ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addasspig GIF version

Theorem addasspig 6791
Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
addasspig ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))

Proof of Theorem addasspig
StepHypRef Expression
1 pinn 6770 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 6770 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 pinn 6770 . . 3 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
4 nnaass 6177 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1212 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
6 addclpi 6788 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
7 addpiord 6777 . . . . 5 (((𝐴 +N 𝐵) ∈ N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +𝑜 𝐶))
86, 7sylan 277 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +𝑜 𝐶))
9 addpiord 6777 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
109oveq1d 5605 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) +𝑜 𝐶) = ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶))
1110adantr 270 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +𝑜 𝐶) = ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶))
128, 11eqtrd 2115 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶))
13123impa 1134 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶))
14 addclpi 6788 . . . . 5 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
15 addpiord 6777 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +N 𝐶)))
1614, 15sylan2 280 . . . 4 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +N 𝐶)))
17 addpiord 6777 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +𝑜 𝐶))
1817oveq2d 5606 . . . . 5 ((𝐵N𝐶N) → (𝐴 +𝑜 (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
1918adantl 271 . . . 4 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +𝑜 (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
2016, 19eqtrd 2115 . . 3 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
21203impb 1135 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
225, 13, 213eqtr4d 2125 1 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  ωcom 4367  (class class class)co 5590   +𝑜 coa 6109  Ncnpi 6733   +N cpli 6734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-f1 4973  df-fo 4974  df-f1o 4975  df-fv 4976  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-recs 6001  df-irdg 6066  df-oadd 6116  df-ni 6765  df-pli 6766
This theorem is referenced by:  addassnqg  6843
  Copyright terms: Public domain W3C validator