MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulpnf1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulpnf1n 13206
Description: Multiplication by plus infinity on the right, for negative input. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulpnf1n ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = -โˆž)

Proof of Theorem xmulpnf1n
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
2 pnfxr 11217 . . . . 5 +โˆž โˆˆ โ„*
3 xmulneg1 13197 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe +โˆž) = -๐‘’(๐ด ยทe +โˆž))
41, 2, 3sylancl 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe +โˆž) = -๐‘’(๐ด ยทe +โˆž))
5 xnegcl 13141 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ -๐‘’๐ด โˆˆ โ„*)
6 xlt0neg1 13147 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐‘’๐ด))
76biimpa 478 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < -๐‘’๐ด)
8 xmulpnf1 13202 . . . . 5 ((-๐‘’๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < -๐‘’๐ด) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
95, 7, 8syl2an2r 684 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐‘’๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
104, 9eqtr3d 2775 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด < 0) โ†’ -๐‘’(๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
11 xnegmnf 13138 . . 3 -๐‘’-โˆž = +โˆž
1210, 11eqtr4di 2791 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด < 0) โ†’ -๐‘’(๐ด ยทe +โˆž) = -๐‘’-โˆž)
13 xmulcl 13201 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โˆˆ โ„*)
141, 2, 13sylancl 587 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โˆˆ โ„*)
15 mnfxr 11220 . . 3 -โˆž โˆˆ โ„*
16 xneg11 13143 . . 3 (((๐ด ยทe +โˆž) โˆˆ โ„* โˆง -โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’(๐ด ยทe +โˆž) = -๐‘’-โˆž โ†” (๐ด ยทe +โˆž) = -โˆž))
1714, 15, 16sylancl 587 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐‘’(๐ด ยทe +โˆž) = -๐‘’-โˆž โ†” (๐ด ยทe +โˆž) = -โˆž))
1812, 17mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = -โˆž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  0cc0 11059  +โˆžcpnf 11194  -โˆžcmnf 11195  โ„*cxr 11196   < clt 11197  -๐‘’cxne 13038   ยทe cxmu 13040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-xneg 13041  df-xmul 13043
This theorem is referenced by:  xlemul1a  13216
  Copyright terms: Public domain W3C validator