Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierswlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierswlem 38924
Description: The Fourier series for the square wave 𝐹 converges to 𝑌, a simpler expression for this special case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierswlem.t 𝑇 = (2 · π)
fourierswlem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
fourierswlem.x 𝑋 ∈ ℝ
fourierswlem.y 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierswlem 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fourierswlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → 2 ∥ (𝑋 / π))
2 2z 11239 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → 2 ∈ ℤ)
4 fourierswlem.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 ∈ ℝ
5 pirp 23931 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℝ+
6 mod0 12489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod π) = 0 ↔ (𝑋 / π) ∈ ℤ))
74, 5, 6mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 mod π) = 0 ↔ (𝑋 / π) ∈ ℤ)
87biimpi 204 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod π) = 0 → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
98adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
10 divides 14766 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑋 / π) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)))
113, 9, 10syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)))
121, 11mpbid 220 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π))
13 2cnd 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14 picn 23929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℂ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → π ∈ ℂ)
16 zcn 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
1713, 15, 16mulassd 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · π) · 𝑘) = (2 · (π · 𝑘)))
1815, 16mulcld 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (π · 𝑘) ∈ ℂ)
1913, 18mulcomd 9914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · (π · 𝑘)) = ((π · 𝑘) · 2))
2017, 19eqtrd 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · π) · 𝑘) = ((π · 𝑘) · 2))
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → ((2 · π) · 𝑘) = ((π · 𝑘) · 2))
2215, 16, 13mulassd 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → ((π · 𝑘) · 2) = (π · (𝑘 · 2)))
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → ((π · 𝑘) · 2) = (π · (𝑘 · 2)))
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑘 · 2) = (𝑋 / π))
2524eqcomd 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / π) = (𝑘 · 2))
2625adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / π) = (𝑘 · 2))
274recni 9905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑋 ∈ ℂ)
2914a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → π ∈ ℂ)
3016adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑘 ∈ ℂ)
31 2cnd 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 2 ∈ ℂ)
3230, 31mulcld 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
33 pire 23928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℝ
34 pipos 23930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < π
3533, 34gt0ne0ii 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π ≠ 0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → π ≠ 0)
3728, 29, 32, 36divmuld 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → ((𝑋 / π) = (𝑘 · 2) ↔ (π · (𝑘 · 2)) = 𝑋))
3826, 37mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (π · (𝑘 · 2)) = 𝑋)
3921, 23, 383eqtrrd 2645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑋 = ((2 · π) · 𝑘))
40 fourierswlem.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (2 · π)
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑇 = (2 · π))
4239, 41oveq12d 6542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) = (((2 · π) · 𝑘) / (2 · π)))
4313, 15mulcld 9913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · π) ∈ ℂ)
44 2ne0 10957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
4635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → π ≠ 0)
4713, 15, 45, 46mulne0d 10525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · π) ≠ 0)
4816, 43, 47divcan3d 10652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · π) · 𝑘) / (2 · π)) = 𝑘)
4948adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (((2 · π) · 𝑘) / (2 · π)) = 𝑘)
5042, 49eqtrd 2640 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) = 𝑘)
51 simpl 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5250, 51eqeltrd 2684 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
5352ex 448 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ))
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)))
5554rexlimdv 3008 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ))
5612, 55mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
57 2re 10934 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
5857, 33remulcli 9907 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ
5940, 58eqeltri 2680 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ ℝ
60 2pos 10956 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
6157, 33, 60, 34mulgt0ii 10018 . . . . . . . . . . 11 0 < (2 · π)
6261, 40breqtrri 4601 . . . . . . . . . 10 0 < 𝑇
6359, 62elrpii 11664 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ ℝ+
64 mod0 12489 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ↔ (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ))
654, 63, 64mp2an 703 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ↔ (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
6656, 65sylibr 222 . . . . . . 7 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
6766orcd 405 . . . . . 6 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π))
68 odd2np1 14846 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 / π) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)))
697, 68sylbi 205 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod π) = 0 → (¬ 2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)))
7069biimpa 499 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π))
7113, 16mulcld 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
