MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulpnf1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulpnf1n 12487
Description: Multiplication by plus infinity on the right, for negative input. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulpnf1n ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

Proof of Theorem xmulpnf1n
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 pnfxr 10494 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
3 xmulneg1 12478 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
41, 2, 3sylancl 577 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
5 xnegcl 12423 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6 xlt0neg1 12429 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
76biimpa 469 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 0 < -𝑒𝐴)
8 xmulpnf1 12483 . . . . 5 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < -𝑒𝐴) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
95, 7, 8syl2an2r 672 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
104, 9eqtr3d 2817 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = +∞)
11 xnegmnf 12420 . . 3 -𝑒-∞ = +∞
1210, 11syl6eqr 2833 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞)
13 xmulcl 12482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
141, 2, 13sylancl 577 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
15 mnfxr 10498 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
16 xneg11 12425 . . 3 (((𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
1714, 15, 16sylancl 577 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
1812, 17mpbid 224 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4929  (class class class)co 6976  0cc0 10335  +∞cpnf 10471  -∞cmnf 10472  *cxr 10473   < clt 10474  -𝑒cxne 12321   ·e cxmu 12323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-xneg 12324  df-xmul 12326
This theorem is referenced by:  xlemul1a  12497
  Copyright terms: Public domain W3C validator