Theorem xnegdi 13378

Description: Extended real version of negdi 11615. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegdi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐵) = ( -e𝐴 +e -e𝐵))

Proof of Theorem xnegdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13245	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		elxr 13245	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3		recn 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		negdi 11615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 + 𝐵) = ( -𝐴 + -𝐵))
6	3, 4, 5	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(𝐴 + 𝐵) = ( -𝐴 + -𝐵))
7		readdcl 11283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8		rexneg 13341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ → -e(𝐴 + 𝐵) = -(𝐴 + 𝐵))
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -e(𝐴 + 𝐵) = -(𝐴 + 𝐵))
10		renegcl 11621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
11		renegcl 11621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
12		rexadd 13362	. . . . . . . 8 ⊢ (( -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → ( -𝐴 +e -𝐵) = ( -𝐴 + -𝐵))
13	10, 11, 12	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ( -𝐴 +e -𝐵) = ( -𝐴 + -𝐵))
14	6, 9, 13	3eqtr4d 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -e(𝐴 + 𝐵) = ( -𝐴 +e -𝐵))
15		rexadd 13362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
16		xnegeq 13337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) → -e(𝐴 +e 𝐵) = -e(𝐴 + 𝐵))
17	15, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -e(𝐴 +e 𝐵) = -e(𝐴 + 𝐵))
18		rexneg 13341	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 = -𝐴)
19		rexneg 13341	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -e𝐵 = -𝐵)
20	18, 19	oveqan12d 7439	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ( -e𝐴 +e -e𝐵) = ( -𝐴 +e -𝐵))
21	14, 17, 20	3eqtr4d 2806	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -e(𝐴 +e 𝐵) = ( -e𝐴 +e -e𝐵))
22		xnegpnf 13339	. . . . . 6 ⊢ -e+∞ = -∞
23		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 +e +∞))
24		rexr 11355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
25		renemnf 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
26		xaddpnf1 13356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +e +∞) = +∞)
27	24, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e +∞) = +∞)
28	23, 27	sylan9eqr 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +e 𝐵) = +∞)
29		xnegeq 13337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +e 𝐵) = +∞ → -e(𝐴 +e 𝐵) = -e+∞)
30	28, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -e(𝐴 +e 𝐵) = -e+∞)
31		xnegeq 13337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = +∞ → -e𝐵 = -e+∞)
32	31, 22	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → -e𝐵 = -∞)
33	32	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → ( -e𝐴 +e -e𝐵) = ( -e𝐴 +e -∞))
34	18, 10	eqeltrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 ∈ ℝ)
35		rexr 11355	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -e𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 ∈ ℝ*)
36		renepnf 11357	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -e𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 ≠ +∞)
37		xaddmnf1 13358	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -e𝐴 ∈ ℝ* ∧ -e𝐴 ≠ +∞) → ( -e𝐴 +e -∞) = -∞)
38	35, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ( -e𝐴 ∈ ℝ → ( -e𝐴 +e -∞) = -∞)
39	34, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ( -e𝐴 +e -∞) = -∞)
40	33, 39	sylan9eqr 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ( -e𝐴 +e -e𝐵) = -∞)
41	22, 30, 40	3eqtr4a 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -e(𝐴 +e 𝐵) = ( -e𝐴 +e -e𝐵))
42		xnegmnf 13340	. . . . . 6 ⊢ -e-∞ = +∞
43		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 +e -∞))
44		renepnf 11357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
45		xaddmnf1 13358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +e -∞) = -∞)
46	24, 44, 45	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e -∞) = -∞)
47	43, 46	sylan9eqr 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +e 𝐵) = -∞)
48		xnegeq 13337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +e 𝐵) = -∞ → -e(𝐴 +e 𝐵) = -e-∞)
49	47, 48	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -e(𝐴 +e 𝐵) = -e-∞)
50		xnegeq 13337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = -∞ → -e𝐵 = -e-∞)
51	50, 42	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = -∞ → -e𝐵 = +∞)
52	51	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = -∞ → ( -e𝐴 +e -e𝐵) = ( -e𝐴 +e +∞))
53		renemnf 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -e𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 ≠ -∞)
54		xaddpnf1 13356	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -e𝐴 ∈ ℝ* ∧ -e𝐴 ≠ -∞) → ( -e𝐴 +e +∞) = +∞)
55	35, 53, 54	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ( -e𝐴 ∈ ℝ → ( -e𝐴 +e +∞) = +∞)
56	34, 55	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ( -e𝐴 +e +∞) = +∞)
57	52, 56	sylan9eqr 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ( -e𝐴 +e -e𝐵) = +∞)
58	42, 49, 57	3eqtr4a 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -e(𝐴 +e 𝐵) = ( -e𝐴 +e -e𝐵))
59	21, 41, 58	3jaodan 1458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → -e(𝐴 +e 𝐵) = ( -e𝐴 +e -e𝐵))
60	2, 59	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐵) = ( -e𝐴 +e -e𝐵))
61		xneg0 13342	. . . . . . 7 ⊢ -e0 = 0
62		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
63	62	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (+∞ +e 𝐵) = (+∞ +e -∞))
64		pnfaddmnf 13360	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ +e -∞) = 0
65	63, 64	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (+∞ +e 𝐵) = 0)
66		xnegeq 13337	. . . . . . . 8 ⊢ ((+∞ +e 𝐵) = 0 → -e(+∞ +e 𝐵) = -e0)
67	65, 66	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → -e(+∞ +e 𝐵) = -e0)
