Theorem xmulpnf1n 13257

Description: Multiplication by plus infinity on the right, for negative input. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulpnf1n	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

Proof of Theorem xmulpnf1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 11268	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		xmulneg1 13248	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
4	1, 2, 3	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
5		xnegcl 13192	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6		xlt0neg1 13198	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
7	6	biimpa 478	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝑒𝐴)
8		xmulpnf1 13253	. . . . 5 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < -𝑒𝐴) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
9	5, 7, 8	syl2an2r 684	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
10	4, 9	eqtr3d 2775	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = +∞)
11		xnegmnf 13189	. . 3 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
12	10, 11	eqtr4di 2791	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞)
13		xmulcl 13252	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
14	1, 2, 13	sylancl 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
15		mnfxr 11271	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16		xneg11 13194	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
17	14, 15, 16	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
18	12, 17	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248  -_𝑒cxne 13089   ·_e cxmu 13091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-xneg 13092  df-xmul 13094

This theorem is referenced by:  xlemul1a  13267