Theorem 3decltc 9434

Description: Comparing two decimal integers with three "digits" (unequal higher places). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3decltc.a	|- A e. NN0
3decltc.b	|- B e. NN0
3decltc.c	|- C e. NN0
3decltc.d	|- D e. NN0
3decltc.e	|- E e. NN0
3decltc.f	|- F e. NN0
3decltc.3	|- A < B
3decltc.1	|- C < ; 1 0
3decltc.2	|- E < ; 1 0

Assertion

Ref	Expression
3decltc	|- ;; A C E < ;; B D F

Proof of Theorem 3decltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3decltc.a	. . 3 |- A e. NN0
2		3decltc.c	. . 3 |- C e. NN0
3	1, 2	deccl 9416	. 2 |- ; A C e. NN0
4		3decltc.b	. . 3 |- B e. NN0
5		3decltc.d	. . 3 |- D e. NN0
6	4, 5	deccl 9416	. 2 |- ; B D e. NN0
7		3decltc.e	. 2 |- E e. NN0
8		3decltc.f	. 2 |- F e. NN0
9		3decltc.2	. 2 |- E < ; 1 0
10		3decltc.1	. . 3 |- C < ; 1 0
11		3decltc.3	. . 3 |- A < B
12	1, 4, 2, 5, 10, 11	decltc 9430	. 2 |- ; A C < ; B D
13	3, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 9430	1 |- ;; A C E < ;; B D F

Syntax hints:   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   0cc0 7829   1c1 7830   < clt 8010   NN0cn0 9194  ;cdc 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-7 9001  df-8 9002  df-9 9003  df-n0 9195  df-z 9272  df-dec 9403

This theorem is referenced by: (None)