Theorem 0lt1 8273

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8105	. 2 |- 0 <RR 1
2		0re 8146	. . 3 |- 0 e. RR
3		1re 8145	. . 3 |- 1 e. RR
4		ltxrlt 8212	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 |- ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   <RR cltrr 8003   < clt 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096  ax-0lt1 8105  ax-rnegex 8108

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186

This theorem is referenced by:  ine0  8540  0le1  8628  inelr  8731  1ap0  8737  eqneg  8879  ltp1  8991  ltm1  8993  recgt0  8997  mulgt1  9010  reclt1  9043  recgt1  9044  recgt1i  9045  recp1lt1  9046  recreclt  9047  sup3exmid  9104  nnge1  9133  nngt0  9135  0nnn  9137  nnrecgt0  9148  0ne1  9177  2pos  9201  3pos  9204  4pos  9207  5pos  9210  6pos  9211  7pos  9212  8pos  9213  9pos  9214  neg1lt0  9218  halflt1  9328  nn0p1gt0  9398  elnnnn0c  9414  elnnz1  9469  recnz  9540  1rp  9853  divlt1lt  9920  divle1le  9921  ledivge1le  9922  nnledivrp  9962  fz10  10242  fzpreddisj  10267  elfz1b  10286  modqfrac  10559  expgt1  10799  ltexp2a  10813  leexp2a  10814  expnbnd  10885  expnlbnd  10886  expnlbnd2  10887  nn0ltexp2  10931  expcanlem  10937  expcan  10938  bcn1  10980  s2fv0g  11319  resqrexlem1arp  11516  mulcn2  11823  reccn2ap  11824  georeclim  12024  geoisumr  12029  cos1bnd  12270  sin01gt0  12273  sincos1sgn  12276  p1modz1  12305  nnoddm1d2  12421  dvdsnprmd  12647  divdenle  12719  plendxnocndx  13247  znidomb  14622  mopnex  15179  ivthdichlem  15325  reeff1olem  15445  cos02pilt1  15525  rplogcl  15553  cxplt  15590  cxple  15591  ltexp2  15615  mersenne  15671  perfectlem2  15674  apdiff  16416