MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulneg1 13247
Description: Extended real version of mulneg1 11649. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulneg1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe ๐ต) = -๐‘’(๐ด ยทe ๐ต))

Proof of Theorem xmulneg1
StepHypRef Expression
1 xneg0 13190 . . . . . . . . 9 -๐‘’0 = 0
21eqeq2i 2745 . . . . . . . 8 (-๐‘’๐ด = -๐‘’0 โ†” -๐‘’๐ด = 0)
3 0xr 11260 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„*
4 xneg11 13193 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’0 โ†” ๐ด = 0))
53, 4mpan2 689 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’0 โ†” ๐ด = 0))
62, 5bitr3id 284 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (-๐‘’๐ด = 0 โ†” ๐ด = 0))
76adantr 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด = 0 โ†” ๐ด = 0))
87orbi1d 915 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0) โ†” (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)))
98ifbid 4551 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))))
10 xnegpnf 13187 . . . . . . . . . . . . . 14 -๐‘’+โˆž = -โˆž
1110eqeq2i 2745 . . . . . . . . . . . . 13 (-๐‘’๐ด = -๐‘’+โˆž โ†” -๐‘’๐ด = -โˆž)
12 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
13 pnfxr 11267 . . . . . . . . . . . . . 14 +โˆž โˆˆ โ„*
14 xneg11 13193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’+โˆž โ†” ๐ด = +โˆž))
1512, 13, 14sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’+โˆž โ†” ๐ด = +โˆž))
1611, 15bitr3id 284 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด = -โˆž โ†” ๐ด = +โˆž))
1716anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โ†” (0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž)))
18 xnegmnf 13188 . . . . . . . . . . . . . 14 -๐‘’-โˆž = +โˆž
1918eqeq2i 2745 . . . . . . . . . . . . 13 (-๐‘’๐ด = -๐‘’-โˆž โ†” -๐‘’๐ด = +โˆž)
20 mnfxr 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 -โˆž โˆˆ โ„*
21 xneg11 13193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง -โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’-โˆž โ†” ๐ด = -โˆž))
2212, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด = -๐‘’-โˆž โ†” ๐ด = -โˆž))
2319, 22bitr3id 284 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด = +โˆž โ†” ๐ด = -โˆž))
2423anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โ†” (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)))
2517, 24orbi12d 917 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โ†” ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž))))
26 xlt0neg1 13197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐‘’๐ด))
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐‘’๐ด))
2827bicomd 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (0 < -๐‘’๐ด โ†” ๐ด < 0))
2928anbi1d 630 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โ†” (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))
30 xlt0neg2 13198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (0 < ๐ด โ†” -๐‘’๐ด < 0))
3130ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (0 < ๐ด โ†” -๐‘’๐ด < 0))
3231bicomd 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (-๐‘’๐ด < 0 โ†” 0 < ๐ด))
3332anbi1d 630 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž) โ†” (0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž)))
3429, 33orbi12d 917 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โ†” ((๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž))))
35 orcom 868 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž)) โ†” ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))
3634, 35bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โ†” ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
3725, 36orbi12d 917 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†” (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))))
3837biimpar 478 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
3938iftrued 4536 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)) = -โˆž)
40 xmullem2 13243 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))))
4140adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))))
4223anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โ†” (0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž)))
4316anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โ†” (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)))
4442, 43orbi12d 917 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โ†” ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž))))
4528anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โ†” (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))
4632anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž) โ†” (0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž)))
4745, 46orbi12d 917 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โ†” ((๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž))))
48 orcom 868 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž)) โ†” ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))
4947, 48bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โ†” ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
5044, 49orbi12d 917 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†” (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))))
5150notbid 317 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†” ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))))
5241, 51sylibrd 258 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))))
5352imp 407 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
5453iffalsed 4539 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))
55 iftrue 4534 . . . . . . . . . 10 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž)
5655adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž)
57 xnegeq 13185 . . . . . . . . 9 (if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’+โˆž)
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’+โˆž)
5958, 10eqtrdi 2788 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -โˆž)
6039, 54, 593eqtr4d 2782 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
6150biimpar 478 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
6261iftrued 4536 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž)
6341con2d 134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))))
6463imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
6564iffalsed 4539 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))
66 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . . 13 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = -โˆž)
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = -โˆž)
6865, 67eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -โˆž)