7271adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
73 1cnd 9909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 1 ∈ ℂ)
7414a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π ∈ ℂ)
7572, 73, 74adddird 9918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (((2 · 𝑘) + 1) · π) = (((2 · 𝑘) · π) + (1 · π)))
7613, 16mulcomd 9914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
7776oveq1d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · 𝑘) · π) = ((𝑘 · 2) · π))
7816, 13, 15mulassd 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) · π) = (𝑘 · (2 · π)))
7940eqcomi 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · π) = 𝑇
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · π) = 𝑇)
8180oveq2d 6540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · (2 · π)) = (𝑘 · 𝑇))
8277, 78, 813eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · 𝑘) · π) = (𝑘 · 𝑇))
8314mulid2i 9896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 · π) = π
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (1 · π) = π)
8582, 84oveq12d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) · π) + (1 · π)) = ((𝑘 · 𝑇) + π))
8685adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (((2 · 𝑘) · π) + (1 · π)) = ((𝑘 · 𝑇) + π))
8740, 43syl5eqel 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑇 ∈ ℂ)
8816, 87mulcld 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
8988, 15addcomd 10086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 𝑇) + π) = (π + (𝑘 · 𝑇)))
9089adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((𝑘 · 𝑇) + π) = (π + (𝑘 · 𝑇)))
9175, 86, 903eqtrrd 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (π + (𝑘 · 𝑇)) = (((2 · 𝑘) + 1) · π))
92 peano2cn 10056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑘) ∈ ℂ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
9371, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
9493, 15mulcomd 9914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) + 1) · π) = (π · ((2 · 𝑘) + 1)))
9594adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (((2 · 𝑘) + 1) · π) = (π · ((2 · 𝑘) + 1)))
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π))
9796eqcomd 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 / π) = ((2 · 𝑘) + 1))
9897adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / π) = ((2 · 𝑘) + 1))
9927a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 𝑋 ∈ ℂ)
10093adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
10135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π ≠ 0)
10299, 74, 100, 101divmuld 10669 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((𝑋 / π) = ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (π · ((2 · 𝑘) + 1)) = 𝑋))
10398, 102mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (π · ((2 · 𝑘) + 1)) = 𝑋)
10491, 95, 1033eqtrrd 2645 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 𝑋 = (π + (𝑘 · 𝑇)))
105104oveq1d 6539 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇))
106 modcyc 12519 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇) = (π mod 𝑇))
10733, 63, 106mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇) = (π mod 𝑇))
108107adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇) = (π mod 𝑇))
10933a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π ∈ ℝ)
11063a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
111 0re 9893 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
112111, 33, 34ltleii 10008 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ π
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 0 ≤ π)
114 2timesgt 38241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
1155, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < (2 · π)
116115, 40breqtrri 4601 . . . . . . . . . . . . . 14 π < 𝑇
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π < 𝑇)
118 modid 12509 . . . . . . . . . . . . 13 (((π ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ π ∧ π < 𝑇)) → (π mod 𝑇) = π)
119109, 110, 113, 117, 118syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (π mod 𝑇) = π)
120105, 108, 1193eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
121120ex 448 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 mod 𝑇) = π))
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 mod 𝑇) = π)))
123122rexlimdv 3008 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 mod 𝑇) = π))
12470, 123mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
125124olcd 406 . . . . . 6 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π))
12667, 125pm2.61dan 827 . . . . 5 ((𝑋 mod π) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π))
127 0xr 9939 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
12833rexri 9945 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ*
129 iocgtlb 38372 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π)) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
130127, 128, 129mp3an12 1405 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
131130gt0ne0d 10438 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
132131neneqd 2783 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0)
133 pm2.53 386 . . . . . 6 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = π))
134133imp 443 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
135126, 132, 134syl2anr 493 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
136127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → 0 ∈ ℝ*)
137128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → π ∈ ℝ*)
138 modcl 12486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1394, 63, 138mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ
140139rexri 9945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
142 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) = π)
14334, 142syl5breqr 4612 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
14433eqlei2 9996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
145136, 137, 141, 143, 144eliocd 38378 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
146145iftrued 4040 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
