MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexneg 12603
Description: Minus a real number. Remark [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexneg (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)

Proof of Theorem rexneg
StepHypRef Expression
1 df-xneg 12506 . 2 -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2 renepnf 10688 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
3 ifnefalse 4478 . . . 4 (𝐴 ≠ +∞ → if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) = if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) = if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
5 renemnf 10689 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
6 ifnefalse 4478 . . . 4 (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) = -𝐴)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) = -𝐴)
84, 7eqtrd 2856 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) = -𝐴)
91, 8syl5eq 2868 1 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  ifcif 4466  cr 10535  +∞cpnf 10671  -∞cmnf 10672  -cneg 10870  -𝑒cxne 12503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xneg 12506
This theorem is referenced by:  xneg0  12604  xnegcl  12605  xnegneg  12606  xltnegi  12608  rexsub  12625  xnegid  12630  xnegdi  12640  xpncan  12643  xnpcan  12644  xmulneg1  12661  xmulm1  12673  xadddi  12687  xlt2addrd  30481  xrsmulgzz  30665  rexnegd  41412  xnegrecl  41712
  Copyright terms: Public domain W3C validator