Theorem 0.999... 12145

Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 1 0 ^ 1 + 9 / 1 0 ^ 2 + 9 / 1 0 ^ 3 + ..., is exactly equal to 1. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0.999...	|- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = 1

Proof of Theorem 0.999...

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 9273	. . . . . 6 |- 9 e. CC
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( k e. NN -> 9 e. CC )
3		10re 9673	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 e. RR
4	3	recni 8234	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ; 1 0 e. CC )
6		nnnn0 9451	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
7	5, 6	expcld 10981	. . . . 5 |- ( k e. NN -> (; 1 0 ^ k ) e. CC )
8		10pos 9671	. . . . . . . 8 |- 0 < ; 1 0
9	3, 8	gt0ap0ii 8850	. . . . . . 7 |- ; 1 0 # 0
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ; 1 0 # 0 )
11		nnz 9542	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
12	5, 10, 11	expap0d 10987	. . . . 5 |- ( k e. NN -> (; 1 0 ^ k ) # 0 )
13	2, 7, 12	divrecapd 9015	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = ( 9 x. ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) ) )
14	5, 10, 11	exprecapd 10989	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) = ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) )
15	14	oveq2d 6044	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( 9 x. ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) ) )
16	13, 15	eqtr4d 2267	. . 3 |- ( k e. NN -> ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) )
17	16	sumeq2i 11987	. 2 |- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) )
18	3, 9	rerecclapi 8999	. . . . 5 |- ( 1 / ; 1 0 ) e. RR
19	18	recni 8234	. . . 4 |- ( 1 / ; 1 0 ) e. CC
20		0re 8222	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
21	3, 8	recgt0ii 9129	. . . . . . 7 |- 0 < ( 1 / ; 1 0 )
22	20, 18, 21	ltleii 8324	. . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / ; 1 0 )
23	18	absidi 11749	. . . . . 6 |- ( 0 <_ ( 1 / ; 1 0 ) -> ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) = ( 1 / ; 1 0 ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) = ( 1 / ; 1 0 )
25		1lt10 9793	. . . . . 6 |- 1 < ; 1 0
26		recgt1 9119	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 e. RR /\ 0 < ; 1 0 ) -> ( 1 < ; 1 0 <-> ( 1 / ; 1 0 ) < 1 ) )
27	3, 8, 26	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 1 < ; 1 0 <-> ( 1 / ; 1 0 ) < 1 )
28	25, 27	mpbi 145	. . . . 5 |- ( 1 / ; 1 0 ) < 1
29	24, 28	eqbrtri 4114	. . . 4 |- ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) < 1
30		geoisum1c 12144	. . . 4 |- ( ( 9 e. CC /\ ( 1 / ; 1 0 ) e. CC /\ ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) < 1 ) -> sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) )
31	1, 19, 29, 30	mp3an 1374	. . 3 |- sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
32	1, 4, 9	divrecapi 8979	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) = ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) )
33	1, 4, 9	divcanap2i 8977	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = 9
34		ax-1cn 8168	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
35	4, 34, 19	subdii 8628	. . . . . . 7 |- (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) = ( (; 1 0 x. 1 ) - (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) )
36	4	mulridi 8224	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 x. 1 ) = ; 1 0
37	4, 9	recidapi 8965	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) = 1
38	36, 37	oveq12i 6040	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 x. 1 ) - (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) ) = (; 1 0 - 1 )
39		10m1e9 9750	. . . . . . 7 |- (; 1 0 - 1 ) = 9
40	35, 38, 39	3eqtrri 2257	. . . . . 6 |- 9 = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
41	33, 40	eqtri 2252	. . . . 5 |- (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
42		9re 9272	. . . . . . . 8 |- 9 e. RR
43	42, 3, 9	redivclapi 9001	. . . . . . 7 |- ( 9 / ; 1 0 ) e. RR
44	43	recni 8234	. . . . . 6 |- ( 9 / ; 1 0 ) e. CC
45	34, 19	subcli 8497	. . . . . 6 |- ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) e. CC
46	44, 45, 4, 9	mulcanapi 8889	. . . . 5 |- ( (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) <-> ( 9 / ; 1 0 ) = ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
47	41, 46	mpbi 145	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) = ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) )
48	32, 47	oveq12i 6040	. . 3 |- ( ( 9 / ; 1 0 ) / ( 9 / ; 1 0 ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
49		9pos 9289	. . . . . 6 |- 0 < 9
50	42, 3, 49, 8	divgt0ii 9141	. . . . 5 |- 0 < ( 9 / ; 1 0 )
51	43, 50	gt0ap0ii 8850	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) # 0
52	44, 51	dividapi 8967	. . 3 |- ( ( 9 / ; 1 0 ) / ( 9 / ; 1 0 ) ) = 1
53	31, 48, 52	3eqtr2i 2258	. 2 |- sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = 1
54	17, 53	eqtri 2252	1 |- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = 1

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   x. cmul 8080   < clt 8256   <_ cle 8257   - cmin 8392   # cap 8803   / cdiv 8894   NNcn 9185   9c9 9243  ;cdc 9655   ^cexp 10846   abscabs 11620   sum_csu 11976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977

This theorem is referenced by: (None)