Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exmidaclem Unicode version

Theorem exmidaclem 7122
 Description: Lemma for exmidac 7123. The result, with a few hypotheses to break out commonly used expressions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
exmidaclem.a
exmidaclem.b
exmidaclem.c
Assertion
Ref Expression
exmidaclem CHOICE EXMID
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem exmidaclem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . 4 CHOICE CHOICE
2 exmidaclem.c . . . . . 6
3 exmidaclem.a . . . . . . . 8
4 pp0ex 4145 . . . . . . . . 9
54rabex 4104 . . . . . . . 8
63, 5eqeltri 2227 . . . . . . 7
7 exmidaclem.b . . . . . . . 8
84rabex 4104 . . . . . . . 8
97, 8eqeltri 2227 . . . . . . 7
10 prexg 4166 . . . . . . 7
116, 9, 10mp2an 423 . . . . . 6
122, 11eqeltri 2227 . . . . 5
1312a1i 9 . . . 4 CHOICE
14 simpr 109 . . . . . . 7 CHOICE
1514, 2eleqtrdi 2247 . . . . . 6 CHOICE
16 elpri 3579 . . . . . 6
17 0ex 4087 . . . . . . . . . . 11
1817prid1 3661 . . . . . . . . . 10
19 eqid 2154 . . . . . . . . . . 11
2019orci 721 . . . . . . . . . 10
21 eqeq1 2161 . . . . . . . . . . . 12
2221orbi1d 781 . . . . . . . . . . 11
2322, 3elrab2 2867 . . . . . . . . . 10
2418, 20, 23mpbir2an 927 . . . . . . . . 9
25 eleq2 2218 . . . . . . . . 9
2624, 25mpbiri 167 . . . . . . . 8
27 elex2 2725 . . . . . . . 8
2826, 27syl 14 . . . . . . 7
29 p0ex 4144 . . . . . . . . . . 11
3029prid2 3662 . . . . . . . . . 10
31 eqid 2154 . . . . . . . . . . 11
3231orci 721 . . . . . . . . . 10
33 eqeq1 2161 . . . . . . . . . . . 12
3433orbi1d 781 . . . . . . . . . . 11
3534, 7elrab2 2867 . . . . . . . . . 10
3630, 32, 35mpbir2an 927 . . . . . . . . 9
37 eleq2 2218 . . . . . . . . 9
3836, 37mpbiri 167 . . . . . . . 8
39 elex2 2725 . . . . . . . 8
4038, 39syl 14 . . . . . . 7
4128, 40jaoi 706 . . . . . 6
4215, 16, 413syl 17 . . . . 5 CHOICE
4342ralrimiva 2527 . . . 4 CHOICE
441, 13, 43acfun 7121 . . 3 CHOICE
45 0nep0 4121 . . . . . . . . . 10
4645neii 2326 . . . . . . . . 9
47 simplr 520 . . . . . . . . . 10 CHOICE
48 simpr 109 . . . . . . . . . 10 CHOICE
4947, 48eqeq12d 2169 . . . . . . . . 9 CHOICE
5046, 49mtbiri 665 . . . . . . . 8 CHOICE
51 olc 701 . . . . . . . . . . . . 13
5251ralrimivw 2528 . . . . . . . . . . . 12
53 rabid2 2630 . . . . . . . . . . . 12
5452, 53sylibr 133 . . . . . . . . . . 11
5554, 3eqtr4di 2205 . . . . . . . . . 10
56 olc 701 . . . . . . . . . . . . 13
5756ralrimivw 2528 . . . . . . . . . . . 12
58 rabid2 2630 . . . . . . . . . . . 12
5957, 58sylibr 133 . . . . . . . . . . 11
6059, 7eqtr4di 2205 . . . . . . . . . 10
6155, 60eqtr3d 2189 . . . . . . . . 9
6261fveq2d 5465 . . . . . . . 8
6350, 62nsyl 618 . . . . . . 7 CHOICE
6463olcd 724 . . . . . 6 CHOICE
65 simpr 109 . . . . . . 7 CHOICE
6665orcd 723 . . . . . 6 CHOICE
67 fveq2 5461 . . . . . . . . . . 11
68 id 19 . . . . . . . . . . 11
6967, 68eleq12d 2225 . . . . . . . . . 10
70 simprr 522 . . . . . . . . . 10 CHOICE
719prid2 3662 . . . . . . . . . . . 12
7271, 2eleqtrri 2230 . . . . . . . . . . 11
7372a1i 9 . . . . . . . . . 10 CHOICE
7469, 70, 73rspcdva 2818 . . . . . . . . 9 CHOICE
75 eqeq1 2161 . . . . . . . . . . 11
7675orbi1d 781 . . . . . . . . . 10
7776, 7elrab2 2867 . . . . . . . . 9
7874, 77sylib 121 . . . . . . . 8 CHOICE
7978simprd 113 . . . . . . 7 CHOICE
8079adantr 274 . . . . . 6 CHOICE
8164, 66, 80mpjaodan 788 . . . . 5 CHOICE
82 df-dc 821 . . . . 5 DECID
8381, 82sylibr 133 . . . 4 CHOICE DECID
84 simpr 109 . . . . . 6 CHOICE
8584orcd 723 . . . . 5 CHOICE
8685, 82sylibr 133 . . . 4 CHOICE DECID
87 fveq2 5461 . . . . . . . 8
88 id 19 . . . . . . . 8
8987, 88eleq12d 2225 . . . . . . 7
906prid1 3661 . . . . . . . . 9
9190, 2eleqtrri 2230 . . . . . . . 8
9291a1i 9 . . . . . . 7 CHOICE
9389, 70, 92rspcdva 2818 . . . . . 6 CHOICE
94 eqeq1 2161 . . . . . . . 8
9594orbi1d 781 . . . . . . 7
9695, 3elrab2 2867 . . . . . 6
9793, 96sylib 121 . . . . 5 CHOICE
9897simprd 113 . . . 4 CHOICE
9983, 86, 98mpjaodan 788 . . 3 CHOICE DECID
10044, 99exlimddv 1875 . 2 CHOICE DECID
101100exmid1dc 4156 1 CHOICE EXMID
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wo 698  DECID wdc 820   wceq 1332  wex 1469   wcel 2125  wral 2432  crab 2436  cvv 2709   wss 3098  c0 3390  csn 3556  cpr 3557  EXMIDwem 4150   wfn 5158  cfv 5163  CHOICEwac 7119 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-exmid 4151  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ac 7120 This theorem is referenced by:  exmidac  7123
 Copyright terms: Public domain W3C validator