Theorem mulcompig 7400

Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcompig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( B .N A ) )

Proof of Theorem mulcompig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7378	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7378	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nnmcom 6548	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )
5		mulpiord 7386	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
6		mulpiord 7386	. . 3 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B .N A ) = ( B .o A ) )
7	6	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B .N A ) = ( B .o A ) )
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2239	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( B .N A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   omcom 4627  (class class class)co 5923   .o comu 6473   N.cnpi 7341   .N cmi 7343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-ni 7373  df-mi 7375

This theorem is referenced by:  dfplpq2  7423  enqbreq2  7426  enqer  7427  addcmpblnq  7436  mulcmpblnq  7437  ordpipqqs  7443  addcomnqg  7450  addassnqg  7451  mulcomnqg  7452  mulcanenq  7454  distrnqg  7456  mulidnq  7458  recexnq  7459  nqtri3or  7465  ltsonq  7467  ltanqg  7469  ltmnqg  7470  ltexnqq  7477  archnqq  7486  prarloclemarch2  7488  ltnnnq  7492  prarloclemlt  7562