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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cos2bnd | Unicode version |
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) |
Ref | Expression |
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cos2bnd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 7cn 8979 |
. . . . . 6
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2 | 9cn 8983 |
. . . . . 6
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3 | 9re 8982 |
. . . . . . 7
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4 | 9pos 8999 |
. . . . . . 7
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5 | 3, 4 | gt0ap0ii 8562 |
. . . . . 6
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6 | divnegap 8639 |
. . . . . 6
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7 | 1, 2, 5, 6 | mp3an 1337 |
. . . . 5
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8 | 2cn 8966 |
. . . . . . 7
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9 | 2, 5 | pm3.2i 272 |
. . . . . . 7
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10 | divsubdirap 8641 |
. . . . . . 7
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11 | 8, 2, 9, 10 | mp3an 1337 |
. . . . . 6
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12 | 2, 8 | negsubdi2i 8220 |
. . . . . . . 8
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13 | 7p2e9 9046 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 2, 8, 1 | subadd2i 8222 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 13, 14 | mpbir 146 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | negeqi 8128 |
. . . . . . . 8
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17 | 12, 16 | eqtr3i 2200 |
. . . . . . 7
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18 | 17 | oveq1i 5878 |
. . . . . 6
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19 | 11, 18 | eqtr3i 2200 |
. . . . 5
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20 | 2, 5 | dividapi 8678 |
. . . . . 6
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21 | 20 | oveq2i 5879 |
. . . . 5
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22 | 7, 19, 21 | 3eqtr2ri 2205 |
. . . 4
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23 | ax-1cn 7882 |
. . . . . . . 8
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24 | 8, 23, 2, 5 | divassapi 8701 |
. . . . . . 7
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25 | 2t1e2 9048 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | oveq1i 5878 |
. . . . . . 7
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27 | 24, 26 | eqtr3i 2200 |
. . . . . 6
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28 | 3cn 8970 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 3ap0 8991 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 23, 28, 29 | sqdivapi 10576 |
. . . . . . . . 9
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31 | sq1 10586 |
. . . . . . . . . 10
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32 | sq3 10589 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 31, 32 | oveq12i 5880 |
. . . . . . . . 9
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34 | 30, 33 | eqtri 2198 |
. . . . . . . 8
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35 | cos1bnd 11738 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 35 | simpli 111 |
. . . . . . . . 9
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37 | 0le1 8415 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 3pos 8989 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 1re 7934 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 3re 8969 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 39, 40 | divge0i 8844 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 37, 38, 41 | mp2an 426 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 0re 7935 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | recoscl 11700 |
. . . . . . . . . . . 12
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45 | 39, 44 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
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46 | 40, 29 | rerecclapi 8710 |
. . . . . . . . . . . . 13
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47 | 43, 46, 45 | lelttri 8040 |
. . . . . . . . . . . 12
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48 | 42, 36, 47 | mp2an 426 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 43, 45, 48 | ltleii 8037 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 46, 45 | lt2sqi 10580 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 42, 49, 50 | mp2an 426 |
. . . . . . . . 9
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52 | 36, 51 | mpbi 145 |
. . . . . . . 8
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53 | 34, 52 | eqbrtrri 4023 |
. . . . . . 7
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54 | 2pos 8986 |
. . . . . . . 8
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55 | 3, 5 | rerecclapi 8710 |
. . . . . . . . 9
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56 | 45 | resqcli 10577 |
. . . . . . . . 9
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57 | 2re 8965 |
. . . . . . . . 9
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58 | 55, 56, 57 | ltmul2i 8856 |
. . . . . . . 8
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59 | 54, 58 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
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60 | 53, 59 | mpbi 145 |
. . . . . 6
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61 | 27, 60 | eqbrtrri 4023 |
. . . . 5
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62 | 57, 3, 5 | redivclapi 8712 |
. . . . . 6
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63 | 57, 56 | remulcli 7949 |
. . . . . 6
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64 | ltsub1 8392 |
. . . . . 6
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65 | 62, 63, 39, 64 | mp3an 1337 |
. . . . 5
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66 | 61, 65 | mpbi 145 |
. . . 4
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67 | 22, 66 | eqbrtrri 4023 |
. . 3
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68 | 25 | fveq2i 5513 |
. . . 4
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69 | cos2t 11729 |
. . . . 5
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70 | 23, 69 | ax-mp 5 |
. . . 4
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71 | 68, 70 | eqtr3i 2200 |