147146adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
148 oveq1 6531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑋 mod 𝑇))
149148breq1d 4584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑋 mod 𝑇) < π))
150149ifbid 4054 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
151 fourierswlem.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
152 1ex 9888 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
153 negex 10127 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ V
154152, 153ifex 4102 . . . . . . . . . . . . 13 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ V
155150, 151, 154fvmpt 6173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℝ → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1564, 155ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)
157139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
158 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑋 mod 𝑇) < π)
159157, 158ltned 10021 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
160159necon2bi 2808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
161160iffalsed 4043 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
162156, 161syl5eq 2652 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝐹𝑋) = -1)
163162adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝐹𝑋) = -1)
164147, 163oveq12d 6542 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (1 + -1))
165 1pneg1e0 10973 . . . . . . . 8 (1 + -1) = 0
166164, 165syl6eq 2656 . . . . . . 7 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = 0)
167166oveq1d 6539 . . . . . 6 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = (0 / 2))
168167adantll 745 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = (0 / 2))
169 2cn 10935 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
170169, 44div0i 10605 . . . . . 6 (0 / 2) = 0
171170a1i 11 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (0 / 2) = 0)
172 fourierswlem.y . . . . . . 7 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
173 iftrue 4038 . . . . . . 7 ((𝑋 mod π) = 0 → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = 0)
174172, 173syl5req 2653 . . . . . 6 ((𝑋 mod π) = 0 → 0 = 𝑌)
175174ad2antlr 758 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 0 = 𝑌)
176168, 171, 1753eqtrrd 2645 . . . 4 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
177135, 176mpdan 698 . . 3 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
178 iftrue 4038 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
179178adantr 479 . . . . . 6 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
180139a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
18133a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → π ∈ ℝ)
182 iocleub 38373 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π)) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
183127, 128, 182mp3an12 1405 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
184183adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
185 ax-1cn 9847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
186185, 14mulcomi 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · π) = (π · 1)
18783, 186eqtr3i 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π = (π · 1)
188187oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = ((π · 1) + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
189169, 14mulcomi 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · π) = (π · 2)
19040, 189eqtri 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑇 = (π · 2)
191190oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) = ((π · 2) · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))
192111, 62gtneii 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑇 ≠ 0
1934, 59, 192redivcli 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 / 𝑇) ∈ ℝ
194 flcl 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ)
195193, 194ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ
196 zcn 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℂ)
197195, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℂ
19814, 169, 197mulassi 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π · 2) · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) = (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
199191, 198eqtri 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) = (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
200199oveq2i 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) = (π + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
201169, 197mulcli 9898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℂ
20214, 185, 201adddii 9903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = ((π · 1) + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
203188, 200, 2023eqtr4ri 2639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
204203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
205 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π = (𝑋 mod 𝑇) → π = (𝑋 mod 𝑇))
206 modval 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) = (𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
2074, 63, 206mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 mod 𝑇) = (𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
208205, 207syl6eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π = (𝑋 mod 𝑇) → π = (𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
209208oveq1d 6539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) = ((𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
21027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π = (𝑋 mod 𝑇) → 𝑋 ∈ ℂ)
21159recni 9905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 ∈ ℂ
212211, 197mulcli 9898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℂ
213212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℂ)
214210, 213npcand 10244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π = (𝑋 mod 𝑇) → ((𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) = 𝑋)
215204, 209, 2143eqtrrd 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 (π = (𝑋 mod 𝑇) → 𝑋 = (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))))
