Theorem sincos2sgn 11119

Description: The signs of the sine and cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos2sgn	|- ( 0 < ( sin ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < 0 )

Proof of Theorem sincos2sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8555	. . . 4 |- 2 e. RR
2		2pos 8576	. . . 4 |- 0 < 2
3	1	leidi 8026	. . . 4 |- 2 <_ 2
4		0xr 7597	. . . . 5 |- 0 e. RR*
5		elioc2 9417	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( 2 e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 /\ 2 <_ 2 ) ) )
6	4, 1, 5	mp2an 418	. . . 4 |- ( 2 e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 /\ 2 <_ 2 ) )
7	1, 2, 3, 6	mpbir3an 1126	. . 3 |- 2 e. ( 0 (,] 2 )
8		sin02gt0 11117	. . 3 |- ( 2 e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` 2 ) )
9	7, 8	ax-mp 7	. 2 |- 0 < ( sin ` 2 )
10		cos2bnd 11114	. . . 4 |- ( -u ( 7 / 9 ) < ( cos ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < -u ( 1 / 9 ) )
11	10	simpri 112	. . 3 |- ( cos ` 2 ) < -u ( 1 / 9 )
12		9re 8572	. . . . 5 |- 9 e. RR
13		9pos 8589	. . . . 5 |- 0 < 9
14	12, 13	recgt0ii 8431	. . . 4 |- 0 < ( 1 / 9 )
15	12, 13	gt0ap0ii 8167	. . . . . 6 |- 9 # 0
16	12, 15	rerecclapi 8307	. . . . 5 |- ( 1 / 9 ) e. RR
17		lt0neg2 8010	. . . . 5 |- ( ( 1 / 9 ) e. RR -> ( 0 < ( 1 / 9 ) <-> -u ( 1 / 9 ) < 0 ) )
18	16, 17	ax-mp 7	. . . 4 |- ( 0 < ( 1 / 9 ) <-> -u ( 1 / 9 ) < 0 )
19	14, 18	mpbi 144	. . 3 |- -u ( 1 / 9 ) < 0
20		recoscl 11075	. . . . 5 |- ( 2 e. RR -> ( cos ` 2 ) e. RR )
21	1, 20	ax-mp 7	. . . 4 |- ( cos ` 2 ) e. RR
22	16	renegcli 7807	. . . 4 |- -u ( 1 / 9 ) e. RR
23		0re 7551	. . . 4 |- 0 e. RR
24	21, 22, 23	lttri 7652	. . 3 |- ( ( ( cos ` 2 ) < -u ( 1 / 9 ) /\ -u ( 1 / 9 ) < 0 ) -> ( cos ` 2 ) < 0 )
25	11, 19, 24	mp2an 418	. 2 |- ( cos ` 2 ) < 0
26	9, 25	pm3.2i 267	1 |- ( 0 < ( sin ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < 0 )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 925   e. wcel 1439   class class class wbr 3853   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   RRcr 7412   0cc0 7413   1c1 7414   RR*cxr 7584   < clt 7585   <_ cle 7586   -ucneg 7717   / cdiv 8202   2c2 8536   7c7 8541   9c9 8543   (,]cioc 9370   sincsin 10997   cosccos 10998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-disj 3831  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-sup 6735  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-5 8547  df-6 8548  df-7 8549  df-8 8550  df-9 8551  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ioc 9374  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-fac 10197  df-bc 10219  df-ihash 10247  df-shft 10312  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806  df-ef 11001  df-sin 11003  df-cos 11004

This theorem is referenced by:  sin4lt0  11120