Theorem 1ndom2 7170

Description: Two is not dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
1ndom2	⊢ ¬ 2o ≼ 1o

Proof of Theorem 1ndom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6797	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
2		nnord 4761	. . . 4 ⊢ (1o ∈ ω → Ord 1o)
3		ordirr 4691	. . . 4 ⊢ (Ord 1o → ¬ 1o ∈ 1o)
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . 3 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
5		1lt2o 6719	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 2o
6		ssel 3242	. . . 4 ⊢ (2o ⊆ 1o → (1o ∈ 2o → 1o ∈ 1o))
7	5, 6	mpi 15	. . 3 ⊢ (2o ⊆ 1o → 1o ∈ 1o)
8	4, 7	mto 672	. 2 ⊢ ¬ 2o ⊆ 1o
9		2onn 6798	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
10		nndomo 7169	. . 3 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (2o ≼ 1o ↔ 2o ⊆ 1o))
11	9, 1, 10	mp2an 430	. 2 ⊢ (2o ≼ 1o ↔ 2o ⊆ 1o)
12	8, 11	mtbir 682	1 ⊢ ¬ 2o ≼ 1o

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131  Ord word 4509  ωcom 4739  1_oc1o 6684  2_oc2o 6685   ≼ cdom 7025

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028

This theorem is used by:  umgrislfupgrenlem  16576  lfgrnloopen  16579