216215oveq1d 6539 . . . . . . . . . . . . 13 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 / π) = ((π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) / π))
217185, 201addcli 9897 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℂ
218217, 14, 35divcan3i 10617 . . . . . . . . . . . . 13 ((π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) / π) = (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
219216, 218syl6eq 2656 . . . . . . . . . . . 12 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 / π) = (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
220 1z 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
221 zmulcl 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ) → (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℤ)
2222, 195, 221mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℤ
223 zaddcl 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℤ) → (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℤ)
224220, 222, 223mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℤ
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℤ)
226219, 225eqeltrd 2684 . . . . . . . . . . 11 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
227226, 7sylibr 222 . . . . . . . . . 10 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod π) = 0)
228227necon3bi 2804 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑋 mod π) = 0 → π ≠ (𝑋 mod 𝑇))
229228adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → π ≠ (𝑋 mod 𝑇))
230180, 181, 184, 229leneltd 10039 . . . . . . 7 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
231 iftrue 4038 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) < π → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
232156, 231syl5eq 2652 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹𝑋) = 1)
233230, 232syl 17 . . . . . 6 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝐹𝑋) = 1)
234179, 233oveq12d 6542 . . . . 5 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (1 + 1))
235234oveq1d 6539 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = ((1 + 1) / 2))
236 1p1e2 10978 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
237236oveq1i 6534 . . . . . 6 ((1 + 1) / 2) = (2 / 2)
238 2div2e1 10994 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
239237, 238eqtr2i 2629 . . . . 5 1 = ((1 + 1) / 2)
240233, 239syl6req 2657 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → ((1 + 1) / 2) = (𝐹𝑋))
241 iffalse 4041 . . . . . 6 (¬ (𝑋 mod π) = 0 → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
242172, 241syl5req 2653 . . . . 5 (¬ (𝑋 mod π) = 0 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
243242adantl 480 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
244235, 240, 2433eqtrrd 2645 . . 3 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
245177, 244pm2.61dan 827 . 2 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
246131necon2bi 2808 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
247246iffalsed 4043 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
248 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
249248, 34syl6eqbr 4613 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) < π)
250249iftrued 4040 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
251156, 250syl5eq 2652 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝐹𝑋) = 1)
252247, 251oveq12d 6542 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (-1 + 1))
253252oveq1d 6539 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = ((-1 + 1) / 2))
254 neg1cn 10968 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
255185, 254, 165addcomli 10076 . . . . . . . 8 (-1 + 1) = 0
256255oveq1i 6534 . . . . . . 7 ((-1 + 1) / 2) = (0 / 2)
257256, 170eqtri 2628 . . . . . 6 ((-1 + 1) / 2) = 0
258257a1i 11 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((-1 + 1) / 2) = 0)
25940oveq2i 6535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 / 𝑇) = (𝑋 / (2 · π))
260 2cnne0 11086 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
26114, 35pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
262 divdiv1 10582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((𝑋 / 2) / π) = (𝑋 / (2 · π)))
26327, 260, 261, 262mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 / 2) / π) = (𝑋 / (2 · π))
26427, 169, 14, 44, 35divdiv32i 10626 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 / 2) / π) = ((𝑋 / π) / 2)
265259, 263, 2643eqtr2i 2634 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 / 𝑇) = ((𝑋 / π) / 2)
266265oveq2i 6535 . . . . . . . . . . 11 (2 · (𝑋 / 𝑇)) = (2 · ((𝑋 / π) / 2))
26727, 14, 35divcli 10613 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 / π) ∈ ℂ
268267, 169, 44divcan2i 10614 . . . . . . . . . . 11 (2 · ((𝑋 / π) / 2)) = (𝑋 / π)
269266, 268eqtr2i 2629 . . . . . . . . . 10 (𝑋 / π) = (2 · (𝑋 / 𝑇))
2702a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
271 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
272270, 271zmulcld 11317 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → (2 · (𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ)
273269, 272syl5eqel 2688 . . . . . . . . 9 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
27465, 273sylbi 205 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
275274, 7sylibr 222 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod π) = 0)
276275iftrued 4040 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = 0)
277172, 276syl5req 2653 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 = 𝑌)
278253, 258, 2773eqtrrd 2645 . . . 4 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
279278adantl 480 . . 3 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
280128a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
28159rexri 9945 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℝ*
282281a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑇 ∈ ℝ*)
283139a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
284 pm4.56 514 . . . . . . . 8 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) ↔ ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
