Theorem 1ndom2 7046

Description: Two is not dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
1ndom2	⊢ ¬ 2o ≼ 1o

Proof of Theorem 1ndom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6683	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
2		nnord 4708	. . . 4 ⊢ (1o ∈ ω → Ord 1o)
3		ordirr 4638	. . . 4 ⊢ (Ord 1o → ¬ 1o ∈ 1o)
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . 3 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
5		1lt2o 6605	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 2o
6		ssel 3219	. . . 4 ⊢ (2o ⊆ 1o → (1o ∈ 2o → 1o ∈ 1o))
7	5, 6	mpi 15	. . 3 ⊢ (2o ⊆ 1o → 1o ∈ 1o)
8	4, 7	mto 666	. 2 ⊢ ¬ 2o ⊆ 1o
9		2onn 6684	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
10		nndomo 7045	. . 3 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (2o ≼ 1o ↔ 2o ⊆ 1o))
11	9, 1, 10	mp2an 426	. 2 ⊢ (2o ≼ 1o ↔ 2o ⊆ 1o)
12	8, 11	mtbir 675	1 ⊢ ¬ 2o ≼ 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086  Ord word 4457  ωcom 4686  1_oc1o 6570  2_oc2o 6571   ≼ cdom 6903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906

This theorem is referenced by:  umgrislfupgrenlem  15969  lfgrnloopen  15972