Theorem mulcompig 7662

Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcompig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( B .N A ) )

Proof of Theorem mulcompig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7640	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7640	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nnmcom 6735	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )
5		mulpiord 7648	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
6		mulpiord 7648	. . 3 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B .N A ) = ( B .o A ) )
7	6	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B .N A ) = ( B .o A ) )
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2277	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( B .N A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   omcom 4717  (class class class)co 6058   .o comu 6658   N.cnpi 7603   .N cmi 7605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-ni 7635  df-mi 7637

This theorem is referenced by:  dfplpq2  7685  enqbreq2  7688  enqer  7689  addcmpblnq  7698  mulcmpblnq  7699  ordpipqqs  7705  addcomnqg  7712  addassnqg  7713  mulcomnqg  7714  mulcanenq  7716  distrnqg  7718  mulidnq  7720  recexnq  7721  nqtri3or  7727  ltsonq  7729  ltanqg  7731  ltmnqg  7732  ltexnqq  7739  archnqq  7748  prarloclemarch2  7750  ltnnnq  7754  prarloclemlt  7824