Theorem 0lt1 8148

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 7980	. 2 |- 0 <RR 1
2		0re 8021	. . 3 |- 0 e. RR
3		1re 8020	. . 3 |- 1 e. RR
4		ltxrlt 8087	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 |- ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   <RR cltrr 7878   < clt 8056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971  ax-0lt1 7980  ax-rnegex 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061

This theorem is referenced by:  ine0  8415  0le1  8502  inelr  8605  1ap0  8611  eqneg  8753  ltp1  8865  ltm1  8867  recgt0  8871  mulgt1  8884  reclt1  8917  recgt1  8918  recgt1i  8919  recp1lt1  8920  recreclt  8921  sup3exmid  8978  nnge1  9007  nngt0  9009  0nnn  9011  nnrecgt0  9022  0ne1  9051  2pos  9075  3pos  9078  4pos  9081  5pos  9084  6pos  9085  7pos  9086  8pos  9087  9pos  9088  neg1lt0  9092  halflt1  9202  nn0p1gt0  9272  elnnnn0c  9288  elnnz1  9343  recnz  9413  1rp  9726  divlt1lt  9793  divle1le  9794  ledivge1le  9795  nnledivrp  9835  fz10  10115  fzpreddisj  10140  elfz1b  10159  modqfrac  10411  expgt1  10651  ltexp2a  10665  leexp2a  10666  expnbnd  10737  expnlbnd  10738  expnlbnd2  10739  nn0ltexp2  10783  expcanlem  10789  expcan  10790  bcn1  10832  resqrexlem1arp  11152  mulcn2  11458  reccn2ap  11459  georeclim  11659  geoisumr  11664  cos1bnd  11905  sin01gt0  11908  sincos1sgn  11911  p1modz1  11940  nnoddm1d2  12054  dvdsnprmd  12266  divdenle  12338  znidomb  14157  mopnex  14684  ivthdichlem  14830  reeff1olem  14947  cos02pilt1  15027  rplogcl  15055  cxplt  15091  cxple  15092  ltexp2  15115  apdiff  15608