Theorem 0.999... 11703

Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 1 0 ^ 1 + 9 / 1 0 ^ 2 + 9 / 1 0 ^ 3 + ..., is exactly equal to 1. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0.999...	|- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = 1

Proof of Theorem 0.999...

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 9095	. . . . . 6 |- 9 e. CC
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( k e. NN -> 9 e. CC )
3		10re 9492	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 e. RR
4	3	recni 8055	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. CC
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ; 1 0 e. CC )
6		nnnn0 9273	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
7	5, 6	expcld 10782	. . . . 5 |- ( k e. NN -> (; 1 0 ^ k ) e. CC )
8		10pos 9490	. . . . . . . 8 |- 0 < ; 1 0
9	3, 8	gt0ap0ii 8672	. . . . . . 7 |- ; 1 0 # 0
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ; 1 0 # 0 )
11		nnz 9362	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
12	5, 10, 11	expap0d 10788	. . . . 5 |- ( k e. NN -> (; 1 0 ^ k ) # 0 )
13	2, 7, 12	divrecapd 8837	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = ( 9 x. ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) ) )
14	5, 10, 11	exprecapd 10790	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) = ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) )
15	14	oveq2d 5941	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( 9 x. ( 1 / (; 1 0 ^ k ) ) ) )
16	13, 15	eqtr4d 2232	. . 3 |- ( k e. NN -> ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) )
17	16	sumeq2i 11546	. 2 |- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) )
18	3, 9	rerecclapi 8821	. . . . 5 |- ( 1 / ; 1 0 ) e. RR
19	18	recni 8055	. . . 4 |- ( 1 / ; 1 0 ) e. CC
20		0re 8043	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
21	3, 8	recgt0ii 8951	. . . . . . 7 |- 0 < ( 1 / ; 1 0 )
22	20, 18, 21	ltleii 8146	. . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / ; 1 0 )
23	18	absidi 11308	. . . . . 6 |- ( 0 <_ ( 1 / ; 1 0 ) -> ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) = ( 1 / ; 1 0 ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) = ( 1 / ; 1 0 )
25		1lt10 9612	. . . . . 6 |- 1 < ; 1 0
26		recgt1 8941	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 e. RR /\ 0 < ; 1 0 ) -> ( 1 < ; 1 0 <-> ( 1 / ; 1 0 ) < 1 ) )
27	3, 8, 26	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 1 < ; 1 0 <-> ( 1 / ; 1 0 ) < 1 )
28	25, 27	mpbi 145	. . . . 5 |- ( 1 / ; 1 0 ) < 1
29	24, 28	eqbrtri 4055	. . . 4 |- ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) < 1
30		geoisum1c 11702	. . . 4 |- ( ( 9 e. CC /\ ( 1 / ; 1 0 ) e. CC /\ ( abs ` ( 1 / ; 1 0 ) ) < 1 ) -> sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) )
31	1, 19, 29, 30	mp3an 1348	. . 3 |- sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
32	1, 4, 9	divrecapi 8801	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) = ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) )
33	1, 4, 9	divcanap2i 8799	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = 9
34		ax-1cn 7989	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
35	4, 34, 19	subdii 8450	. . . . . . 7 |- (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) = ( (; 1 0 x. 1 ) - (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) )
36	4	mulridi 8045	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 x. 1 ) = ; 1 0
37	4, 9	recidapi 8787	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) = 1
38	36, 37	oveq12i 5937	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 x. 1 ) - (; 1 0 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) ) = (; 1 0 - 1 )
39		10m1e9 9569	. . . . . . 7 |- (; 1 0 - 1 ) = 9
40	35, 38, 39	3eqtrri 2222	. . . . . 6 |- 9 = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
41	33, 40	eqtri 2217	. . . . 5 |- (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
42		9re 9094	. . . . . . . 8 |- 9 e. RR
43	42, 3, 9	redivclapi 8823	. . . . . . 7 |- ( 9 / ; 1 0 ) e. RR
44	43	recni 8055	. . . . . 6 |- ( 9 / ; 1 0 ) e. CC
45	34, 19	subcli 8319	. . . . . 6 |- ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) e. CC
46	44, 45, 4, 9	mulcanapi 8711	. . . . 5 |- ( (; 1 0 x. ( 9 / ; 1 0 ) ) = (; 1 0 x. ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) ) <-> ( 9 / ; 1 0 ) = ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
47	41, 46	mpbi 145	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) = ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) )
48	32, 47	oveq12i 5937	. . 3 |- ( ( 9 / ; 1 0 ) / ( 9 / ; 1 0 ) ) = ( ( 9 x. ( 1 / ; 1 0 ) ) / ( 1 - ( 1 / ; 1 0 ) ) )
49		9pos 9111	. . . . . 6 |- 0 < 9
50	42, 3, 49, 8	divgt0ii 8963	. . . . 5 |- 0 < ( 9 / ; 1 0 )
51	43, 50	gt0ap0ii 8672	. . . 4 |- ( 9 / ; 1 0 ) # 0
52	44, 51	dividapi 8789	. . 3 |- ( ( 9 / ; 1 0 ) / ( 9 / ; 1 0 ) ) = 1
53	31, 48, 52	3eqtr2i 2223	. 2 |- sum_ k e. NN ( 9 x. ( ( 1 / ; 1 0 ) ^ k ) ) = 1
54	17, 53	eqtri 2217	1 |- sum_ k e. NN ( 9 / (; 1 0 ^ k ) ) = 1

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716   NNcn 9007   9c9 9065  ;cdc 9474   ^cexp 10647   abscabs 11179   sum_csu 11535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536

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