Theorem 0lt1 8443

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8275	. 2 |- 0 <RR 1
2		0re 8316	. . 3 |- 0 e. RR
3		1re 8315	. . 3 |- 1 e. RR
4		ltxrlt 8381	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 430	. 2 |- ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   <RR cltrr 8173   < clt 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-0lt1 8275  ax-rnegex 8278

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355

This theorem is referenced by:  ine0  8711  0le1  8799  inelr  8902  1ap0  8908  eqneg  9052  ltp1  9164  ltm1  9166  recgt0  9170  mulgt1  9183  reclt1  9216  recgt1  9217  recgt1i  9218  recp1lt1  9219  recreclt  9220  sup3exmid  9277  nnge1  9306  nngt0  9308  0nnn  9310  nnrecgt0  9321  0ne1  9350  2pos  9374  3pos  9377  4pos  9380  5pos  9383  6pos  9384  7pos  9385  8pos  9386  9pos  9387  neg1lt0  9391  halflt1  9501  nn0p1gt0  9571  elnnnn0c  9587  elnnz1  9646  recnz  9718  1rp  10037  divlt1lt  10104  divle1le  10105  ledivge1le  10106  nnledivrp  10146  fz10  10429  fzpreddisj  10456  elfz1b  10475  modqfrac  10752  expgt1  10992  ltexp2a  11006  leexp2a  11007  resq01  11073  expnbnd  11079  expnlbnd  11080  expnlbnd2  11081  nn0ltexp2  11125  expcanlem  11131  expcan  11132  bcn1  11174  ssenneg  11258  s2fv0g  11537  resqrexlem1arp  11749  mulcn2  12056  reccn2ap  12057  georeclim  12258  geoisumr  12263  cos1bnd  12504  sin01gt0  12507  sincos1sgn  12510  p1modz1  12539  nnoddm1d2  12655  dvdsnprmd  12881  divdenle  12953  ballotfilemi1  13223  ballotfilemic  13228  plendxnocndx  13545  znidomb  14965  mopnex  15529  ivthdichlem  15675  reeff1olem  15795  cos02pilt1  15875  rplogcl  15903  cxplt  15941  cxple  15942  ltexp2  15966  pellexlem2  16006  mersenne  16025  perfectlem2  16028  apdiff  17002