MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulpnf1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulpnf1n 12659
Description: Multiplication by plus infinity on the right, for negative input. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulpnf1n ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

Proof of Theorem xmulpnf1n
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 pnfxr 10684 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
3 xmulneg1 12650 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
41, 2, 3sylancl 589 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
5 xnegcl 12594 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6 xlt0neg1 12600 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
76biimpa 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 0 < -𝑒𝐴)
8 xmulpnf1 12655 . . . . 5 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < -𝑒𝐴) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
95, 7, 8syl2an2r 684 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
104, 9eqtr3d 2835 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = +∞)
11 xnegmnf 12591 . . 3 -𝑒-∞ = +∞
1210, 11eqtr4di 2851 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞)
13 xmulcl 12654 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
141, 2, 13sylancl 589 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
15 mnfxr 10687 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
16 xneg11 12596 . . 3 (((𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
1714, 15, 16sylancl 589 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
1812, 17mpbid 235 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  *cxr 10663   < clt 10664  -𝑒cxne 12492   ·e cxmu 12494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-xneg 12495  df-xmul 12497
This theorem is referenced by:  xlemul1a  12669
  Copyright terms: Public domain W3C validator