Theorem 0.999... 11484

Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 1 0 ^ 1 + 9 / 1 0 ^ 2 + 9 / 1 0 ^ 3 + ..., is exactly equal to 1. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0.999...	|- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = 1

Proof of Theorem 0.999...

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 8966	. . . . . 6 |- 9 e. CC
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( k e. NN -> 9 e. CC )
3		10re 9361	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 e. RR
4	3	recni 7932	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ; 1 0 e. CC )
6		nnnn0 9142	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
7	5, 6	expcld 10609	. . . . 5 |- ( k e. NN -> (; 1 0 ^ k ) e. CC )
8		10pos 9359	. . . . . . . 8 |- 0 < ; 1 0
9	3, 8	gt0ap0ii 8547	. . . . . . 7 |- ; 1 0 # 0
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ; 1 0 # 0 )
11		nnz 9231	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
12	5, 10, 11	expap0d 10615	. . . . 5 |- ( k e. NN -> (; 1 0 ^ k ) # 0 )
13	2, 7, 12	divrecapd 8710	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = ( 9 x. ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) ) )
14	5, 10, 11	exprecapd 10617	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) = ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) )
15	14	oveq2d 5869	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( 9 x. ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) ) )
16	13, 15	eqtr4d 2206	. . 3 |- ( k e. NN -> ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) )
17	16	sumeq2i 11327	. 2 |- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) )
18	3, 9	rerecclapi 8694	. . . . 5 |- ( 1 / ; 1 0 ) e. RR
19	18	recni 7932	. . . 4 |- ( 1 / ; 1 0 ) e. CC
20		0re 7920	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
21	3, 8	recgt0ii 8823	. . . . . . 7 |- 0 < ( 1 / ; 1 0 )
22	20, 18, 21	ltleii 8022	. . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / ; 1 0 )
23	18	absidi 11090	. . . . . 6 |- ( 0 <_ ( 1 / ; 1 0 ) -> ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) = ( 1 / ; 1 0 ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) = ( 1 / ; 1 0 )
25		1lt10 9481	. . . . . 6 |- 1 < ; 1 0
26		recgt1 8813	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 e. RR /\ 0 < ; 1 0 ) -> ( 1 < ; 1 0 <-> ( 1 / ; 1 0 ) < 1 ) )
27	3, 8, 26	mp2an 424	. . . . . 6 |- ( 1 < ; 1 0 <-> ( 1 / ; 1 0 ) < 1 )
28	25, 27	mpbi 144	. . . . 5 |- ( 1 / ; 1 0 ) < 1
29	24, 28	eqbrtri 4010	. . . 4 |- ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) < 1
30		geoisum1c 11483	. . . 4 |- ( ( 9 e. CC /\ ( 1 / ; 1 0 ) e. CC /\ ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) < 1 ) -> sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) )
31	1, 19, 29, 30	mp3an 1332	. . 3 |- sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
32	1, 4, 9	divrecapi 8674	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) = ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) )
33	1, 4, 9	divcanap2i 8672	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = 9
34		ax-1cn 7867	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
35	4, 34, 19	subdii 8326	. . . . . . 7 |- (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) = ( (; 1 0 x. 1 ) - (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) )
36	4	mulid1i 7922	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 x. 1 ) = ; 1 0
37	4, 9	recidapi 8660	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) = 1
38	36, 37	oveq12i 5865	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 x. 1 ) - (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) ) = (; 1 0 - 1 )
39		10m1e9 9438	. . . . . . 7 |- (; 1 0 - 1 ) = 9
40	35, 38, 39	3eqtrri 2196	. . . . . 6 |- 9 = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
41	33, 40	eqtri 2191	. . . . 5 |- (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
42		9re 8965	. . . . . . . 8 |- 9 e. RR
43	42, 3, 9	redivclapi 8696	. . . . . . 7 |- ( 9 / ; 1 0 ) e. RR
44	43	recni 7932	. . . . . 6 |- ( 9 / ; 1 0 ) e. CC
45	34, 19	subcli 8195	. . . . . 6 |- ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) e. CC
46	44, 45, 4, 9	mulcanapi 8585	. . . . 5 |- ( (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) <-> ( 9 / ; 1 0 ) = ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
47	41, 46	mpbi 144	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) = ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) )
48	32, 47	oveq12i 5865	. . 3 |- ( ( 9 / ; 1 0 ) / ( 9 / ; 1 0 ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
49		9pos 8982	. . . . . 6 |- 0 < 9
50	42, 3, 49, 8	divgt0ii 8835	. . . . 5 |- 0 < ( 9 / ; 1 0 )
51	43, 50	gt0ap0ii 8547	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) # 0
52	44, 51	dividapi 8662	. . 3 |- ( ( 9 / ; 1 0 ) / ( 9 / ; 1 0 ) ) = 1
53	31, 48, 52	3eqtr2i 2197	. 2 |- sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = 1
54	17, 53	eqtri 2191	1 |- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = 1

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589   NNcn 8878   9c9 8936  ;cdc 9343   ^cexp 10475   abscabs 10961   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-dec 9344  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by: (None)