69 xnegeq 13185 . . . . . . . . . . 11 (if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -โˆž โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’-โˆž)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’-โˆž)
7170, 18eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = +โˆž)
7262, 71eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
7372adantlr 713 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
7437notbid 317 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†” ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))))
7574biimpar 478 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
7675adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
7776iffalsed 4539 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)) = (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))
7851biimpar 478 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
7978adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
8079iffalsed 4539 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))
81 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))
8281ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))
83 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = (๐ด ยท ๐ต))
8483adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = (๐ด ยท ๐ต))
8582, 84eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = (๐ด ยท ๐ต))
86 xnegeq 13185 . . . . . . . . . 10 (if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = (๐ด ยท ๐ต) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’(๐ด ยท ๐ต))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’(๐ด ยท ๐ต))
88 xmullem 13242 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8988recnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
90 ancom 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†” (๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*))
91 orcom 868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0) โ†” (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0))
9291notbii 319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0) โ†” ยฌ (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0))
9390, 92anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†” ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0)))
94 orcom 868 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†” (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž))))
9594notbii 319 . . . . . . . . . . . . . 14 (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†” ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž))))
9693, 95anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†” (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)))))
97 orcom 868 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†” (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž))))
9897notbii 319 . . . . . . . . . . . . 13 (ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†” ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž))))
99 xmullem 13242 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ต = 0 โˆจ ๐ด = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
10096, 98, 99syl2anb 598 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
101100recnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
10289, 101mulneg1d 11666 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
103 rexneg 13189 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘’๐ด = -๐ด)
10488, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’๐ด = -๐ด)
105104oveq1d 7423 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (-๐‘’๐ด ยท ๐ต) = (-๐ด ยท ๐ต))
10688, 100remulcld 11243 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
107 rexneg 13189 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘’(๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’(๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
109102, 105, 1083eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ (-๐‘’๐ด ยท ๐ต) = -๐‘’(๐ด ยท ๐ต))
11087, 109eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))
11177, 80, 1103eqtr4d 2782 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
11273, 111pm2.61dan 811 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โˆง ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)))) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
11360, 112pm2.61dan 811 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
114113ifeq2da 4560 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
1159, 114eqtrd 2772 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
116 xnegeq 13185 . . . . 5 (if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = 0 โ†’ -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = -๐‘’0)
117116, 1eqtrdi 2788 . . . 4 (if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = 0 โ†’ -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = 0)
118 xnegeq 13185 . . . 4 (if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
119117, 118ifsb 4541 . . 3 -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, -๐‘’if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))))
120115, 119eqtr4di 2790 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))) = -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
121 xnegcl 13191 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ -๐‘’๐ด โˆˆ โ„*)
122 xmulval 13203 . . 3 ((-๐‘’๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe ๐ต) = if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))))
123121, 122sylan 580 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe ๐ต) = if((-๐‘’๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง -๐‘’๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง -๐‘’๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < -๐‘’๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (-๐‘’๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (-๐‘’๐ด ยท ๐ต)))))
124 xmulval 13203 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
125 xnegeq 13185 . . 3 ((๐ด ยทe ๐ต) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) โ†’ -๐‘’(๐ด ยทe ๐ต) = -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
126124, 125syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ -๐‘’(๐ด ยทe ๐ต) = -๐‘’if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
127120, 123, 1263eqtr4d 2782 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe ๐ต) = -๐‘’(๐ด ยทe ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  ifcif 4528   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11244  -โˆžcmnf 11245  โ„*cxr 11246   < clt 11247  -cneg 11444  -๐‘’cxne 13088   ยทe cxmu 13090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-xneg 13091  df-xmul 13093
This theorem is referenced by:  xmulneg2  13248  xmulpnf1n  13256  xmulm1  13259  xmulass  13265  xadddi  13273  xadddi2  13275  xrsmulgzz  32174
  Copyright terms: Public domain W3C validator