Theorem 1ndom2 7034

Description: Two is not dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
1ndom2	⊢ ¬ 2o ≼ 1o

Proof of Theorem 1ndom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6674	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
2		nnord 4704	. . . 4 ⊢ (1o ∈ ω → Ord 1o)
3		ordirr 4634	. . . 4 ⊢ (Ord 1o → ¬ 1o ∈ 1o)
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . 3 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
5		1lt2o 6596	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 2o
6		ssel 3218	. . . 4 ⊢ (2o ⊆ 1o → (1o ∈ 2o → 1o ∈ 1o))
7	5, 6	mpi 15	. . 3 ⊢ (2o ⊆ 1o → 1o ∈ 1o)
8	4, 7	mto 666	. 2 ⊢ ¬ 2o ⊆ 1o
9		2onn 6675	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
10		nndomo 7033	. . 3 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (2o ≼ 1o ↔ 2o ⊆ 1o))
11	9, 1, 10	mp2an 426	. 2 ⊢ (2o ≼ 1o ↔ 2o ⊆ 1o)
12	8, 11	mtbir 675	1 ⊢ ¬ 2o ≼ 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083  Ord word 4453  ωcom 4682  1_oc1o 6561  2_oc2o 6562   ≼ cdom 6894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897

This theorem is referenced by:  umgrislfupgrenlem  15943  lfgrnloopen  15946