Theorem sincos2sgn 11776

Description: The signs of the sine and cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos2sgn	|- ( 0 < ( sin ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < 0 )

Proof of Theorem sincos2sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8992	. . . 4 |- 2 e. RR
2		2pos 9013	. . . 4 |- 0 < 2
3	1	leidi 8445	. . . 4 |- 2 <_ 2
4		0xr 8007	. . . . 5 |- 0 e. RR*
5		elioc2 9939	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( 2 e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 /\ 2 <_ 2 ) ) )
6	4, 1, 5	mp2an 426	. . . 4 |- ( 2 e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 /\ 2 <_ 2 ) )
7	1, 2, 3, 6	mpbir3an 1179	. . 3 |- 2 e. ( 0 (,] 2 )
8		sin02gt0 11774	. . 3 |- ( 2 e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` 2 ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- 0 < ( sin ` 2 )
10		cos2bnd 11771	. . . 4 |- ( -u ( 7 / 9 ) < ( cos ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < -u ( 1 / 9 ) )
11	10	simpri 113	. . 3 |- ( cos ` 2 ) < -u ( 1 / 9 )
12		9re 9009	. . . . 5 |- 9 e. RR
13		9pos 9026	. . . . 5 |- 0 < 9
14	12, 13	recgt0ii 8867	. . . 4 |- 0 < ( 1 / 9 )
15	12, 13	gt0ap0ii 8588	. . . . . 6 |- 9 # 0
16	12, 15	rerecclapi 8737	. . . . 5 |- ( 1 / 9 ) e. RR
17		lt0neg2 8429	. . . . 5 |- ( ( 1 / 9 ) e. RR -> ( 0 < ( 1 / 9 ) <-> -u ( 1 / 9 ) < 0 ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0 < ( 1 / 9 ) <-> -u ( 1 / 9 ) < 0 )
19	14, 18	mpbi 145	. . 3 |- -u ( 1 / 9 ) < 0
20		recoscl 11732	. . . . 5 |- ( 2 e. RR -> ( cos ` 2 ) e. RR )
21	1, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- ( cos ` 2 ) e. RR
22	16	renegcli 8222	. . . 4 |- -u ( 1 / 9 ) e. RR
23		0re 7960	. . . 4 |- 0 e. RR
24	21, 22, 23	lttri 8065	. . 3 |- ( ( ( cos ` 2 ) < -u ( 1 / 9 ) /\ -u ( 1 / 9 ) < 0 ) -> ( cos ` 2 ) < 0 )
25	11, 19, 24	mp2an 426	. 2 |- ( cos ` 2 ) < 0
26	9, 25	pm3.2i 272	1 |- ( 0 < ( sin ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < 0 )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   RRcr 7813   0cc0 7814   1c1 7815   RR*cxr 7994   < clt 7995   <_ cle 7996   -ucneg 8132   / cdiv 8632   2c2 8973   7c7 8978   9c9 8980   (,]cioc 9892   sincsin 11655   cosccos 11656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-sup 6986  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-9 8988  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-ioc 9896  df-ico 9897  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-bc 10731  df-ihash 10759  df-shft 10827  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-sin 11661  df-cos 11662

This theorem is referenced by:  sin4lt0  11777  cosz12  14362