Theorem 0lt1 8455

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8286	. 2 |- 0 <RR 1
2		0re 8327	. . 3 |- 0 e. RR
3		1re 8326	. . 3 |- 1 e. RR
4		ltxrlt 8392	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 430	. 2 |- ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- 0 < 1

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8179   0cc0 8180   1c1 8181   <RR cltrr 8184   < clt 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277  ax-0lt1 8286  ax-rnegex 8289

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366

This theorem is used by:  ine0  8723  0le1  8811  inelr  8915  1ap0  8921  eqneg  9065  ltp1  9177  ltm1  9179  recgt0  9183  mulgt1  9196  reclt1  9229  recgt1  9230  recgt1i  9231  recp1lt1  9232  recreclt  9233  sup3exmid  9290  nnge1  9330  nngt0  9332  0nnn  9334  nnrecgt0  9345  0ne1  9374  2pos  9398  3pos  9401  4pos  9404  5pos  9407  6pos  9408  7pos  9409  8pos  9410  9pos  9411  neg1lt0  9415  halflt1  9527  nn0p1gt0  9597  elnnnn0c  9613  elnnz1  9672  recnz  9744  1rp  10069  divlt1lt  10136  divle1le  10137  ledivge1le  10138  nnledivrp  10178  fz10  10461  fzpreddisj  10489  elfz1b  10508  modqfrac  10789  expgt1  11029  ltexp2a  11043  leexp2a  11044  resq01  11110  expnbnd  11116  expnlbnd  11117  expnlbnd2  11118  nn0ltexp2  11163  expcanlem  11169  expcan  11170  bcn1  11212  ssenneg  11296  s2fv0g  11575  resqrexlem1arp  11787  mulcn2  12097  reccn2ap  12098  georeclim  12299  geoisumr  12304  cos1bnd  12545  sin01gt0  12548  sincos1sgn  12551  p1modz1  12580  nnoddm1d2  12696  dvdsnprmd  12922  divdenle  12996  43prm  13259  ballotfilemi1  13297  ballotfilemic  13302  plendxnocndx  13621  znidomb  15077  mopnex  15697  ivthdichlem  15843  reeff1olem  15963  cos02pilt1  16044  rplogcl  16073  cxplt  16113  cxple  16114  ltexp2  16138  pellexlem2  16191  ppiqltx  16242  mersenne  16258  perfectlem2  16261  apdiff  17264