Theorem 0.999... 11290

Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 1 0 ^ 1 + 9 / 1 0 ^ 2 + 9 / 1 0 ^ 3 + ..., is exactly equal to 1. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0.999...	|- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = 1

Proof of Theorem 0.999...

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 8808	. . . . . 6 |- 9 e. CC
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( k e. NN -> 9 e. CC )
3		10re 9200	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 e. RR
4	3	recni 7778	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ; 1 0 e. CC )
6		nnnn0 8984	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
7	5, 6	expcld 10424	. . . . 5 |- ( k e. NN -> (; 1 0 ^ k ) e. CC )
8		10pos 9198	. . . . . . . 8 |- 0 < ; 1 0
9	3, 8	gt0ap0ii 8390	. . . . . . 7 |- ; 1 0 # 0
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ; 1 0 # 0 )
11		nnz 9073	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
12	5, 10, 11	expap0d 10430	. . . . 5 |- ( k e. NN -> (; 1 0 ^ k ) # 0 )
13	2, 7, 12	divrecapd 8553	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = ( 9 x. ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) ) )
14	5, 10, 11	exprecapd 10432	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) = ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) )
15	14	oveq2d 5790	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( 9 x. ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) ) )
16	13, 15	eqtr4d 2175	. . 3 |- ( k e. NN -> ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) )
17	16	sumeq2i 11133	. 2 |- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) )
18	3, 9	rerecclapi 8537	. . . . 5 |- ( 1 / ; 1 0 ) e. RR
19	18	recni 7778	. . . 4 |- ( 1 / ; 1 0 ) e. CC
20		0re 7766	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
21	3, 8	recgt0ii 8665	. . . . . . 7 |- 0 < ( 1 / ; 1 0 )
22	20, 18, 21	ltleii 7866	. . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / ; 1 0 )
23	18	absidi 10898	. . . . . 6 |- ( 0 <_ ( 1 / ; 1 0 ) -> ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) = ( 1 / ; 1 0 ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) = ( 1 / ; 1 0 )
25		1lt10 9320	. . . . . 6 |- 1 < ; 1 0
26		recgt1 8655	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 e. RR /\ 0 < ; 1 0 ) -> ( 1 < ; 1 0 <-> ( 1 / ; 1 0 ) < 1 ) )
27	3, 8, 26	mp2an 422	. . . . . 6 |- ( 1 < ; 1 0 <-> ( 1 / ; 1 0 ) < 1 )
28	25, 27	mpbi 144	. . . . 5 |- ( 1 / ; 1 0 ) < 1
29	24, 28	eqbrtri 3949	. . . 4 |- ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) < 1
30		geoisum1c 11289	. . . 4 |- ( ( 9 e. CC /\ ( 1 / ; 1 0 ) e. CC /\ ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) < 1 ) -> sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) )
31	1, 19, 29, 30	mp3an 1315	. . 3 |- sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
32	1, 4, 9	divrecapi 8517	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) = ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) )
33	1, 4, 9	divcanap2i 8515	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = 9
34		ax-1cn 7713	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
35	4, 34, 19	subdii 8169	. . . . . . 7 |- (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) = ( (; 1 0 x. 1 ) - (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) )
36	4	mulid1i 7768	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 x. 1 ) = ; 1 0
37	4, 9	recidapi 8503	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) = 1
38	36, 37	oveq12i 5786	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 x. 1 ) - (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) ) = (; 1 0 - 1 )
39		10m1e9 9277	. . . . . . 7 |- (; 1 0 - 1 ) = 9
40	35, 38, 39	3eqtrri 2165	. . . . . 6 |- 9 = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
41	33, 40	eqtri 2160	. . . . 5 |- (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
42		9re 8807	. . . . . . . 8 |- 9 e. RR
43	42, 3, 9	redivclapi 8539	. . . . . . 7 |- ( 9 / ; 1 0 ) e. RR
44	43	recni 7778	. . . . . 6 |- ( 9 / ; 1 0 ) e. CC
45	34, 19	subcli 8038	. . . . . 6 |- ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) e. CC
46	44, 45, 4, 9	mulcanapi 8428	. . . . 5 |- ( (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) <-> ( 9 / ; 1 0 ) = ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
47	41, 46	mpbi 144	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) = ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) )
48	32, 47	oveq12i 5786	. . 3 |- ( ( 9 / ; 1 0 ) / ( 9 / ; 1 0 ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
49		9pos 8824	. . . . . 6 |- 0 < 9
50	42, 3, 49, 8	divgt0ii 8677	. . . . 5 |- 0 < ( 9 / ; 1 0 )
51	43, 50	gt0ap0ii 8390	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) # 0
52	44, 51	dividapi 8505	. . 3 |- ( ( 9 / ; 1 0 ) / ( 9 / ; 1 0 ) ) = 1
53	31, 48, 52	3eqtr2i 2166	. 2 |- sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = 1
54	17, 53	eqtri 2160	1 |- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = 1

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   # cap 8343   / cdiv 8432   NNcn 8720   9c9 8778  ;cdc 9182   ^cexp 10292   abscabs 10769   sum_csu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-dec 9183  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

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