ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincos2sgn Unicode version

Theorem sincos2sgn 11119
Description: The signs of the sine and cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos2sgn  |-  ( 0  <  ( sin `  2
)  /\  ( cos `  2 )  <  0
)

Proof of Theorem sincos2sgn
StepHypRef Expression
1 2re 8555 . . . 4  |-  2  e.  RR
2 2pos 8576 . . . 4  |-  0  <  2
31leidi 8026 . . . 4  |-  2  <_  2
4 0xr 7597 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
5 elioc2 9417 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  2  e.  RR )  ->  (
2  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2  /\  2  <_ 
2 ) ) )
64, 1, 5mp2an 418 . . . 4  |-  ( 2  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2  /\  2  <_ 
2 ) )
71, 2, 3, 6mpbir3an 1126 . . 3  |-  2  e.  ( 0 (,] 2
)
8 sin02gt0 11117 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 (,] 2 )  ->  0  <  ( sin `  2
) )
97, 8ax-mp 7 . 2  |-  0  <  ( sin `  2
)
10 cos2bnd 11114 . . . 4  |-  ( -u ( 7  /  9
)  <  ( cos `  2 )  /\  ( cos `  2 )  <  -u ( 1  /  9
) )
1110simpri 112 . . 3  |-  ( cos `  2 )  <  -u ( 1  /  9
)
12 9re 8572 . . . . 5  |-  9  e.  RR
13 9pos 8589 . . . . 5  |-  0  <  9
1412, 13recgt0ii 8431 . . . 4  |-  0  <  ( 1  /  9
)
1512, 13gt0ap0ii 8167 . . . . . 6  |-  9 #  0
1612, 15rerecclapi 8307 . . . . 5  |-  ( 1  /  9 )  e.  RR
17 lt0neg2 8010 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  9 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( 1  /  9 )  <->  -u ( 1  /  9 )  <  0 ) )
1816, 17ax-mp 7 . . . 4  |-  ( 0  <  ( 1  / 
9 )  <->  -u ( 1  /  9 )  <  0 )
1914, 18mpbi 144 . . 3  |-  -u (
1  /  9 )  <  0
20 recoscl 11075 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR  ->  ( cos `  2 )  e.  RR )
211, 20ax-mp 7 . . . 4  |-  ( cos `  2 )  e.  RR
2216renegcli 7807 . . . 4  |-  -u (
1  /  9 )  e.  RR
23 0re 7551 . . . 4  |-  0  e.  RR
2421, 22, 23lttri 7652 . . 3  |-  ( ( ( cos `  2
)  <  -u ( 1  /  9 )  /\  -u ( 1  /  9
)  <  0 )  ->  ( cos `  2
)  <  0 )
2511, 19, 24mp2an 418 . 2  |-  ( cos `  2 )  <  0
269, 25pm3.2i 267 1  |-  ( 0  <  ( sin `  2
)  /\  ( cos `  2 )  <  0
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 925    e. wcel 1439   class class class wbr 3853   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   RRcr 7412   0cc0 7413   1c1 7414   RR*cxr 7584    < clt 7585    <_ cle 7586   -ucneg 7717    / cdiv 8202   2c2 8536   7c7 8541   9c9 8543   (,]cioc 9370   sincsin 10997   cosccos 10998
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-disj 3831  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-sup 6735  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-5 8547  df-6 8548  df-7 8549  df-8 8550  df-9 8551  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ioc 9374  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-fac 10197  df-bc 10219  df-ihash 10247  df-shft 10312  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806  df-ef 11001  df-sin 11003  df-cos 11004
This theorem is referenced by:  sin4lt0  11120
  Copyright terms: Public domain W3C validator