. . 3
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72 | 67, 71 | breqtrri 4027 |
. 2
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73 | 35 | simpri 113 |
. . . . . . . . 9
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74 | 0le2 8985 |
. . . . . . . . . . 11
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75 | 57, 40 | divge0i 8844 |
. . . . . . . . . . 11
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76 | 74, 38, 75 | mp2an 426 |
. . . . . . . . . 10
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77 | 57, 40, 29 | redivclapi 8712 |
. . . . . . . . . . 11
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78 | 45, 77 | lt2sqi 10580 |
. . . . . . . . . 10
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79 | 49, 76, 78 | mp2an 426 |
. . . . . . . . 9
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80 | 73, 79 | mpbi 145 |
. . . . . . . 8
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81 | 8, 28, 29 | sqdivapi 10576 |
. . . . . . . . 9
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82 | sq2 10588 |
. . . . . . . . . 10
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83 | 82, 32 | oveq12i 5880 |
. . . . . . . . 9
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84 | 81, 83 | eqtri 2198 |
. . . . . . . 8
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85 | 80, 84 | breqtri 4025 |
. . . . . . 7
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86 | 4re 8972 |
. . . . . . . . . 10
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87 | 86, 3, 5 | redivclapi 8712 |
. . . . . . . . 9
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88 | 56, 87, 57 | ltmul2i 8856 |
. . . . . . . 8
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89 | 54, 88 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
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90 | 85, 89 | mpbi 145 |
. . . . . 6
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91 | 4cn 8973 |
. . . . . . . 8
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92 | 8, 91, 2, 5 | divassapi 8701 |
. . . . . . 7
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93 | 4t2e8 9053 |
. . . . . . . . 9
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94 | 91, 8, 93 | mulcomli 7942 |
. . . . . . . 8
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95 | 94 | oveq1i 5878 |
. . . . . . 7
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96 | 92, 95 | eqtr3i 2200 |
. . . . . 6
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97 | 90, 96 | breqtri 4025 |
. . . . 5
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98 | 8re 8980 |
. . . . . . 7
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99 | 98, 3, 5 | redivclapi 8712 |
. . . . . 6
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100 | ltsub1 8392 |
. . . . . 6
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101 | 63, 99, 39, 100 | mp3an 1337 |
. . . . 5
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102 | 97, 101 | mpbi 145 |
. . . 4
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103 | 20 | oveq2i 5879 |
. . . . 5
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104 | divnegap 8639 |
. . . . . . 7
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105 | 23, 2, 5, 104 | mp3an 1337 |
. . . . . 6
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106 | 8cn 8981 |
. . . . . . . . 9
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107 | 2, 106 | negsubdi2i 8220 |
. . . . . . . 8
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108 | 8p1e9 9035 |
. . . . . . . . . 10
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109 | 2, 106, 23, 108 | subaddrii 8223 |
. . . . . . . . 9
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110 | 109 | negeqi 8128 |
. . . . . . . 8
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111 | 107, 110 | eqtr3i 2200 |
. . . . . . 7
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112 | 111 | oveq1i 5878 |
. . . . . 6
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113 | divsubdirap 8641 |
. . . . . . 7
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114 | 106, 2, 9, 113 | mp3an 1337 |
. . . . . 6
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115 | 105, 112, 114 | 3eqtr2ri 2205 |
. . . . 5
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116 | 103, 115 | eqtr3i 2200 |
. . . 4
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117 | 102, 116 | breqtri 4025 |
. . 3
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118 | 71, 117 | eqbrtri 4021 |
. 2
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119 | 72, 118 | pm3.2i 272 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4205 ax-un 4429 ax-setind 4532 ax-iinf 4583 ax-cnex 7880 ax-resscn 7881 ax-1cn 7882 ax-1re 7883 ax-icn 7884 ax-addcl 7885 ax-addrcl 7886 ax-mulcl 7887 ax-mulrcl 7888 ax-addcom 7889 ax-mulcom 7890 ax-addass 7891 ax-mulass 7892 ax-distr 7893 ax-i2m1 7894 ax-0lt1 7895 ax-1rid 7896 ax-0id 7897 ax-rnegex 7898 ax-precex 7899 ax-cnre 7900 ax-pre-ltirr 7901 ax-pre-ltwlin 7902 ax-pre-lttrn 7903 ax-pre-apti 7904 ax-pre-ltadd 7905 ax-pre-mulgt0 7906 ax-pre-mulext 7907 ax-arch 7908 ax-caucvg 7909 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-disj 3978 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4289 df-po 4292 df-iso 4293 df-iord 4362 df-on 4364 df-ilim 4365 df-suc 4367 df-iom 4586 df-xp 4628 df-rel 4629 df-cnv 4630 df-co 4631 df-dm 4632 df-rn 4633 df-res 4634 df-ima 4635 df-iota 5173 df-fun 5213 df-fn 5214 df-f 5215 df-f1 5216 df-fo 5217 df-f1o 5218 df-fv 5219 df-isom 5220 df-riota 5824 df-ov 5871 df-oprab 5872 df-mpo 5873 df-1st 6134 df-2nd 6135 df-recs 6299 df-irdg 6364 df-frec 6385 df-1o 6410 df-oadd 6414 df-er 6528 df-en 6734 df-dom 6735 df-fin 6736 df-sup 6976 df-pnf 7971 df-mnf 7972 df-xr 7973 df-ltxr 7974 df-le 7975 df-sub 8107 df-neg 8108 df-reap 8509 df-ap 8516 df-div 8606 df-inn 8896 df-2 8954 df-3 8955 df-4 8956 df-5 8957 df-6 8958 df-7 8959 df-8 8960 df-9 8961 df-n0 9153 df-z 9230 df-uz 9505 df-q 9596 df-rp 9628 df-ioc 9867 df-ico 9868 df-fz 9983 df-fzo 10116 df-seqfrec 10419 df-exp 10493 df-fac 10677 df-bc 10699 df-ihash 10727 df-shft 10795 df-cj 10822 df-re 10823 df-im 10824 df-rsqrt 10978 df-abs 10979 df-clim 11258 df-sumdc 11333 df-ef 11627 df-sin 11629 df-cos 11630 |
This theorem is referenced by: sincos2sgn 11744 |
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