Theorem 0.999... 11832

Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 1 0 ^ 1 + 9 / 1 0 ^ 2 + 9 / 1 0 ^ 3 + ..., is exactly equal to 1. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0.999...	|- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = 1

Proof of Theorem 0.999...

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 9124	. . . . . 6 |- 9 e. CC
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( k e. NN -> 9 e. CC )
3		10re 9522	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 e. RR
4	3	recni 8084	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ; 1 0 e. CC )
6		nnnn0 9302	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
7	5, 6	expcld 10818	. . . . 5 |- ( k e. NN -> (; 1 0 ^ k ) e. CC )
8		10pos 9520	. . . . . . . 8 |- 0 < ; 1 0
9	3, 8	gt0ap0ii 8701	. . . . . . 7 |- ; 1 0 # 0
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ; 1 0 # 0 )
11		nnz 9391	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
12	5, 10, 11	expap0d 10824	. . . . 5 |- ( k e. NN -> (; 1 0 ^ k ) # 0 )
13	2, 7, 12	divrecapd 8866	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = ( 9 x. ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) ) )
14	5, 10, 11	exprecapd 10826	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) = ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) )
15	14	oveq2d 5960	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( 9 x. ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) ) )
16	13, 15	eqtr4d 2241	. . 3 |- ( k e. NN -> ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) )
17	16	sumeq2i 11675	. 2 |- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) )
18	3, 9	rerecclapi 8850	. . . . 5 |- ( 1 / ; 1 0 ) e. RR
19	18	recni 8084	. . . 4 |- ( 1 / ; 1 0 ) e. CC
20		0re 8072	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
21	3, 8	recgt0ii 8980	. . . . . . 7 |- 0 < ( 1 / ; 1 0 )
22	20, 18, 21	ltleii 8175	. . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / ; 1 0 )
23	18	absidi 11437	. . . . . 6 |- ( 0 <_ ( 1 / ; 1 0 ) -> ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) = ( 1 / ; 1 0 ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) = ( 1 / ; 1 0 )
25		1lt10 9642	. . . . . 6 |- 1 < ; 1 0
26		recgt1 8970	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 e. RR /\ 0 < ; 1 0 ) -> ( 1 < ; 1 0 <-> ( 1 / ; 1 0 ) < 1 ) )
27	3, 8, 26	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 1 < ; 1 0 <-> ( 1 / ; 1 0 ) < 1 )
28	25, 27	mpbi 145	. . . . 5 |- ( 1 / ; 1 0 ) < 1
29	24, 28	eqbrtri 4065	. . . 4 |- ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) < 1
30		geoisum1c 11831	. . . 4 |- ( ( 9 e. CC /\ ( 1 / ; 1 0 ) e. CC /\ ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) < 1 ) -> sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) )
31	1, 19, 29, 30	mp3an 1350	. . 3 |- sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
32	1, 4, 9	divrecapi 8830	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) = ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) )
33	1, 4, 9	divcanap2i 8828	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = 9
34		ax-1cn 8018	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
35	4, 34, 19	subdii 8479	. . . . . . 7 |- (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) = ( (; 1 0 x. 1 ) - (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) )
36	4	mulridi 8074	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 x. 1 ) = ; 1 0
37	4, 9	recidapi 8816	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) = 1
38	36, 37	oveq12i 5956	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 x. 1 ) - (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) ) = (; 1 0 - 1 )
39		10m1e9 9599	. . . . . . 7 |- (; 1 0 - 1 ) = 9
40	35, 38, 39	3eqtrri 2231	. . . . . 6 |- 9 = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
41	33, 40	eqtri 2226	. . . . 5 |- (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
42		9re 9123	. . . . . . . 8 |- 9 e. RR
43	42, 3, 9	redivclapi 8852	. . . . . . 7 |- ( 9 / ; 1 0 ) e. RR
44	43	recni 8084	. . . . . 6 |- ( 9 / ; 1 0 ) e. CC
45	34, 19	subcli 8348	. . . . . 6 |- ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) e. CC
46	44, 45, 4, 9	mulcanapi 8740	. . . . 5 |- ( (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) <-> ( 9 / ; 1 0 ) = ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
47	41, 46	mpbi 145	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) = ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) )
48	32, 47	oveq12i 5956	. . 3 |- ( ( 9 / ; 1 0 ) / ( 9 / ; 1 0 ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
49		9pos 9140	. . . . . 6 |- 0 < 9
50	42, 3, 49, 8	divgt0ii 8992	. . . . 5 |- 0 < ( 9 / ; 1 0 )
51	43, 50	gt0ap0ii 8701	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) # 0
52	44, 51	dividapi 8818	. . 3 |- ( ( 9 / ; 1 0 ) / ( 9 / ; 1 0 ) ) = 1
53	31, 48, 52	3eqtr2i 2232	. 2 |- sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = 1
54	17, 53	eqtri 2226	1 |- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = 1

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   x. cmul 7930   < clt 8107   <_ cle 8108   - cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745   NNcn 9036   9c9 9094  ;cdc 9504   ^cexp 10683   abscabs 11308   sum_csu 11664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-frec 6477  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-dec 9505  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-ihash 10921  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590  df-sumdc 11665

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