Theorem 0lt1 8365

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8198	. 2 |- 0 <RR 1
2		0re 8239	. . 3 |- 0 e. RR
3		1re 8238	. . 3 |- 1 e. RR
4		ltxrlt 8304	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 |- ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   <RR cltrr 8096   < clt 8273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189  ax-0lt1 8198  ax-rnegex 8201

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278

This theorem is referenced by:  ine0  8632  0le1  8720  inelr  8823  1ap0  8829  eqneg  8971  ltp1  9083  ltm1  9085  recgt0  9089  mulgt1  9102  reclt1  9135  recgt1  9136  recgt1i  9137  recp1lt1  9138  recreclt  9139  sup3exmid  9196  nnge1  9225  nngt0  9227  0nnn  9229  nnrecgt0  9240  0ne1  9269  2pos  9293  3pos  9296  4pos  9299  5pos  9302  6pos  9303  7pos  9304  8pos  9305  9pos  9306  neg1lt0  9310  halflt1  9420  nn0p1gt0  9490  elnnnn0c  9506  elnnz1  9563  recnz  9634  1rp  9953  divlt1lt  10020  divle1le  10021  ledivge1le  10022  nnledivrp  10062  fz10  10343  fzpreddisj  10368  elfz1b  10387  modqfrac  10662  expgt1  10902  ltexp2a  10916  leexp2a  10917  expnbnd  10988  expnlbnd  10989  expnlbnd2  10990  nn0ltexp2  11034  expcanlem  11040  expcan  11041  bcn1  11083  s2fv0g  11434  resqrexlem1arp  11645  mulcn2  11952  reccn2ap  11953  georeclim  12154  geoisumr  12159  cos1bnd  12400  sin01gt0  12403  sincos1sgn  12406  p1modz1  12435  nnoddm1d2  12551  dvdsnprmd  12777  divdenle  12849  plendxnocndx  13377  znidomb  14754  mopnex  15316  ivthdichlem  15462  reeff1olem  15582  cos02pilt1  15662  rplogcl  15690  cxplt  15727  cxple  15728  ltexp2  15752  pellexlem2  15792  mersenne  15811  perfectlem2  15814  apdiff  16780