Theorem 0lt1 8201

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8033	. 2 |- 0 <RR 1
2		0re 8074	. . 3 |- 0 e. RR
3		1re 8073	. . 3 |- 1 e. RR
4		ltxrlt 8140	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 |- ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   0cc0 7927   1c1 7928   <RR cltrr 7931   < clt 8109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024  ax-0lt1 8033  ax-rnegex 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114

This theorem is referenced by:  ine0  8468  0le1  8556  inelr  8659  1ap0  8665  eqneg  8807  ltp1  8919  ltm1  8921  recgt0  8925  mulgt1  8938  reclt1  8971  recgt1  8972  recgt1i  8973  recp1lt1  8974  recreclt  8975  sup3exmid  9032  nnge1  9061  nngt0  9063  0nnn  9065  nnrecgt0  9076  0ne1  9105  2pos  9129  3pos  9132  4pos  9135  5pos  9138  6pos  9139  7pos  9140  8pos  9141  9pos  9142  neg1lt0  9146  halflt1  9256  nn0p1gt0  9326  elnnnn0c  9342  elnnz1  9397  recnz  9468  1rp  9781  divlt1lt  9848  divle1le  9849  ledivge1le  9850  nnledivrp  9890  fz10  10170  fzpreddisj  10195  elfz1b  10214  modqfrac  10484  expgt1  10724  ltexp2a  10738  leexp2a  10739  expnbnd  10810  expnlbnd  10811  expnlbnd2  10812  nn0ltexp2  10856  expcanlem  10862  expcan  10863  bcn1  10905  resqrexlem1arp  11349  mulcn2  11656  reccn2ap  11657  georeclim  11857  geoisumr  11862  cos1bnd  12103  sin01gt0  12106  sincos1sgn  12109  p1modz1  12138  nnoddm1d2  12254  dvdsnprmd  12480  divdenle  12552  plendxnocndx  13079  znidomb  14453  mopnex  15010  ivthdichlem  15156  reeff1olem  15276  cos02pilt1  15356  rplogcl  15384  cxplt  15421  cxple  15422  ltexp2  15446  mersenne  15502  perfectlem2  15505  apdiff  16024