68	51	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → -e𝐵 = +∞)
69	68	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ +e -e𝐵) = (-∞ +e +∞))
70		mnfaddpnf 13361	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞ +e +∞) = 0
71	69, 70	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ +e -e𝐵) = 0)
72	61, 67, 71	3eqtr4a 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → -e(+∞ +e 𝐵) = (-∞ +e -e𝐵))
73		xaddpnf2 13357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +e 𝐵) = +∞)
74		xnegeq 13337	. . . . . . . 8 ⊢ ((+∞ +e 𝐵) = +∞ → -e(+∞ +e 𝐵) = -e+∞)
75	73, 74	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → -e(+∞ +e 𝐵) = -e+∞)
76		xnegcl 13343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -e𝐵 ∈ ℝ*)
77		xnegeq 13337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -e𝐵 = +∞ → -e -e𝐵 = -e+∞)
78	77, 22	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -e𝐵 = +∞ → -e -e𝐵 = -∞)
79		xnegneg 13344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -e -e𝐵 = 𝐵)
80	79	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ( -e -e𝐵 = -∞ ↔ 𝐵 = -∞))
81	78, 80	imbitrid 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ( -e𝐵 = +∞ → 𝐵 = -∞))
82	81	necon3d 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ≠ -∞ → -e𝐵 ≠ +∞))
83	82	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → -e𝐵 ≠ +∞)
84		xaddmnf2 13359	. . . . . . . 8 ⊢ (( -e𝐵 ∈ ℝ* ∧ -e𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +e -e𝐵) = -∞)
85	76, 83, 84	syl2an2r 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (-∞ +e -e𝐵) = -∞)
86	22, 75, 85	3eqtr4a 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → -e(+∞ +e 𝐵) = (-∞ +e -e𝐵))
87	72, 86	pm2.61dane 3043	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -e(+∞ +e 𝐵) = (-∞ +e -e𝐵))
88	87	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(+∞ +e 𝐵) = (-∞ +e -e𝐵))
89		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
90	89	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (+∞ +e 𝐵))
91		xnegeq 13337	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +e 𝐵) = (+∞ +e 𝐵) → -e(𝐴 +e 𝐵) = -e(+∞ +e 𝐵))
92	90, 91	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐵) = -e(+∞ +e 𝐵))
93		xnegeq 13337	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e𝐴 = -e+∞)
94	93	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e𝐴 = -e+∞)
95	94, 22	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e𝐴 = -∞)
96	95	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 +e -e𝐵) = (-∞ +e -e𝐵))
97	88, 92, 96	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐵) = ( -e𝐴 +e -e𝐵))
98		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
99	98	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (-∞ +e 𝐵) = (-∞ +e +∞))
100	99, 70	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (-∞ +e 𝐵) = 0)
101		xnegeq 13337	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞ +e 𝐵) = 0 → -e(-∞ +e 𝐵) = -e0)
102	100, 101	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → -e(-∞ +e 𝐵) = -e0)
103	32	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → -e𝐵 = -∞)
104	103	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +e -e𝐵) = (+∞ +e -∞))
105	104, 64	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +e -e𝐵) = 0)
106	61, 102, 105	3eqtr4a 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → -e(-∞ +e 𝐵) = (+∞ +e -e𝐵))
107		xaddmnf2 13359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +e 𝐵) = -∞)
108		xnegeq 13337	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞ +e 𝐵) = -∞ → -e(-∞ +e 𝐵) = -e-∞)
109	107, 108	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → -e(-∞ +e 𝐵) = -e-∞)
110		xnegeq 13337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -e𝐵 = -∞ → -e -e𝐵 = -e-∞)
111	110, 42	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -e𝐵 = -∞ → -e -e𝐵 = +∞)
112	79	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ( -e -e𝐵 = +∞ ↔ 𝐵 = +∞))
113	111, 112	imbitrid 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ( -e𝐵 = -∞ → 𝐵 = +∞))
114	113	necon3d 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ≠ +∞ → -e𝐵 ≠ -∞))
115	114	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → -e𝐵 ≠ -∞)
116		xaddpnf2 13357	. . . . . . . 8 ⊢ (( -e𝐵 ∈ ℝ* ∧ -e𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +e -e𝐵) = +∞)
117	76, 115, 116	syl2an2r 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (+∞ +e -e𝐵) = +∞)
118	42, 109, 117	3eqtr4a 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → -e(-∞ +e 𝐵) = (+∞ +e -e𝐵))
119	106, 118	pm2.61dane 3043	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -e(-∞ +e 𝐵) = (+∞ +e -e𝐵))
120	119	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(-∞ +e 𝐵) = (+∞ +e -e𝐵))
121		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = -∞)
122	121	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (-∞ +e 𝐵))
123		xnegeq 13337	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +e 𝐵) = (-∞ +e 𝐵) → -e(𝐴 +e 𝐵) = -e(-∞ +e 𝐵))
124	122, 123	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐵) = -e(-∞ +e 𝐵))
125		xnegeq 13337	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e𝐴 = -e-∞)
126	125	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e𝐴 = -e-∞)
127	126, 42	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e𝐴 = +∞)
128	127	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 +e -e𝐵) = (+∞ +e -e𝐵))
129	120, 124, 128	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐵) = ( -e𝐴 +e -e𝐵))
130	60, 97, 129	3jaoian 1457	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐵) = ( -e𝐴 +e -e𝐵))
131	1, 130	sylanb 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐵) = ( -e𝐴 +e -e𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200   + caddc 11203  +∞cpnf 11340  -∞cmnf 11341  ℝ^*cxr 11342   -cneg 11542   -_ecxne 13238   +_e cxad 13239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-xneg 13241  df-xadd 13242

This theorem is used by:  xaddass2  13380  xposdif  13392  xadddi  13425  xrsxmet  25129