Theorem xmulpnf1n 13316

Description: Multiplication by plus infinity on the right, for negative input. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulpnf1n	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

Proof of Theorem xmulpnf1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 11274	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		xmulneg1 13307	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
5		xnegcl 13251	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6		xlt0neg1 13257	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
7	6	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝑒𝐴)
8		xmulpnf1 13312	. . . . 5 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < -𝑒𝐴) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
9	5, 7, 8	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
10	4, 9	eqtr3d 2802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = +∞)
11		xnegmnf 13248	. . 3 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
12	10, 11	eqtr4di 2818	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞)
13		xmulcl 13311	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
14	1, 2, 13	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
15		mnfxr 11277	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16		xneg11 13253	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
17	14, 15, 16	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
18	12, 17	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  0cc0 11111  +∞cpnf 11251  -∞cmnf 11252  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254  -_𝑒cxne 13146   ·_e cxmu 13148

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-xneg 13149  df-xmul 13151

This theorem is used by:  xlemul1a  13326