ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcompig Unicode version

Theorem mulcompig 7103
Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcompig  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( B  .N  A ) )

Proof of Theorem mulcompig
StepHypRef Expression
1 pinn 7081 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 7081 . . 3  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 nnmcom 6351 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
41, 2, 3syl2an 285 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
5 mulpiord 7089 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
6 mulpiord 7089 . . 3  |-  ( ( B  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( B  .N  A
)  =  ( B  .o  A ) )
76ancoms 266 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( B  .N  A
)  =  ( B  .o  A ) )
84, 5, 73eqtr4d 2158 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( B  .N  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   omcom 4472  (class class class)co 5740    .o comu 6277   N.cnpi 7044    .N cmi 7046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-ni 7076  df-mi 7078
This theorem is referenced by:  dfplpq2  7126  enqbreq2  7129  enqer  7130  addcmpblnq  7139  mulcmpblnq  7140  ordpipqqs  7146  addcomnqg  7153  addassnqg  7154  mulcomnqg  7155  mulcanenq  7157  distrnqg  7159  mulidnq  7161  recexnq  7162  nqtri3or  7168  ltsonq  7170  ltanqg  7172  ltmnqg  7173  ltexnqq  7180  archnqq  7189  prarloclemarch2  7191  ltnnnq  7195  prarloclemlt  7265
  Copyright terms: Public domain W3C validator