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Theorem xnegdi 13287
Description: Extended real version of negdi 11564. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegdi ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))

Proof of Theorem xnegdi
StepHypRef Expression
1 elxr 13156 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 13156 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 recn 11243 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 11243 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 negdi 11564 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
63, 4, 5syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
7 readdcl 11236 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8 rexneg 13250 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ → -𝑒(𝐴 + 𝐵) = -(𝐴 + 𝐵))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 + 𝐵) = -(𝐴 + 𝐵))
10 renegcl 11570 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
11 renegcl 11570 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
12 rexadd 13271 . . . . . . . 8 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 +𝑒 -𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
1310, 11, 12syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 +𝑒 -𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
146, 9, 133eqtr4d 2785 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 +𝑒 -𝐵))
15 rexadd 13271 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
16 xnegeq 13246 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(𝐴 + 𝐵))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(𝐴 + 𝐵))
18 rexneg 13250 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
19 rexneg 13250 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
2018, 19oveqan12d 7450 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝐴 +𝑒 -𝐵))
2114, 17, 203eqtr4d 2785 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
22 xnegpnf 13248 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
23 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
24 rexr 11305 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
25 renemnf 11308 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
26 xaddpnf1 13265 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2724, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2823, 27sylan9eqr 2797 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
29 xnegeq 13246 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞ → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
31 xnegeq 13246 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
3231, 22eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
3332oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞))
3418, 10eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
35 rexr 11305 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
36 renepnf 11307 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ≠ +∞)
37 xaddmnf1 13267 . . . . . . . . 9 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ +∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
3835, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . 8 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4033, 39sylan9eqr 2797 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = -∞)
4122, 30, 403eqtr4a 2801 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
42 xnegmnf 13249 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
43 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
44 renepnf 11307 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
45 xaddmnf1 13267 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4624, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4743, 46sylan9eqr 2797 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
48 xnegeq 13246 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞ → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
4947, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
50 xnegeq 13246 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
5150, 42eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = +∞)
5251oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞))
53 renemnf 11308 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
54 xaddpnf1 13265 . . . . . . . . 9 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ -∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5535, 53, 54syl2anc 584 . . . . . . . 8 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5634, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5752, 56sylan9eqr 2797 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = +∞)
5842, 49, 573eqtr4a 2801 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
5921, 41, 583jaodan 1430 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
602, 59sylan2b 594 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
61 xneg0 13251 . . . . . . 7 -𝑒0 = 0
62 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
6362oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -∞))
64 pnfaddmnf 13269 . . . . . . . . 9 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
6563, 64eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = 0)
66 xnegeq 13246 . . . . . . . 8 ((+∞ +𝑒 𝐵) = 0 → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
6851adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒𝐵 = +∞)
6968oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = (-∞ +𝑒 +∞))
70 mnfaddpnf 13270 . . . . . . . 8 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
7169, 70eqtrdi 2791 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
7261, 67, 713eqtr4a 2801 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
73 xaddpnf2 13266 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
74 xnegeq 13246 . . . . . . . 8 ((+∞ +𝑒 𝐵) = +∞ → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
7573, 74syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
76 xnegcl 13252 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
77 xnegeq 13246 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑒𝐵 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
7877, 22eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒𝐵 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -∞)
79 xnegneg 13253 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
8079eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒-𝑒𝐵 = -∞ ↔ 𝐵 = -∞))
8178, 80imbitrid 244 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 = +∞ → 𝐵 = -∞))
8281necon3d 2959 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ≠ -∞ → -𝑒𝐵 ≠ +∞))
8382imp 406 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → -𝑒𝐵 ≠ +∞)
84 xaddmnf2 13268 . . . . . . . 8 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = -∞)
8576, 83, 84syl2an2r 685 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = -∞)
8622, 75, 853eqtr4a 2801 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
8772, 86pm2.61dane 3027 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
8887adantl 481 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
89 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
9089oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
91 xnegeq 13246 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵))
9290, 91syl 17 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵))
93 xnegeq 13246 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
9493adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
9594, 22eqtrdi 2791 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -∞)
9695oveq1d 7446 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
9788, 92, 963eqtr4d 2785 . . 3 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
98 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
9998oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 +∞))
10099, 70eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = 0)
101 xnegeq 13246 . . . . . . . 8 ((-∞ +𝑒 𝐵) = 0 → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
102100, 101syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
10332adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
104103oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -∞))
105104, 64eqtrdi 2791 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
10661, 102, 1053eqtr4a 2801 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
107 xaddmnf2 13268 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
108 xnegeq 13246 . . . . . . . 8 ((-∞ +𝑒 𝐵) = -∞ → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
109107, 108syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
110 xnegeq 13246 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
111110, 42eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = +∞)
11279eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒-𝑒𝐵 = +∞ ↔ 𝐵 = +∞))
113111, 112imbitrid 244 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 = -∞ → 𝐵 = +∞))
114113necon3d 2959 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ≠ +∞ → -𝑒𝐵 ≠ -∞))
115114imp 406 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
116 xaddpnf2 13266 . . . . . . . 8 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = +∞)
11776, 115, 116syl2an2r 685 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = +∞)
11842, 109, 1173eqtr4a 2801 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
119106, 118pm2.61dane 3027 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
120119adantl 481 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
121 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = -∞)
122121oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
123 xnegeq 13246 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵))
124122, 123syl 17 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵))
125 xnegeq 13246 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
126125adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
127126, 42eqtrdi 2791 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = +∞)
128127oveq1d 7446 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
129120, 124, 1283eqtr4d 2785 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
13060, 97, 1293jaoian 1429 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
1311, 130sylanb 581 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3o 1085   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292  -cneg 11491  -𝑒cxne 13149   +𝑒 cxad 13150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-xneg 13152  df-xadd 13153
This theorem is referenced by:  xaddass2  13289  xposdif  13301  xadddi  13334  xrsxmet  24845
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