Theorem 9pos 9341

Description: The number 9 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
9pos	|- 0 < 9

Proof of Theorem 9pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8re 9322	. . 3 |- 8 e. RR
2		1re 8273	. . 3 |- 1 e. RR
3		8pos 9340	. . 3 |- 0 < 8
4		0lt1 8400	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8765	. 2 |- 0 < ( 8 + 1 )
6		df-9 9303	. 2 |- 9 = ( 8 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4136	1 |- 0 < 9

Syntax hints:   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   8c8 9294   9c9 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303

This theorem is referenced by:  0.999...  12207  cos2bnd  12446  sincos2sgn  12452