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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cos2bnd | Unicode version |
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) |
Ref | Expression |
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cos2bnd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 7cn 8567 |
. . . . . 6
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2 | 9cn 8571 |
. . . . . 6
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3 | 9re 8570 |
. . . . . . 7
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4 | 9pos 8587 |
. . . . . . 7
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5 | 3, 4 | gt0ap0ii 8165 |
. . . . . 6
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6 | divnegap 8234 |
. . . . . 6
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7 | 1, 2, 5, 6 | mp3an 1274 |
. . . . 5
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8 | 2cn 8554 |
. . . . . . 7
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9 | 2, 5 | pm3.2i 267 |
. . . . . . 7
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10 | divsubdirap 8236 |
. . . . . . 7
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11 | 8, 2, 9, 10 | mp3an 1274 |
. . . . . 6
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12 | 2, 8 | negsubdi2i 7829 |
. . . . . . . 8
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13 | 7p2e9 8628 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 2, 8, 1 | subadd2i 7831 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 13, 14 | mpbir 145 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | negeqi 7737 |
. . . . . . . 8
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17 | 12, 16 | eqtr3i 2111 |
. . . . . . 7
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18 | 17 | oveq1i 5676 |
. . . . . 6
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19 | 11, 18 | eqtr3i 2111 |
. . . . 5
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20 | 2, 5 | dividapi 8273 |
. . . . . 6
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21 | 20 | oveq2i 5677 |
. . . . 5
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22 | 7, 19, 21 | 3eqtr2ri 2116 |
. . . 4
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23 | ax-1cn 7499 |
. . . . . . . 8
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24 | 8, 23, 2, 5 | divassapi 8296 |
. . . . . . 7
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25 | 2t1e2 8630 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | oveq1i 5676 |
. . . . . . 7
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27 | 24, 26 | eqtr3i 2111 |
. . . . . 6
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28 | 3cn 8558 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 3ap0 8579 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 23, 28, 29 | sqdivapi 10099 |
. . . . . . . . 9
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31 | sq1 10109 |
. . . . . . . . . 10
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32 | sq3 10112 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 31, 32 | oveq12i 5678 |
. . . . . . . . 9
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34 | 30, 33 | eqtri 2109 |
. . . . . . . 8
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35 | cos1bnd 11111 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 35 | simpli 110 |
. . . . . . . . 9
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37 | 0le1 8020 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 3pos 8577 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 1re 7548 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 3re 8557 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 39, 40 | divge0i 8433 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 37, 38, 41 | mp2an 418 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 0re 7549 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | recoscl 11073 |
. . . . . . . . . . . 12
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45 | 39, 44 | ax-mp 7 |
. . . . . . . . . . 11
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46 | 40, 29 | rerecclapi 8305 |
. . . . . . . . . . . . 13
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47 | 43, 46, 45 | lelttri 7651 |
. . . . . . . . . . . 12
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48 | 42, 36, 47 | mp2an 418 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 43, 45, 48 | ltleii 7648 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 46, 45 | lt2sqi 10103 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 42, 49, 50 | mp2an 418 |
. . . . . . . . 9
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52 | 36, 51 | mpbi 144 |
. . . . . . . 8
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53 | 34, 52 | eqbrtrri 3872 |
. . . . . . 7
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54 | 2pos 8574 |
. . . . . . . 8
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55 | 3, 5 | rerecclapi 8305 |
. . . . . . . . 9
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56 | 45 | resqcli 10100 |
. . . . . . . . 9
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57 | 2re 8553 |
. . . . . . . . 9
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58 | 55, 56, 57 | ltmul2i 8445 |
. . . . . . . 8
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59 | 54, 58 | ax-mp 7 |
. . . . . . 7
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60 | 53, 59 | mpbi 144 |
. . . . . 6
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61 | 27, 60 | eqbrtrri 3872 |
. . . . 5
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62 | 57, 3, 5 | redivclapi 8307 |
. . . . . 6
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63 | 57, 56 | remulcli 7563 |
. . . . . 6
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64 | ltsub1 7997 |
. . . . . 6
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65 | 62, 63, 39, 64 | mp3an 1274 |
. . . . 5
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66 | 61, 65 | mpbi 144 |
. . . 4
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67 | 22, 66 | eqbrtrri 3872 |
. . 3
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68 | 25 | fveq2i 5321 |
. . . 4
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69 | cos2t 11102 |
. . . . 5
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70 | 23, 69 | ax-mp 7 |
. . . 4
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71 | 68, 70 | eqtr3i 2111 |
. . 3
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72 | 67, 71 | breqtrri 3876 |
. 2
