Theorem 0lt1 8199

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8031	. 2 |- 0 <RR 1
2		0re 8072	. . 3 |- 0 e. RR
3		1re 8071	. . 3 |- 1 e. RR
4		ltxrlt 8138	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 |- ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   <RR cltrr 7929   < clt 8107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022  ax-0lt1 8031  ax-rnegex 8034

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112

This theorem is referenced by:  ine0  8466  0le1  8554  inelr  8657  1ap0  8663  eqneg  8805  ltp1  8917  ltm1  8919  recgt0  8923  mulgt1  8936  reclt1  8969  recgt1  8970  recgt1i  8971  recp1lt1  8972  recreclt  8973  sup3exmid  9030  nnge1  9059  nngt0  9061  0nnn  9063  nnrecgt0  9074  0ne1  9103  2pos  9127  3pos  9130  4pos  9133  5pos  9136  6pos  9137  7pos  9138  8pos  9139  9pos  9140  neg1lt0  9144  halflt1  9254  nn0p1gt0  9324  elnnnn0c  9340  elnnz1  9395  recnz  9466  1rp  9779  divlt1lt  9846  divle1le  9847  ledivge1le  9848  nnledivrp  9888  fz10  10168  fzpreddisj  10193  elfz1b  10212  modqfrac  10482  expgt1  10722  ltexp2a  10736  leexp2a  10737  expnbnd  10808  expnlbnd  10809  expnlbnd2  10810  nn0ltexp2  10854  expcanlem  10860  expcan  10861  bcn1  10903  resqrexlem1arp  11316  mulcn2  11623  reccn2ap  11624  georeclim  11824  geoisumr  11829  cos1bnd  12070  sin01gt0  12073  sincos1sgn  12076  p1modz1  12105  nnoddm1d2  12221  dvdsnprmd  12447  divdenle  12519  plendxnocndx  13046  znidomb  14420  mopnex  14977  ivthdichlem  15123  reeff1olem  15243  cos02pilt1  15323  rplogcl  15351  cxplt  15388  cxple  15389  ltexp2  15413  mersenne  15469  perfectlem2  15472  apdiff  15987