ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0.999... Unicode version

Theorem 0.999... 11484
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e.  9  /  1 0 ^ 1  +  9  /  1 0 ^ 2  +  9  / 
1 0 ^ 3  +  ..., is exactly equal to 1. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
0.999...  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  / 
(; 1 0 ^ k
) )  =  1

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 9cn 8966 . . . . . 6  |-  9  e.  CC
21a1i 9 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  9  e.  CC )
3 10re 9361 . . . . . . . 8  |- ; 1 0  e.  RR
43recni 7932 . . . . . . 7  |- ; 1 0  e.  CC
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  -> ; 1 0  e.  CC )
6 nnnn0 9142 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
75, 6expcld 10609 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (; 1 0 ^ k )  e.  CC )
8 10pos 9359 . . . . . . . 8  |-  0  < ; 1
0
93, 8gt0ap0ii 8547 . . . . . . 7  |- ; 1 0 #  0
109a1i 9 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  -> ; 1 0 #  0 )
11 nnz 9231 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
125, 10, 11expap0d 10615 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (; 1 0 ^ k ) #  0 )
132, 7, 12divrecapd 8710 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
9  /  (; 1 0 ^ k
) )  =  ( 9  x.  ( 1  /  (; 1 0 ^ k
) ) ) )
145, 10, 11exprecapd 10617 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  / ; 1 0 ) ^
k )  =  ( 1  /  (; 1 0 ^ k
) ) )
1514oveq2d 5869 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^
k ) )  =  ( 9  x.  (
1  /  (; 1 0 ^ k
) ) ) )
1613, 15eqtr4d 2206 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
9  /  (; 1 0 ^ k
) )  =  ( 9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^
k ) ) )
1716sumeq2i 11327 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  / 
(; 1 0 ^ k
) )  =  sum_ k  e.  NN  (
9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^
k ) )
183, 9rerecclapi 8694 . . . . 5  |-  ( 1  / ; 1 0 )  e.  RR
1918recni 7932 . . . 4  |-  ( 1  / ; 1 0 )  e.  CC
20 0re 7920 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
213, 8recgt0ii 8823 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  / ; 1 0 )
2220, 18, 21ltleii 8022 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  / ; 1 0 )
2318absidi 11090 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  ( 1  / ; 1 0 )  ->  ( abs `  ( 1  / ; 1 0 ) )  =  ( 1  / ; 1 0 ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  / ; 1 0 ) )  =  ( 1  / ; 1 0 )
25 1lt10 9481 . . . . . 6  |-  1  < ; 1
0
26 recgt1 8813 . . . . . . 7  |-  ( (; 1
0  e.  RR  /\  0  < ; 1 0 )  -> 
( 1  < ; 1 0  <->  ( 1  / ; 1 0 )  <  1 ) )
273, 8, 26mp2an 424 . . . . . 6  |-  ( 1  < ; 1 0  <->  ( 1  / ; 1 0 )  <  1 )
2825, 27mpbi 144 . . . . 5  |-  ( 1  / ; 1 0 )  <  1
2924, 28eqbrtri 4010 . . . 4  |-  ( abs `  ( 1  / ; 1 0 ) )  <  1
30 geoisum1c 11483 . . . 4  |-  ( ( 9  e.  CC  /\  ( 1  / ; 1 0 )  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  / ; 1 0 ) )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  (
9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^
k ) )  =  ( ( 9  x.  ( 1  / ; 1 0 ) )  /  ( 1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) ) )
311, 19, 29, 30mp3an 1332 . . 3  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^ k ) )  =  ( ( 9  x.  ( 1  / ; 1 0 ) )  /  ( 1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
321, 4, 9divrecapi 8674 . . . 4  |-  ( 9  / ; 1 0 )  =  ( 9  x.  (
1  / ; 1 0 ) )
331, 4, 9divcanap2i 8672 . . . . . 6  |-  (; 1 0  x.  (
9  / ; 1 0 ) )  =  9
34 ax-1cn 7867 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
354, 34, 19subdii 8326 . . . . . . 7  |-  (; 1 0  x.  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )  =  ( (; 1
0  x.  1 )  -  (; 1 0  x.  (
1  / ; 1 0 ) ) )
364mulid1i 7922 . . . . . . . 8  |-  (; 1 0  x.  1 )  = ; 1 0
374, 9recidapi 8660 . . . . . . . 8  |-  (; 1 0  x.  (
1  / ; 1 0 ) )  =  1
3836, 37oveq12i 5865 . . . . . . 7  |-  ( (; 1
0  x.  1 )  -  (; 1 0  x.  (
1  / ; 1 0 ) ) )  =  (; 1 0  -  1 )
39 10m1e9 9438 . . . . . . 7  |-  (; 1 0  -  1 )  =  9
4035, 38, 393eqtrri 2196 . . . . . 6  |-  9  =  (; 1 0  x.  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
4133, 40eqtri 2191 . . . . 5  |-  (; 1 0  x.  (
9  / ; 1 0 ) )  =  (; 1 0  x.  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
42 9re 8965 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
4342, 3, 9redivclapi 8696 . . . . . . 7  |-  ( 9  / ; 1 0 )  e.  RR
4443recni 7932 . . . . . 6  |-  ( 9  / ; 1 0 )  e.  CC
4534, 19subcli 8195 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( 1  / ; 1 0 ) )  e.  CC
4644, 45, 4, 9mulcanapi 8585 . . . . 5  |-  ( (; 1
0  x.  ( 9  / ; 1 0 ) )  =  (; 1 0  x.  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )  <->  ( 9  / ; 1 0 )  =  ( 1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
4741, 46mpbi 144 . . . 4  |-  ( 9  / ; 1 0 )  =  ( 1  -  (
1  / ; 1 0 ) )
4832, 47oveq12i 5865 . . 3  |-  ( ( 9  / ; 1 0 )  / 
( 9  / ; 1 0 ) )  =  ( ( 9  x.  ( 1  / ; 1 0 ) )  /  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
49 9pos 8982 . . . . . 6  |-  0  <  9
5042, 3, 49, 8divgt0ii 8835 . . . . 5  |-  0  <  ( 9  / ; 1 0 )
5143, 50gt0ap0ii 8547 . . . 4  |-  ( 9  / ; 1 0 ) #  0
5244, 51dividapi 8662 . . 3  |-  ( ( 9  / ; 1 0 )  / 
( 9  / ; 1 0 ) )  =  1
5331, 48, 523eqtr2i 2197 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^ k ) )  =  1
5417, 53eqtri 2191 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  / 
(; 1 0 ^ k
) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775    x. cmul 7779    < clt 7954    <_ cle 7955    - cmin 8090   # cap 8500    / cdiv 8589   NNcn 8878   9c9 8936  ;cdc 9343   ^cexp 10475   abscabs 10961   sum_csu 11316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-dec 9344  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator