Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem14 40622
 Description: The sequence 𝐴 converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem14.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14 𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐
Distinct variable group:   𝐴,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛,𝑐)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables 𝑑 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
2 stirlinglem14.2 . . 3 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
31, 2stirlinglem13 40621 . 2 𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑
4 simpl 472 . . . . 5 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
54rpefcld 14879 . . . 4 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → (exp‘𝑑) ∈ ℝ+)
6 nnuz 11761 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
7 1zzd 11446 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 1 ∈ ℤ)
8 efcn 24242 . . . . . . 7 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
11 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
12 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
14 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1716sqrtcld 14220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
18 epr 14980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e ∈ ℝ+
19 rpcn 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℂ)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
22 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
23 epos 14979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < e
2422, 23gtneii 10187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ≠ 0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
2615, 21, 25divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
2726, 10expcld 13048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
2817, 27mulcld 10098 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
29 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
3230, 31rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
3332sqrtgt0d 14195 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
3433gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
35 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3615, 21, 35, 25divne0d 10855 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
37 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
3826, 36, 37expne0d 13054 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
3917, 27, 34, 38mulne0d 10717 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
4013, 28, 39divcld 10839 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
411fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4240, 41mpdan 703 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4342, 40eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
44 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
4510, 11, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
4613, 28, 45, 39divne0d 10855 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ≠ 0)
4742, 46eqnetrd 2890 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ≠ 0)
4843, 47logcld 24362 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℂ)
492, 48fmpti 6423 . . . . . . 7 𝐵:ℕ⟶ℂ
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝐵:ℕ⟶ℂ)
51 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝐵𝑑)
524recnd 10106 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝑑 ∈ ℂ)
536, 7, 9, 50, 51, 52climcncf 22750 . . . . 5 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → (exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑))
548elexi 3244 . . . . . . . . 9 exp ∈ V
55 nnex 11064 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
5655mptex 6527 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛))) ∈ V
572, 56eqeltri 2726 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
5854, 57coex 7160 . . . . . . . 8 (exp ∘ 𝐵) ∈ V
5958a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (exp ∘ 𝐵) ∈ V)
6055mptex 6527 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ∈ V
611, 60eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
63 1zzd 11446 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
642funmpt2 5965 . . . . . . . . . 10 Fun 𝐵
65 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
66 rabid2 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V)
671stirlinglem2 40610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℝ+)
68 relogcl 24367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑛) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ)
69 elex 3243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V)
7067, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V)
7166, 70mprgbir 2956 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V}
722dmmpt 5668 . . . . . . . . . . . 12 dom 𝐵 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V}
7371, 72eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . 11 ℕ = dom 𝐵
7465, 73syl6eleq 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ dom 𝐵)
75 fvco 6313 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐵𝑘 ∈ dom 𝐵) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵𝑘)))
7664, 74, 75sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵𝑘)))
771a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
78 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
7978fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
8078oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
8180fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
8278oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
8382, 78oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
8481, 83oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
8579, 84oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
86 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
87 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
88 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
90 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
91 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
9290, 91mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
9392sqrtcld 14220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
9420a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
9524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
9691, 94, 95divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
9796, 86expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
9893, 97mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
9929a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
100 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
10199, 100rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ+)
102101sqrtgt0d 14195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
103102gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
104 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
10591, 94, 104, 95divne0d 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
106 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
10796, 105, 106expne0d 13054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
10893, 97, 103, 107mulne0d 10717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
10989, 98, 108divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
11077, 85, 65, 109fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
111110, 109eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
112 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
11386, 87, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
11489, 98, 113, 108divne0d 10855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ≠ 0)
115110, 114eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ≠ 0)
116111, 115logcld 24362 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
117 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑘
118 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛log
119 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
1201, 119nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝐴
121120, 117nffv 6236 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(𝐴𝑘)
122118, 121nffv 6236 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(log‘(𝐴𝑘))
123 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
124123fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑘)))
125117, 122, 124, 2fvmptf 6340 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ) → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
126116, 125mpdan 703 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
127126fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(𝐵𝑘)) = (exp‘(log‘(𝐴𝑘))))
128 eflog 24368 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (exp‘(log‘(𝐴𝑘))) = (𝐴𝑘))
129111, 115, 128syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝐴𝑘))) = (𝐴𝑘))
13076, 127, 1293eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴𝑘))
131130adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴𝑘))
1326, 59, 62, 63, 131climeq 14342 . . . . . 6 (⊤ → ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
133132trud 1533 . . . . 5 ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
13453, 133sylib 208 . . . 4 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
135 breq2 4689 . . . . 5 (𝑐 = (exp‘𝑑) → (𝐴𝑐𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
136135rspcev 3340 . . . 4 (((exp‘𝑑) ∈ ℝ+𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐)
1375, 134, 136syl2anc 694 . . 3 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐)
138137rexlimiva 3057 . 2 (∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐)
1393, 138ax-mp 5 1 𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143   ∘ ccom 5147  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℝ+crp 11870  ↑cexp 12900  !cfa 13100  √csqrt 14017   ⇝ cli 14259  expce 14836  eceu 14837  –cn→ccncf 22726  logclog 24346 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176  df-log 24348  df-cxp 24349 This theorem is referenced by:  stirling  40624
 Copyright terms: Public domain W3C validator