Theorem 3decltc 9633

Description: Comparing two decimal integers with three "digits" (unequal higher places). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3decltc.a	|- A e. NN0
3decltc.b	|- B e. NN0
3decltc.c	|- C e. NN0
3decltc.d	|- D e. NN0
3decltc.e	|- E e. NN0
3decltc.f	|- F e. NN0
3decltc.3	|- A < B
3decltc.1	|- C < ; 1 0
3decltc.2	|- E < ; 1 0

Assertion

Ref	Expression
3decltc	|- ;; A C E < ;; B D F

Proof of Theorem 3decltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3decltc.a	. . 3 |- A e. NN0
2		3decltc.c	. . 3 |- C e. NN0
3	1, 2	deccl 9615	. 2 |- ; A C e. NN0
4		3decltc.b	. . 3 |- B e. NN0
5		3decltc.d	. . 3 |- D e. NN0
6	4, 5	deccl 9615	. 2 |- ; B D e. NN0
7		3decltc.e	. 2 |- E e. NN0
8		3decltc.f	. 2 |- F e. NN0
9		3decltc.2	. 2 |- E < ; 1 0
10		3decltc.1	. . 3 |- C < ; 1 0
11		3decltc.3	. . 3 |- A < B
12	1, 4, 2, 5, 10, 11	decltc 9629	. 2 |- ; A C < ; B D
13	3, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 9629	1 |- ;; A C E < ;; B D F

Syntax hints:   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   0cc0 8022   1c1 8023   < clt 8204   NN0cn0 9392  ;cdc 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-dec 9602

This theorem is referenced by: (None)