Theorem 3decltc 9826

Description: Comparing two decimal integers with three "digits" (unequal higher places). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3decltc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3decltc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3decltc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
3decltc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
3decltc.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
3decltc.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
3decltc.3	⊢ 𝐴 < 𝐵
3decltc.1	⊢ 𝐶 < ;10
3decltc.2	⊢ 𝐸 < ;10

Assertion

Ref	Expression
3decltc	⊢ ;;𝐴𝐶𝐸 < ;;𝐵𝐷𝐹

Proof of Theorem 3decltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3decltc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		3decltc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 9803	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℕ0
4		3decltc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		3decltc.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 9803	. 2 ⊢ ;𝐵𝐷 ∈ ℕ0
7		3decltc.e	. 2 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
8		3decltc.f	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
9		3decltc.2	. 2 ⊢ 𝐸 < ;10
10		3decltc.1	. . 3 ⊢ 𝐶 < ;10
11		3decltc.3	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
12	1, 4, 2, 5, 10, 11	decltc 9822	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷
13	3, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 9822	1 ⊢ ;;𝐴𝐶𝐸 < ;;𝐵𝐷𝐹

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  0cc0 8186  1c1 8187   < clt 8367  ℕ₀cn0 9575  ;cdc 9789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790

This theorem is used by:  139prm  13268  163prm  13269  317prm  13270  631prm  13271