Theorem 0lt1 8454

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8285	. 2 |- 0 <RR 1
2		0re 8326	. . 3 |- 0 e. RR
3		1re 8325	. . 3 |- 1 e. RR
4		ltxrlt 8391	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 430	. 2 |- ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- 0 < 1

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   <RR cltrr 8183   < clt 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-0lt1 8285  ax-rnegex 8288

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365

This theorem is used by:  ine0  8722  0le1  8810  inelr  8914  1ap0  8920  eqneg  9064  ltp1  9176  ltm1  9178  recgt0  9182  mulgt1  9195  reclt1  9228  recgt1  9229  recgt1i  9230  recp1lt1  9231  recreclt  9232  sup3exmid  9289  nnge1  9329  nngt0  9331  0nnn  9333  nnrecgt0  9344  0ne1  9373  2pos  9397  3pos  9400  4pos  9403  5pos  9406  6pos  9407  7pos  9408  8pos  9409  9pos  9410  neg1lt0  9414  halflt1  9526  nn0p1gt0  9596  elnnnn0c  9612  elnnz1  9671  recnz  9743  1rp  10068  divlt1lt  10135  divle1le  10136  ledivge1le  10137  nnledivrp  10177  fz10  10460  fzpreddisj  10488  elfz1b  10507  modqfrac  10787  expgt1  11027  ltexp2a  11041  leexp2a  11042  resq01  11108  expnbnd  11114  expnlbnd  11115  expnlbnd2  11116  nn0ltexp2  11161  expcanlem  11167  expcan  11168  bcn1  11210  ssenneg  11294  s2fv0g  11573  resqrexlem1arp  11785  mulcn2  12094  reccn2ap  12095  georeclim  12296  geoisumr  12301  cos1bnd  12542  sin01gt0  12545  sincos1sgn  12548  p1modz1  12577  nnoddm1d2  12693  dvdsnprmd  12919  divdenle  12993  43prm  13256  ballotfilemi1  13294  ballotfilemic  13299  plendxnocndx  13617  znidomb  15042  mopnex  15655  ivthdichlem  15801  reeff1olem  15921  cos02pilt1  16002  rplogcl  16031  cxplt  16071  cxple  16072  ltexp2  16096  pellexlem2  16149  ppiqltx  16183  mersenne  16195  perfectlem2  16198  apdiff  17195