ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0lt1 Unicode version

Theorem 0lt1 7557
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1  |-  0  <  1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 ax-0lt1 7398 . 2  |-  0  <RR  1
2 0re 7435 . . 3  |-  0  e.  RR
3 1re 7434 . . 3  |-  1  e.  RR
4 ltxrlt 7499 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <  1  <->  0 
<RR  1 ) )
52, 3, 4mp2an 417 . 2  |-  ( 0  <  1  <->  0  <RR  1 )
61, 5mpbir 144 1  |-  0  <  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 103    e. wcel 1436   class class class wbr 3822   RRcr 7296   0cc0 7297   1c1 7298    <RR cltrr 7301    < clt 7469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1re 7386  ax-addrcl 7389  ax-0lt1 7398  ax-rnegex 7401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-xp 4419  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-ltxr 7474
This theorem is referenced by:  ine0  7819  0le1  7906  inelr  8005  1ap0  8011  eqneg  8141  ltp1  8243  ltm1  8245  recgt0  8249  mulgt1  8262  reclt1  8295  recgt1  8296  recgt1i  8297  recp1lt1  8298  recreclt  8299  nnge1  8383  nngt0  8385  0nnn  8387  nnrecgt0  8397  0ne1  8427  2pos  8451  3pos  8454  4pos  8457  5pos  8460  6pos  8461  7pos  8462  8pos  8463  9pos  8464  neg1lt0  8468  halflt1  8569  nn0p1gt0  8638  elnnnn0c  8654  elnnz1  8709  recnz  8775  1rp  9073  divlt1lt  9136  divle1le  9137  ledivge1le  9138  nnledivrp  9172  fz10  9395  fzpreddisj  9418  elfz1b  9437  modqfrac  9675  expgt1  9895  ltexp2a  9909  leexp2a  9910  expnbnd  9977  expnlbnd  9978  expnlbnd2  9979  expcanlem  10024  expcan  10025  bcn1  10066  resqrexlem1arp  10337  mulcn2  10598  nnoddm1d2  10816  dvdsnprmd  11013  divdenle  11081
  Copyright terms: Public domain W3C validator