MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulneg1 13197
Description: Extended real version of mulneg1 11599. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulneg1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe ๐ต) = -๐‘’(๐ด ยทe ๐ต))

Proof of Theorem xmulneg1
StepHypRef Expression
1 xneg0 13140 . . . . . . . . 9 -๐‘’0 = 0
21eqeq2i 2746 . . . . . . . 8 (-๐‘’๐ด = -๐‘’0 โ†” -๐‘’๐ด = 0)
3 0xr 11210 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„*
4 xneg11 13143 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’0 โ†” ๐ด = 0))
53, 4mpan2 690 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’0 โ†” ๐ด = 0))
62, 5bitr3id 285 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (-๐‘’๐ด = 0 โ†” ๐ด = 0))
76adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด = 0 โ†” ๐ด = 0))
87orbi1d 916 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0) โ†” (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)))
98ifbid 4513 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))))
10 xnegpnf 13137 . . . . . . . . . . . . . 14 -๐‘’+โˆž = -โˆž
1110eqeq2i 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (-๐‘’๐ด = -๐‘’+โˆž โ†” -๐‘’๐ด = -โˆž)
12 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
13 pnfxr 11217 . . . . . . . . . . . . . 14 +โˆž โˆˆ โ„*
14 xneg11 13143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’+โˆž โ†” ๐ด = +โˆž))
1512, 13, 14sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’+โˆž โ†” ๐ด = +โˆž))
1611, 15bitr3id 285 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด = -โˆž โ†” ๐ด = +โˆž))
1716anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โ†” (0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž)))
18 xnegmnf 13138 . . . . . . . . . . . . . 14 -๐‘’-โˆž = +โˆž
1918eqeq2i 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (-๐‘’๐ด = -๐‘’-โˆž โ†” -๐‘’๐ด = +โˆž)
20 mnfxr 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 -โˆž โˆˆ โ„*
21 xneg11 13143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง -โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’-โˆž โ†” ๐ด = -โˆž))
2212, 20, 21sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’-โˆž โ†” ๐ด = -โˆž))
2319, 22bitr3id 285 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด = +โˆž โ†” ๐ด = -โˆž))
2423anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โ†” (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)))
2517, 24orbi12d 918 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โ†” ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž))))
26 xlt0neg1 13147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐‘’๐ด))
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐‘’๐ด))
2827bicomd 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (0 < -๐‘’๐ด โ†” ๐ด < 0))
2928anbi1d 631 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โ†” (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))
30 xlt0neg2 13148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (0 < ๐ด โ†” -๐‘’๐ด < 0))
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (0 < ๐ด โ†” -๐‘’๐ด < 0))
3231bicomd 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด < 0 โ†” 0 < ๐ด))
3332anbi1d 631 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž) โ†” (0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž)))
3429, 33orbi12d 918 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โ†” ((๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž))))
35 orcom 869 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž)) โ†” ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))
3634, 35bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โ†” ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
3725, 36orbi12d 918 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†” (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))))
3837biimpar 479 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
3938iftrued 4498 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)) = -โˆž)
40 xmullem2 13193 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))))
4140adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))))
4223anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โ†” (0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž)))
4316anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โ†” (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)))
4442, 43orbi12d 918 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โ†” ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž))))
4528anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โ†” (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))
4632anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž) โ†” (0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž)))
4745, 46orbi12d 918 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โ†” ((๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž))))
48 orcom 869 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž)) โ†” ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))
4947, 48bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โ†” ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
5044, 49orbi12d 918 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†” (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))))
5150notbid 318 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†” ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))))
5241, 51sylibrd 259 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))))
5352imp 408 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
5453iffalsed 4501 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))
55 iftrue 4496 . . . . . . . . . 10 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž)
5655adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž)
57 xnegeq 13135 . . . . . . . . 9 (if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’+โˆž)
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’+โˆž)
5958, 10eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -โˆž)
6039, 54, 593eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
6150biimpar 479 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
6261iftrued 4498 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž)
6341con2d 134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))))
6463imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
6564iffalsed 4501 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))
66 iftrue 4496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = -โˆž)
6766adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = -โˆž)
6865, 67eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -โˆž)
69 xnegeq 13135 . . . . . . . . . . 11 (if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -โˆž โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’-โˆž)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’-โˆž)
7170, 18eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž)
7262, 71eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
7372adantlr 714 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
7437notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†” ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))))
7574biimpar 479 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
7675adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
7776iffalsed 4501 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)) = (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))
7851biimpar 479 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
7978adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
8079iffalsed 4501 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))
81 iffalse 4499 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))
8281ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))
83 iffalse 4499 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = (๐ด ยท ๐ต))
8483adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = (๐ด ยท ๐ต))
8582, 84eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = (๐ด ยท ๐ต))
86 xnegeq 13135 . . . . . . . . . 10 (if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = (๐ด ยท ๐ต) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’(๐ด ยท ๐ต))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’(๐ด ยท ๐ต))
88 xmullem 13192 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8988recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
90 ancom 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†” (๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*))
91 orcom 869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0) โ†” (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0))
9291notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0) โ†” ยฌ (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0))
9390, 92anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†” ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0)))
94 orcom 869 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†” (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž))))
9594notbii 320 . . . . . . . . . . . . . 14 (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†” ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž))))
9693, 95anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†” (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)))))
97 orcom 869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†” (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž))))
9897notbii 320 . . . . . . . . . . . . 13 (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†” ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž))))
99 xmullem 13192 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
10096, 98, 99syl2anb 599 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
101100recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
10289, 101mulneg1d 11616 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
103 rexneg 13139 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘’๐ด = -๐ด)
10488, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’๐ด = -๐ด)
105104oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (-๐‘’๐ด ยท ๐ต) = (-๐ด ยท ๐ต))
10688, 100remulcld 11193 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
107 rexneg 13139 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘’(๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’(๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
109102, 105, 1083eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (-๐‘’๐ด ยท ๐ต) = -๐‘’(๐ด ยท ๐ต))
11087, 109eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))
11177, 80, 1103eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
11273, 111pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
11360, 112pm2.61dan 812 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
114113ifeq2da 4522 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
1159, 114eqtrd 2773 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
116 xnegeq 13135 . . . . 5 (if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = 0 โ†’ -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = -๐‘’0)
117116, 1eqtrdi 2789 . . . 4 (if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = 0 โ†’ -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = 0)
118 xnegeq 13135 . . . 4 (if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
119117, 118ifsb 4503 . . 3 -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
120115, 119eqtr4di 2791 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))) = -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
121 xnegcl 13141 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ -๐‘’๐ด โˆˆ โ„*)
122 xmulval 13153 . . 3 ((-๐‘’๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe ๐ต) = if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))))
123121, 122sylan 581 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe ๐ต) = if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))))
124 xmulval 13153 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
125 xnegeq 13135 . . 3 ((๐ด ยทe ๐ต) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) โ†’ -๐‘’(๐ด ยทe ๐ต) = -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
126124, 125syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ -๐‘’(๐ด ยทe ๐ต) = -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
127120, 123, 1263eqtr4d 2783 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe ๐ต) = -๐‘’(๐ด ยทe ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4490   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064  +โˆžcpnf 11194  -โˆžcmnf 11195  โ„*cxr 11196   < clt 11197  -cneg 11394  -๐‘’cxne 13038   ยทe cxmu 13040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-xneg 13041  df-xmul 13043
This theorem is referenced by:  xmulneg2  13198  xmulpnf1n  13206  xmulm1  13209  xmulass  13215  xadddi  13223  xadddi2  13225  xrsmulgzz  31925
  Copyright terms: Public domain W3C validator