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Theorem 0.999... 10911
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e.  9  /  1 0 ^ 1  +  9  /  1 0 ^ 2  +  9  / 
1 0 ^ 3  +  ..., is exactly equal to 1. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
0.999...  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  / 
(; 1 0 ^ k
) )  =  1

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 9cn 8508 . . . . . 6  |-  9  e.  CC
21a1i 9 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  9  e.  CC )
3 10re 8893 . . . . . . . 8  |- ; 1 0  e.  RR
43recni 7498 . . . . . . 7  |- ; 1 0  e.  CC
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  -> ; 1 0  e.  CC )
6 nnnn0 8678 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
75, 6expcld 10082 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (; 1 0 ^ k )  e.  CC )
8 10pos 8891 . . . . . . . 8  |-  0  < ; 1
0
93, 8gt0ap0ii 8102 . . . . . . 7  |- ; 1 0 #  0
109a1i 9 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  -> ; 1 0 #  0 )
11 nnz 8767 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
125, 10, 11expap0d 10088 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (; 1 0 ^ k ) #  0 )
132, 7, 12divrecapd 8258 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
9  /  (; 1 0 ^ k
) )  =  ( 9  x.  ( 1  /  (; 1 0 ^ k
) ) ) )
145, 10, 11exprecapd 10090 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  / ; 1 0 ) ^
k )  =  ( 1  /  (; 1 0 ^ k
) ) )
1514oveq2d 5668 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^
k ) )  =  ( 9  x.  (
1  /  (; 1 0 ^ k
) ) ) )
1613, 15eqtr4d 2123 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
9  /  (; 1 0 ^ k
) )  =  ( 9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^
k ) ) )
1716sumeq2i 10749 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  / 
(; 1 0 ^ k
) )  =  sum_ k  e.  NN  (
9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^
k ) )
183, 9rerecclapi 8242 . . . . 5  |-  ( 1  / ; 1 0 )  e.  RR
1918recni 7498 . . . 4  |-  ( 1  / ; 1 0 )  e.  CC
20 0re 7486 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
213, 8recgt0ii 8366 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  / ; 1 0 )
2220, 18, 21ltleii 7585 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  / ; 1 0 )
2318absidi 10555 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  ( 1  / ; 1 0 )  ->  ( abs `  ( 1  / ; 1 0 ) )  =  ( 1  / ; 1 0 ) )
2422, 23ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  / ; 1 0 ) )  =  ( 1  / ; 1 0 )
25 1lt10 9013 . . . . . 6  |-  1  < ; 1
0
26 recgt1 8356 . . . . . . 7  |-  ( (; 1
0  e.  RR  /\  0  < ; 1 0 )  -> 
( 1  < ; 1 0  <->  ( 1  / ; 1 0 )  <  1 ) )
273, 8, 26mp2an 417 . . . . . 6  |-  ( 1  < ; 1 0  <->  ( 1  / ; 1 0 )  <  1 )
2825, 27mpbi 143 . . . . 5  |-  ( 1  / ; 1 0 )  <  1
2924, 28eqbrtri 3864 . . . 4  |-  ( abs `  ( 1  / ; 1 0 ) )  <  1
30 geoisum1c 10910 . . . 4  |-  ( ( 9  e.  CC  /\  ( 1  / ; 1 0 )  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  / ; 1 0 ) )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  (
9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^
k ) )  =  ( ( 9  x.  ( 1  / ; 1 0 ) )  /  ( 1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) ) )
311, 19, 29, 30mp3an 1273 . . 3  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^ k ) )  =  ( ( 9  x.  ( 1  / ; 1 0 ) )  /  ( 1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
321, 4, 9divrecapi 8222 . . . 4  |-  ( 9  / ; 1 0 )  =  ( 9  x.  (
1  / ; 1 0 ) )
331, 4, 9divcanap2i 8220 . . . . . 6  |-  (; 1 0  x.  (
9  / ; 1 0 ) )  =  9
34 ax-1cn 7436 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
354, 34, 19subdii 7883 . . . . . . 7  |-  (; 1 0  x.  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )  =  ( (; 1
0  x.  1 )  -  (; 1 0  x.  (
1  / ; 1 0 ) ) )
364mulid1i 7488 . . . . . . . 8  |-  (; 1 0  x.  1 )  = ; 1 0
374, 9recidapi 8208 . . . . . . . 8  |-  (; 1 0  x.  (
1  / ; 1 0 ) )  =  1
3836, 37oveq12i 5664 . . . . . . 7  |-  ( (; 1
0  x.  1 )  -  (; 1 0  x.  (
1  / ; 1 0 ) ) )  =  (; 1 0  -  1 )
39 10m1e9 8970 . . . . . . 7  |-  (; 1 0  -  1 )  =  9
4035, 38, 393eqtrri 2113 . . . . . 6  |-  9  =  (; 1 0  x.  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
4133, 40eqtri 2108 . . . . 5  |-  (; 1 0  x.  (
9  / ; 1 0 ) )  =  (; 1 0  x.  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
42 9re 8507 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
4342, 3, 9redivclapi 8244 . . . . . . 7  |-  ( 9  / ; 1 0 )  e.  RR
4443recni 7498 . . . . . 6  |-  ( 9  / ; 1 0 )  e.  CC
4534, 19subcli 7756 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( 1  / ; 1 0 ) )  e.  CC
4644, 45, 4, 9mulcanapi 8134 . . . . 5  |-  ( (; 1
0  x.  ( 9  / ; 1 0 ) )  =  (; 1 0  x.  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )  <->  ( 9  / ; 1 0 )  =  ( 1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
4741, 46mpbi 143 . . . 4  |-  ( 9  / ; 1 0 )  =  ( 1  -  (
1  / ; 1 0 ) )
4832, 47oveq12i 5664 . . 3  |-  ( ( 9  / ; 1 0 )  / 
( 9  / ; 1 0 ) )  =  ( ( 9  x.  ( 1  / ; 1 0 ) )  /  (
1  -  ( 1  / ; 1 0 ) ) )
49 9pos 8524 . . . . . 6  |-  0  <  9
5042, 3, 49, 8divgt0ii 8378 . . . . 5  |-  0  <  ( 9  / ; 1 0 )
5143, 50gt0ap0ii 8102 . . . 4  |-  ( 9  / ; 1 0 ) #  0
5244, 51dividapi 8210 . . 3  |-  ( ( 9  / ; 1 0 )  / 
( 9  / ; 1 0 ) )  =  1
5331, 48, 523eqtr2i 2114 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  x.  ( ( 1  / ; 1 0 ) ^ k ) )  =  1
5417, 53eqtri 2108 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( 9  / 
(; 1 0 ^ k
) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7346   RRcr 7347   0cc0 7348   1c1 7349    x. cmul 7353    < clt 7520    <_ cle 7521    - cmin 7651   # cap 8056    / cdiv 8137   NNcn 8420   9c9 8478  ;cdc 8875   ^cexp 9950   abscabs 10426   sum_csu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-5 8482  df-6 8483  df-7 8484  df-8 8485  df-9 8486  df-n0 8672  df-z 8749  df-dec 8876  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739
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