Theorem 0lt1 8234

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8066	. 2 |- 0 <RR 1
2		0re 8107	. . 3 |- 0 e. RR
3		1re 8106	. . 3 |- 1 e. RR
4		ltxrlt 8173	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 |- ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   <RR cltrr 7964   < clt 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057  ax-0lt1 8066  ax-rnegex 8069

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147

This theorem is referenced by:  ine0  8501  0le1  8589  inelr  8692  1ap0  8698  eqneg  8840  ltp1  8952  ltm1  8954  recgt0  8958  mulgt1  8971  reclt1  9004  recgt1  9005  recgt1i  9006  recp1lt1  9007  recreclt  9008  sup3exmid  9065  nnge1  9094  nngt0  9096  0nnn  9098  nnrecgt0  9109  0ne1  9138  2pos  9162  3pos  9165  4pos  9168  5pos  9171  6pos  9172  7pos  9173  8pos  9174  9pos  9175  neg1lt0  9179  halflt1  9289  nn0p1gt0  9359  elnnnn0c  9375  elnnz1  9430  recnz  9501  1rp  9814  divlt1lt  9881  divle1le  9882  ledivge1le  9883  nnledivrp  9923  fz10  10203  fzpreddisj  10228  elfz1b  10247  modqfrac  10519  expgt1  10759  ltexp2a  10773  leexp2a  10774  expnbnd  10845  expnlbnd  10846  expnlbnd2  10847  nn0ltexp2  10891  expcanlem  10897  expcan  10898  bcn1  10940  resqrexlem1arp  11431  mulcn2  11738  reccn2ap  11739  georeclim  11939  geoisumr  11944  cos1bnd  12185  sin01gt0  12188  sincos1sgn  12191  p1modz1  12220  nnoddm1d2  12336  dvdsnprmd  12562  divdenle  12634  plendxnocndx  13161  znidomb  14535  mopnex  15092  ivthdichlem  15238  reeff1olem  15358  cos02pilt1  15438  rplogcl  15466  cxplt  15503  cxple  15504  ltexp2  15528  mersenne  15584  perfectlem2  15587  apdiff  16189