Theorem 3decltc 9434

Description: Comparing two decimal integers with three "digits" (unequal higher places). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3decltc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3decltc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3decltc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
3decltc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
3decltc.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
3decltc.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
3decltc.3	⊢ 𝐴 < 𝐵
3decltc.1	⊢ 𝐶 < ;10
3decltc.2	⊢ 𝐸 < ;10

Assertion

Ref	Expression
3decltc	⊢ ;;𝐴𝐶𝐸 < ;;𝐵𝐷𝐹

Proof of Theorem 3decltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3decltc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		3decltc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 9416	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℕ0
4		3decltc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		3decltc.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 9416	. 2 ⊢ ;𝐵𝐷 ∈ ℕ0
7		3decltc.e	. 2 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
8		3decltc.f	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
9		3decltc.2	. 2 ⊢ 𝐸 < ;10
10		3decltc.1	. . 3 ⊢ 𝐶 < ;10
11		3decltc.3	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
12	1, 4, 2, 5, 10, 11	decltc 9430	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷
13	3, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 9430	1 ⊢ ;;𝐴𝐶𝐸 < ;;𝐵𝐷𝐹

Syntax hints:   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  0cc0 7829  1c1 7830   < clt 8010  ℕ₀cn0 9194  ;cdc 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-7 9001  df-8 9002  df-9 9003  df-n0 9195  df-z 9272  df-dec 9403

This theorem is referenced by: (None)