Theorem xmulpnf1n 13448

Description: Multiplication by plus infinity on the right, for negative input. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulpnf1n	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

Proof of Theorem xmulpnf1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 11402	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		xmulneg1 13439	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 ·e +∞) = -e(𝐴 ·e +∞))
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ( -e𝐴 ·e +∞) = -e(𝐴 ·e +∞))
5		xnegcl 13383	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e𝐴 ∈ ℝ*)
6		xlt0neg1 13389	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -e𝐴))
7	6	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -e𝐴)
8		xmulpnf1 13444	. . . . 5 ⊢ (( -e𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < -e𝐴) → ( -e𝐴 ·e +∞) = +∞)
9	5, 7, 8	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ( -e𝐴 ·e +∞) = +∞)
10	4, 9	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → -e(𝐴 ·e +∞) = +∞)
11		xnegmnf 13380	. . 3 ⊢ -e-∞ = +∞
12	10, 11	eqtr4di 2816	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → -e(𝐴 ·e +∞) = -e-∞)
13		xmulcl 13443	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
14	1, 2, 13	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
15		mnfxr 11405	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16		xneg11 13385	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → ( -e(𝐴 ·e +∞) = -e-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
17	14, 15, 16	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ( -e(𝐴 ·e +∞) = -e-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
18	12, 17	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   -_ecxne 13278   ·_e cxmu 13280

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-xneg 13281  df-xmul 13283

This theorem is used by:  xlemul1a  13458