Theorem addasspig 7328

Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addasspig	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))

Proof of Theorem addasspig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7307	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 7307	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		pinn 7307	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
4		nnaass 6485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1280	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
6		addclpi 7325	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
7		addpiord 7314	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +N 𝐵) ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶))
8	6, 7	sylan 283	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶))
9		addpiord 7314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
10	9	oveq1d 5889	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
12	8, 11	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
13	12	3impa 1194	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
14		addclpi 7325	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
15		addpiord 7314	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)))
16	14, 15	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)))
17		addpiord 7314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +o 𝐶))
18	17	oveq2d 5890	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
19	18	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
20	16, 19	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
21	20	3impb 1199	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ωcom 4589  (class class class)co 5874   +_o coa 6413  Ncnpi 7270   +_N cpli 7271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-ni 7302  df-pli 7303

This theorem is referenced by:  addassnqg  7380