Theorem addasspig 7233

Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addasspig	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))

Proof of Theorem addasspig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 7212	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		pinn 7212	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
4		nnaass 6425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1262	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
6		addclpi 7230	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
7		addpiord 7219	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +N 𝐵) ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶))
8	6, 7	sylan 281	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶))
9		addpiord 7219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
10	9	oveq1d 5833	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
11	10	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
12	8, 11	eqtrd 2190	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
13	12	3impa 1177	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
14		addclpi 7230	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
15		addpiord 7219	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)))
16	14, 15	sylan2 284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)))
17		addpiord 7219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +o 𝐶))
18	17	oveq2d 5834	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
19	18	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
20	16, 19	eqtrd 2190	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
21	20	3impb 1181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2200	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ωcom 4547  (class class class)co 5818   +_o coa 6354  Ncnpi 7175   +_N cpli 7176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-oadd 6361  df-ni 7207  df-pli 7208

This theorem is referenced by:  addassnqg  7285