Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem14 40622
Description: The sequence 𝐴 converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem14.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14 𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐
Distinct variable group:   𝐴,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛,𝑐)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables 𝑑 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
2 stirlinglem14.2 . . 3 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
31, 2stirlinglem13 40621 . 2 𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑
4 simpl 472 . . . . 5 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
54rpefcld 14879 . . . 4 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → (exp‘𝑑) ∈ ℝ+)
6 nnuz 11761 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
7 1zzd 11446 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 1 ∈ ℤ)
8 efcn 24242 . . . . . . 7 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
11 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
12 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
14 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1716sqrtcld 14220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
18 epr 14980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e ∈ ℝ+
19 rpcn 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℂ)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
22 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
23 epos 14979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < e
2422, 23gtneii 10187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ≠ 0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
2615, 21, 25divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
2726, 10expcld 13048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
2817, 27mulcld 10098 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
29 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
3230, 31rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
3332sqrtgt0d 14195 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
3433gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
35 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3615, 21, 35, 25divne0d 10855 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
37 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
3826, 36, 37expne0d 13054 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
3917, 27, 34, 38mulne0d 10717 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
4013, 28, 39divcld 10839 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
411fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4240, 41mpdan 703 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4342, 40eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
44 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
4510, 11, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
4613, 28, 45, 39divne0d 10855 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ≠ 0)
4742, 46eqnetrd 2890 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ≠ 0)
4843, 47logcld 24362 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℂ)
492, 48fmpti 6423 . . . . . . 7 𝐵:ℕ⟶ℂ
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝐵:ℕ⟶ℂ)
51 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝐵𝑑)
524recnd 10106 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝑑 ∈ ℂ)
536, 7, 9, 50, 51, 52climcncf 22750 . . . . 5 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → (exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑))
548elexi 3244 . . . . . . . . 9 exp ∈ V
55 nnex 11064 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
5655mptex 6527 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛))) ∈ V
572, 56eqeltri 2726 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
5854, 57coex 7160 . . . . . . . 8 (exp ∘ 𝐵) ∈ V
5958a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (exp ∘ 𝐵) ∈ V)
6055mptex 6527 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ∈ V
611, 60eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
63 1zzd 11446 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
642funmpt2 5965 . . . . . . . . . 10 Fun 𝐵
65 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
66 rabid2 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V)
671stirlinglem2 40610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℝ+)
68 relogcl 24367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑛) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ)
69 elex 3243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V)
7067, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V)
7166, 70mprgbir 2956 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V}
722dmmpt 5668 . . . . . . . . . . . 12 dom 𝐵 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V}
7371, 72eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . 11 ℕ = dom 𝐵
7465, 73syl6eleq 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ dom 𝐵)
75 fvco 6313 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐵𝑘 ∈ dom 𝐵) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵𝑘)))
7664, 74, 75sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵𝑘)))
771a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
78 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
7978fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
8078oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
8180fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
8278oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
8382, 78oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
8481, 83oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
8579, 84oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
86 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
87 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
88 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
90 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
91 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
9290, 91mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
9392sqrtcld 14220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
9420a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
9524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
9691, 94, 95divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
9796, 86expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
9893, 97mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
9929a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
100 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
10199, 100rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ+)
102101sqrtgt0d 14195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
103102gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
104 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
10591, 94, 104, 95divne0d 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
106 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
10796, 105, 106expne0d 13054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
10893, 97, 103, 107mulne0d 10717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
10989, 98, 108divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
11077, 85, 65, 109fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
111110, 109eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
112 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
11386, 87, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
11489, 98, 113, 108divne0d 10855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ≠ 0)
115110, 114eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ≠ 0)
116111, 115logcld 24362 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
117 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑘
118 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛log
119 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
1201, 119nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝐴
121120, 117nffv 6236 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(𝐴𝑘)
122118, 121nffv 6236 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(log‘(𝐴𝑘))
123 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
124123fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑘)))
125117, 122, 124, 2fvmptf 6340 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ) → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
126116, 125mpdan 703 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
127126fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(𝐵𝑘)) = (exp‘(log‘(𝐴𝑘))))
128 eflog 24368 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (exp‘(log‘(𝐴𝑘))) = (𝐴𝑘))
129111, 115, 128syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝐴𝑘))) = (𝐴𝑘))
13076, 127, 1293eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴𝑘))
131130adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴𝑘))
1326, 59, 62, 63, 131climeq 14342 . . . . . 6 (⊤ → ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
133132trud 1533 . . . . 5 ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
13453, 133sylib 208 . . . 4 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
135 breq2 4689 . . . . 5 (𝑐 = (exp‘𝑑) → (𝐴𝑐𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
136135rspcev 3340 . . . 4 (((exp‘𝑑) ∈ ℝ+𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐)
1375, 134, 136syl2anc 694 . . 3 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐)
138137rexlimiva 3057 . 2 (∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐)
1393, 138ax-mp 5 1 𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ccom 5147  Fun wfun 5920  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  +crp 11870  cexp 12900  !cfa 13100  csqrt 14017  cli 14259  expce 14836  eceu 14837  cnccncf 22726  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by:  stirling  40624
  Copyright terms: Public domain W3C validator