285284biimpi 204 . . . . . . 7 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
286 olc 397 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
287286adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
288127a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 0 ∈ ℝ*)
289128a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
290140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
291 0red 9894 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 ∈ ℝ)
292139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
293 modge0 12492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
2944, 63, 293mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)
295294a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
296 neqne 2786 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
297291, 292, 295, 296leneltd 10039 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
298297adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
299 simpl 471 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
300288, 289, 290, 298, 299eliocd 38378 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
301300orcd 405 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
302287, 301pm2.61dan 827 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ≤ π → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
303285, 302nsyl 133 . . . . . 6 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
30433a1i 11 . . . . . . 7 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ)
305304, 283ltnled 10032 . . . . . 6 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π))
306303, 305mpbird 245 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π < (𝑋 mod 𝑇))
307 modlt 12493 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
3084, 63, 307mp2an 703 . . . . . 6 (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇
309308a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
310280, 282, 283, 306, 309eliood 38368 . . . 4 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇))
311127a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 0 ∈ ℝ*)
31233a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π ∈ ℝ)
313140a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
314 ioogtlb 38365 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇)) → π < (𝑋 mod 𝑇))
315128, 281, 314mp3an12 1405 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π < (𝑋 mod 𝑇))
316311, 312, 313, 315gtnelioc 38360 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
317316iffalsed 4043 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
318139a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
319312, 318, 315ltnsymd 10034 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
320319iffalsed 4043 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
321156, 320syl5eq 2652 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝐹𝑋) = -1)
322317, 321oveq12d 6542 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (-1 + -1))
323322oveq1d 6539 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = ((-1 + -1) / 2))
324 df-2 10923 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
325324negeqi 10122 . . . . . . . . 9 -2 = -(1 + 1)
326185, 185negdii 10213 . . . . . . . . 9 -(1 + 1) = (-1 + -1)
327325, 326eqtr2i 2629 . . . . . . . 8 (-1 + -1) = -2
328327oveq1i 6534 . . . . . . 7 ((-1 + -1) / 2) = (-2 / 2)
329 divneg 10565 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(2 / 2) = (-2 / 2))
330169, 169, 44, 329mp3an 1415 . . . . . . 7 -(2 / 2) = (-2 / 2)
331238negeqi 10122 . . . . . . 7 -(2 / 2) = -1
332328, 330, 3313eqtr2i 2634 . . . . . 6 ((-1 + -1) / 2) = -1
333332a1i 11 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((-1 + -1) / 2) = -1)
334172a1i 11 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)))
335312, 318ltnled 10032 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π))
336315, 335mpbid 220 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
337248, 112syl6eqbr 4613 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
338337adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
339126orcanai 949 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
340339, 144syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
341338, 340pm2.61dan 827 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod π) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
342336, 341nsyl 133 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod π) = 0)
343342iffalsed 4043 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
344334, 343, 3213eqtrrd 2645 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 = 𝑌)
345323, 333, 3443eqtrrd 2645 . . . 4 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
346310, 345syl 17 . . 3 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
347279, 346pm2.61dan 827 . 2 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
348245, 347pm2.61i 174 1 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  wrex 2893  ifcif 4032   class class class wbr 4574  cmpt 4634  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794  *cxr 9926   < clt 9927  cle 9928  cmin 10114  -cneg 10115   / cdiv 10530  2c2 10914  cz 11207  +crp 11661  (,)cioo 11999  (,]cioc 12000  cfl 12405   mod cmo 12482  πcpi 14579  cdvds 14764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ioc 12004  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-mod 12483  df-seq 12616  df-exp 12675  df-fac 12875  df-bc 12904  df-hash 12932  df-shft 13598  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-limsup 13993  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-ef 14580  df-sin 14582  df-cos 14583  df-pi 14585  df-dvds 14765  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-mulg 17307  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-nei 20651  df-lp 20689  df-perf 20690  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-haus 20868  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-cncf 22417  df-limc 23350  df-dv 23351
This theorem is referenced by:  fouriersw  38925
  Copyright terms: Public domain W3C validator