Theorem sincos2sgn 12329

Description: The signs of the sine and cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos2sgn	|- ( 0 < ( sin ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < 0 )

Proof of Theorem sincos2sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9213	. . . 4 |- 2 e. RR
2		2pos 9234	. . . 4 |- 0 < 2
3	1	leidi 8665	. . . 4 |- 2 <_ 2
4		0xr 8226	. . . . 5 |- 0 e. RR*
5		elioc2 10171	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( 2 e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 /\ 2 <_ 2 ) ) )
6	4, 1, 5	mp2an 426	. . . 4 |- ( 2 e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 /\ 2 <_ 2 ) )
7	1, 2, 3, 6	mpbir3an 1205	. . 3 |- 2 e. ( 0 (,] 2 )
8		sin02gt0 12327	. . 3 |- ( 2 e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` 2 ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- 0 < ( sin ` 2 )
10		cos2bnd 12323	. . . 4 |- ( -u ( 7 / 9 ) < ( cos ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < -u ( 1 / 9 ) )
11	10	simpri 113	. . 3 |- ( cos ` 2 ) < -u ( 1 / 9 )
12		9re 9230	. . . . 5 |- 9 e. RR
13		9pos 9247	. . . . 5 |- 0 < 9
14	12, 13	recgt0ii 9087	. . . 4 |- 0 < ( 1 / 9 )
15	12, 13	gt0ap0ii 8808	. . . . . 6 |- 9 # 0
16	12, 15	rerecclapi 8957	. . . . 5 |- ( 1 / 9 ) e. RR
17		lt0neg2 8649	. . . . 5 |- ( ( 1 / 9 ) e. RR -> ( 0 < ( 1 / 9 ) <-> -u ( 1 / 9 ) < 0 ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0 < ( 1 / 9 ) <-> -u ( 1 / 9 ) < 0 )
19	14, 18	mpbi 145	. . 3 |- -u ( 1 / 9 ) < 0
20		recoscl 12284	. . . . 5 |- ( 2 e. RR -> ( cos ` 2 ) e. RR )
21	1, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- ( cos ` 2 ) e. RR
22	16	renegcli 8441	. . . 4 |- -u ( 1 / 9 ) e. RR
23		0re 8179	. . . 4 |- 0 e. RR
24	21, 22, 23	lttri 8284	. . 3 |- ( ( ( cos ` 2 ) < -u ( 1 / 9 ) /\ -u ( 1 / 9 ) < 0 ) -> ( cos ` 2 ) < 0 )
25	11, 19, 24	mp2an 426	. 2 |- ( cos ` 2 ) < 0
26	9, 25	pm3.2i 272	1 |- ( 0 < ( sin ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < 0 )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   RRcr 8031   0cc0 8032   1c1 8033   RR*cxr 8213   < clt 8214   <_ cle 8215   -ucneg 8351   / cdiv 8852   2c2 9194   7c7 9199   9c9 9201   (,]cioc 10124   sincsin 12207   cosccos 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-ioc 10128  df-ico 10129  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11377  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-sumdc 11916  df-ef 12211  df-sin 12213  df-cos 12214

This theorem is referenced by:  sin4lt0  12330  cosz12  15507