Theorem xmulpnf1n 13413

Description: Multiplication by plus infinity on the right, for negative input. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulpnf1n	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

Proof of Theorem xmulpnf1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 11368	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		xmulneg1 13404	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 ·e +∞) = -e(𝐴 ·e +∞))
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ( -e𝐴 ·e +∞) = -e(𝐴 ·e +∞))
5		xnegcl 13348	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e𝐴 ∈ ℝ*)
6		xlt0neg1 13354	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -e𝐴))
7	6	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -e𝐴)
8		xmulpnf1 13409	. . . . 5 ⊢ (( -e𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < -e𝐴) → ( -e𝐴 ·e +∞) = +∞)
9	5, 7, 8	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ( -e𝐴 ·e +∞) = +∞)
10	4, 9	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → -e(𝐴 ·e +∞) = +∞)
11		xnegmnf 13345	. . 3 ⊢ -e-∞ = +∞
12	10, 11	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → -e(𝐴 ·e +∞) = -e-∞)
13		xmulcl 13408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
14	1, 2, 13	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
15		mnfxr 11371	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16		xneg11 13350	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → ( -e(𝐴 ·e +∞) = -e-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
17	14, 15, 16	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ( -e(𝐴 ·e +∞) = -e-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
18	12, 17	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7422  0cc0 11205  +∞cpnf 11345  -∞cmnf 11346  ℝ^*cxr 11347   < clt 11348   -_ecxne 13243   ·_e cxmu 13245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-xneg 13246  df-xmul 13248

This theorem is used by:  xlemul1a  13423