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73 | 35 | simpri 112 |
. . . . . . . . 9
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74 | 0le2 8573 |
. . . . . . . . . . 11
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75 | 57, 40 | divge0i 8433 |
. . . . . . . . . . 11
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76 | 74, 38, 75 | mp2an 418 |
. . . . . . . . . 10
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77 | 57, 40, 29 | redivclapi 8307 |
. . . . . . . . . . 11
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78 | 45, 77 | lt2sqi 10103 |
. . . . . . . . . 10
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79 | 49, 76, 78 | mp2an 418 |
. . . . . . . . 9
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80 | 73, 79 | mpbi 144 |
. . . . . . . 8
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81 | 8, 28, 29 | sqdivapi 10099 |
. . . . . . . . 9
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82 | sq2 10111 |
. . . . . . . . . 10
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83 | 82, 32 | oveq12i 5678 |
. . . . . . . . 9
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84 | 81, 83 | eqtri 2109 |
. . . . . . . 8
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85 | 80, 84 | breqtri 3874 |
. . . . . . 7
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86 | 4re 8560 |
. . . . . . . . . 10
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87 | 86, 3, 5 | redivclapi 8307 |
. . . . . . . . 9
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88 | 56, 87, 57 | ltmul2i 8445 |
. . . . . . . 8
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89 | 54, 88 | ax-mp 7 |
. . . . . . 7
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90 | 85, 89 | mpbi 144 |
. . . . . 6
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91 | 4cn 8561 |
. . . . . . . 8
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92 | 8, 91, 2, 5 | divassapi 8296 |
. . . . . . 7
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93 | 4t2e8 8635 |
. . . . . . . . 9
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94 | 91, 8, 93 | mulcomli 7556 |
. . . . . . . 8
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95 | 94 | oveq1i 5676 |
. . . . . . 7
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96 | 92, 95 | eqtr3i 2111 |
. . . . . 6
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97 | 90, 96 | breqtri 3874 |
. . . . 5
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98 | 8re 8568 |
. . . . . . 7
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99 | 98, 3, 5 | redivclapi 8307 |
. . . . . 6
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100 | ltsub1 7997 |
. . . . . 6
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101 | 63, 99, 39, 100 | mp3an 1274 |
. . . . 5
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102 | 97, 101 | mpbi 144 |
. . . 4
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103 | 20 | oveq2i 5677 |
. . . . 5
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104 | divnegap 8234 |
. . . . . . 7
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105 | 23, 2, 5, 104 | mp3an 1274 |
. . . . . 6
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106 | 8cn 8569 |
. . . . . . . . 9
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107 | 2, 106 | negsubdi2i 7829 |
. . . . . . . 8
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108 | 8p1e9 8617 |
. . . . . . . . . 10
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109 | 2, 106, 23, 108 | subaddrii 7832 |
. . . . . . . . 9
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110 | 109 | negeqi 7737 |
. . . . . . . 8
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111 | 107, 110 | eqtr3i 2111 |
. . . . . . 7
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112 | 111 | oveq1i 5676 |
. . . . . 6
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113 | divsubdirap 8236 |
. . . . . . 7
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114 | 106, 2, 9, 113 | mp3an 1274 |
. . . . . 6
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115 | 105, 112, 114 | 3eqtr2ri 2116 |
. . . . 5
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116 | 103, 115 | eqtr3i 2111 |
. . . 4
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117 | 102, 116 | breqtri 3874 |
. . 3
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118 | 71, 117 | eqbrtri 3870 |
. 2
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119 | 72, 118 | pm3.2i 267 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3960 ax-sep 3963 ax-nul 3971 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-iinf 4416 ax-cnex 7497 ax-resscn 7498 ax-1cn 7499 ax-1re 7500 ax-icn 7501 ax-addcl 7502 ax-addrcl 7503 ax-mulcl 7504 ax-mulrcl 7505 ax-addcom 7506 ax-mulcom 7507 ax-addass 7508 ax-mulass 7509 ax-distr 7510 ax-i2m1 7511 ax-0lt1 7512 ax-1rid 7513 ax-0id 7514 ax-rnegex 7515 ax-precex 7516 ax-cnre 7517 ax-pre-ltirr 7518 ax-pre-ltwlin 7519 ax-pre-lttrn 7520 ax-pre-apti 7521 ax-pre-ltadd 7522 ax-pre-mulgt0 7523 ax-pre-mulext 7524 ax-arch 7525 ax-caucvg 7526 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rmo 2368 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-csb 2935 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-nul 3288 df-if 3398 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-int 3695 df-iun 3738 df-disj 3829 df-br 3852 df-opab 3906 df-mpt 3907 df-tr 3943 df-id 4129 df-po 4132 df-iso 4133 df-iord 4202 df-on 4204 df-ilim 4205 df-suc 4207 df-iom 4419 df-xp 4458 df-rel 4459 df-cnv 4460 df-co 4461 df-dm 4462 df-rn 4463 df-res 4464 df-ima 4465 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fn 5031 df-f 5032 df-f1 5033 df-fo 5034 df-f1o 5035 df-fv 5036 df-isom 5037 df-riota 5622 df-ov 5669 df-oprab 5670 df-mpt2 5671 df-1st 5925 df-2nd 5926 df-recs 6084 df-irdg 6149 df-frec 6170 df-1o 6195 df-oadd 6199 df-er 6306 df-en 6512 df-dom 6513 df-fin 6514 df-sup 6733 df-pnf 7585 df-mnf 7586 df-xr 7587 df-ltxr 7588 df-le 7589 df-sub 7716 df-neg 7717 df-reap 8113 df-ap 8120 df-div 8201 df-inn 8484 df-2 8542 df-3 8543 df-4 8544 df-5 8545 df-6 8546 df-7 8547 df-8 8548 df-9 8549 df-n0 8735 df-z 8812 df-uz 9081 df-q 9166 df-rp 9196 df-ioc 9372 df-ico 9373 df-fz 9486 df-fzo 9615 df-iseq 9914 df-seq3 9915 df-exp 10016 df-fac 10195 df-bc 10217 df-ihash 10245 df-shft 10310 df-cj 10337 df-re 10338 df-im 10339 df-rsqrt 10492 df-abs 10493 df-clim 10728 df-isum 10804 df-ef 10999 df-sin 11001 df-cos 11002 |
This theorem is referenced by: sincos2sgn 11117 |
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