Theorem xmulpnf1n 13238

Description: Multiplication by plus infinity on the right, for negative input. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulpnf1n	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

Proof of Theorem xmulpnf1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 11228	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		xmulneg1 13229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
5		xnegcl 13173	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6		xlt0neg1 13179	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
7	6	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝑒𝐴)
8		xmulpnf1 13234	. . . . 5 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < -𝑒𝐴) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
9	5, 7, 8	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
10	4, 9	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = +∞)
11		xnegmnf 13170	. . 3 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
12	10, 11	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞)
13		xmulcl 13233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
14	1, 2, 13	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
15		mnfxr 11231	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16		xneg11 13175	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
17	14, 15, 16	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
18	12, 17	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  0cc0 11068  +∞cpnf 11205  -∞cmnf 11206  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208  -_𝑒cxne 13069   ·_e cxmu 13071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-xneg 13072  df-xmul 13074

This theorem is referenced by:  xlemul1a  13248