Theorem 0lt1 8021

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 7855	. 2 |- 0 <RR 1
2		0re 7895	. . 3 |- 0 e. RR
3		1re 7894	. . 3 |- 1 e. RR
4		ltxrlt 7960	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 423	. 2 |- ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 )
6	1, 5	mpbir 145	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 2136   class class class wbr 3981   RRcr 7748   0cc0 7749   1c1 7750   <RR cltrr 7753   < clt 7929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1re 7843  ax-addrcl 7846  ax-0lt1 7855  ax-rnegex 7858

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-ltxr 7934

This theorem is referenced by:  ine0  8288  0le1  8375  inelr  8478  1ap0  8484  eqneg  8624  ltp1  8735  ltm1  8737  recgt0  8741  mulgt1  8754  reclt1  8787  recgt1  8788  recgt1i  8789  recp1lt1  8790  recreclt  8791  sup3exmid  8848  nnge1  8876  nngt0  8878  0nnn  8880  nnrecgt0  8891  0ne1  8920  2pos  8944  3pos  8947  4pos  8950  5pos  8953  6pos  8954  7pos  8955  8pos  8956  9pos  8957  neg1lt0  8961  halflt1  9070  nn0p1gt0  9139  elnnnn0c  9155  elnnz1  9210  recnz  9280  1rp  9589  divlt1lt  9656  divle1le  9657  ledivge1le  9658  nnledivrp  9698  fz10  9977  fzpreddisj  10002  elfz1b  10021  modqfrac  10268  expgt1  10489  ltexp2a  10503  leexp2a  10504  expnbnd  10574  expnlbnd  10575  expnlbnd2  10576  nn0ltexp2  10619  expcanlem  10624  expcan  10625  bcn1  10667  resqrexlem1arp  10943  mulcn2  11249  reccn2ap  11250  georeclim  11450  geoisumr  11455  cos1bnd  11696  sin01gt0  11698  sincos1sgn  11701  p1modz1  11730  nnoddm1d2  11843  dvdsnprmd  12053  divdenle  12125  mopnex  13105  reeff1olem  13292  cos02pilt1  13372  rplogcl  13400  cxplt  13436  cxple  13437  ltexp2  13460  apdiff  13887