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))
11177, 80, 1103eqtr4d 2778 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
11273, 111pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
11360, 112pm2.61dan 812 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
114113ifeq2da 4561 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
1159, 114eqtrd 2768 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
116 xnegeq 13218 . . . . 5 (if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = 0 โ†’ -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = -๐‘’0)
117116, 1eqtrdi 2784 . . . 4 (if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = 0 โ†’ -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = 0)
118 xnegeq 13218 . . . 4 (if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
119117, 118ifsb 4542 . . 3 -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
120115, 119eqtr4di 2786 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))) = -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
121 xnegcl 13224 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ -๐‘’๐ด โˆˆ โ„*)
122 xmulval 13236 . . 3 ((-๐‘’๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe ๐ต) = if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))))
123121, 122sylan 579 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe ๐ต) = if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))))
124 xmulval 13236 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
125 xnegeq 13218 . . 3 ((๐ด ยทe ๐ต) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) โ†’ -๐‘’(๐ด ยทe ๐ต) = -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
126124, 125syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ -๐‘’(๐ด ยทe ๐ต) = -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
127120, 123, 1263eqtr4d 2778 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe ๐ต) = -๐‘’(๐ด ยทe ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  ifcif 4529   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  โ„cr 11137  0cc0 11138   ยท cmul 11143  +โˆžcpnf 11275  -โˆžcmnf 11276  โ„*cxr 11277   < clt 11278  -cneg 11475  -๐‘’cxne 13121   ยทe cxmu 13123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-xneg 13124  df-xmul 13126
This theorem is referenced by:  xmulneg2  13281  xmulpnf1n  13289  xmulm1  13292  xmulass  13298  xadddi  13306  xadddi2  13308  xrsmulgzz  32736
  Copyright terms: Public domain W3C validator