ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0.999... Unicode version

Theorem 0.999... 11297
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e.  9  /  1 0 ^ 1  +  9  /  1 0 ^ 2  +  9  / 
1 0 ^ 3  +  ..., is exactly equal to 1. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
0.999...  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  / 
(; 1 0 ^ k
) )  =  1

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 9cn 8815 . . . . . 6  |-  9  e.  CC
21a1i 9 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  9  e.  CC )
3 10re 9207 . . . . . . . 8  |- ; 1 0  e.  RR
43recni 7785 . . . . . . 7  |- ; 1 0  e.  CC
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  -> ; 1 0  e.  CC )
6 nnnn0 8991 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
75, 6expcld 10431 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (; 1 0 ^ k )  e.  CC )
8 10pos 9205 . . . . . . . 8  |-  0  < ; 1
0
93, 8gt0ap0ii 8397 . . . . . . 7  |- ; 1 0 #  0
109a1i 9 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  -> ; 1 0 #  0 )
11 nnz 9080 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
125, 10, 11expap0d 10437 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (; 1 0 ^ k ) #  0 )
132, 7, 12divrecapd 8560 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
9  /  (; 1 0 ^ k
) )  =  ( 9  x.  ( 1  /  (; 1 0 ^ k
) ) ) )
145, 10, 11exprecapd 10439 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  / ; 1 0 ) ^
k )  =  ( 1  /  (; 1 0 ^ k
) ) )
1514oveq2d 5790 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^
k ) )  =  ( 9  x.  (
1  /  (; 1 0 ^ k
) ) ) )
1613, 15eqtr4d 2175 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
9  /  (; 1 0 ^ k
) )  =  ( 9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^
k ) ) )
1716sumeq2i 11140 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  / 
(; 1 0 ^ k
) )  =  sum_ k  e.  NN  (
9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^
k ) )
183, 9rerecclapi 8544 . . . . 5  |-  ( 1  / ; 1 0 )  e.  RR
1918recni 7785 . . . 4  |-  ( 1  / ; 1 0 )  e.  CC
20 0re 7773 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
213, 8recgt0ii 8672 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  / ; 1 0 )
2220, 18, 21ltleii 7873 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  / ; 1 0 )
2318absidi 10905 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  ( 1  / ; 1 0 )  ->  ( abs `  ( 1  / ; 1 0 ) )  =  ( 1  / ; 1 0 ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  / ; 1 0 ) )  =  ( 1  / ; 1 0 )
25 1lt10 9327 . . . . . 6  |-  1  < ; 1
0
26 recgt1 8662 . . . . . . 7  |-  ( (; 1
0  e.  RR  /\  0  < ; 1 0 )  -> 
( 1  < ; 1 0  <->  ( 1  / ; 1 0 )  <  1 ) )
273, 8, 26mp2an 422 . . . . . 6  |-  ( 1  < ; 1 0  <->  ( 1  / ; 1 0 )  <  1 )
2825, 27mpbi 144 . . . . 5  |-  ( 1  / ; 1 0 )  <  1
2924, 28eqbrtri 3949 . . . 4  |-  ( abs `  ( 1  / ; 1 0 ) )  <  1
30 geoisum1c 11296 . . . 4  |-  ( ( 9  e.  CC  /\  ( 1  / ; 1 0 )  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  / ; 1 0 ) )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  (
9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^
k ) )  =  ( ( 9  x.  ( 1  / ; 1 0 ) )  /  ( 1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) ) )
311, 19, 29, 30mp3an 1315 . . 3  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^ k ) )  =  ( ( 9  x.  ( 1  / ; 1 0 ) )  /  ( 1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
321, 4, 9divrecapi 8524 . . . 4  |-  ( 9  / ; 1 0 )  =  ( 9  x.  (
1  / ; 1 0 ) )
331, 4, 9divcanap2i 8522 . . . . . 6  |-  (; 1 0  x.  (
9  / ; 1 0 ) )  =  9
34 ax-1cn 7720 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
354, 34, 19subdii 8176 . . . . . . 7  |-  (; 1 0  x.  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )  =  ( (; 1
0  x.  1 )  -  (; 1 0  x.  (
1  / ; 1 0 ) ) )
364mulid1i 7775 . . . . . . . 8  |-  (; 1 0  x.  1 )  = ; 1 0
374, 9recidapi 8510 . . . . . . . 8  |-  (; 1 0  x.  (
1  / ; 1 0 ) )  =  1
3836, 37oveq12i 5786 . . . . . . 7  |-  ( (; 1
0  x.  1 )  -  (; 1 0  x.  (
1  / ; 1 0 ) ) )  =  (; 1 0  -  1 )
39 10m1e9 9284 . . . . . . 7  |-  (; 1 0  -  1 )  =  9
4035, 38, 393eqtrri 2165 . . . . . 6  |-  9  =  (; 1 0  x.  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
4133, 40eqtri 2160 . . . . 5  |-  (; 1 0  x.  (
9  / ; 1 0 ) )  =  (; 1 0  x.  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
42 9re 8814 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
4342, 3, 9redivclapi 8546 . . . . . . 7  |-  ( 9  / ; 1 0 )  e.  RR
4443recni 7785 . . . . . 6  |-  ( 9  / ; 1 0 )  e.  CC
4534, 19subcli 8045 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( 1  / ; 1 0 ) )  e.  CC
4644, 45, 4, 9mulcanapi 8435 . . . . 5  |-  ( (; 1
0  x.  ( 9  / ; 1 0 ) )  =  (; 1 0  x.  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )  <->  ( 9  / ; 1 0 )  =  ( 1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
4741, 46mpbi 144 . . . 4  |-  ( 9  / ; 1 0 )  =  ( 1  -  (
1  / ; 1 0 ) )
4832, 47oveq12i 5786 . . 3  |-  ( ( 9  / ; 1 0 )  / 
( 9  / ; 1 0 ) )  =  ( ( 9  x.  ( 1  / ; 1 0 ) )  /  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
49 9pos 8831 . . . . . 6  |-  0  <  9
5042, 3, 49, 8divgt0ii 8684 . . . . 5  |-  0  <  ( 9  / ; 1 0 )
5143, 50gt0ap0ii 8397 . . . 4  |-  ( 9  / ; 1 0 ) #  0
5244, 51dividapi 8512 . . 3  |-  ( ( 9  / ; 1 0 )  / 
( 9  / ; 1 0 ) )  =  1
5331, 48, 523eqtr2i 2166 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^ k ) )  =  1
5417, 53eqtri 2160 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  / 
(; 1 0 ^ k
) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   0cc0 7627   1c1 7628    x. cmul 7632    < clt 7807    <_ cle 7808    - cmin 7940   # cap 8350    / cdiv 8439   NNcn 8727   9c9 8785  ;cdc 9189   ^cexp 10299   abscabs 10776   sum_csu 11129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-dec 9190  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator