Theorem mulcompig 7251

Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcompig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( B .N A ) )

Proof of Theorem mulcompig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7229	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7229	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nnmcom 6436	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )
5		mulpiord 7237	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
6		mulpiord 7237	. . 3 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B .N A ) = ( B .o A ) )
7	6	ancoms 266	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B .N A ) = ( B .o A ) )
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2200	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( B .N A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   omcom 4549  (class class class)co 5824   .o comu 6361   N.cnpi 7192   .N cmi 7194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-ni 7224  df-mi 7226

This theorem is referenced by:  dfplpq2  7274  enqbreq2  7277  enqer  7278  addcmpblnq  7287  mulcmpblnq  7288  ordpipqqs  7294  addcomnqg  7301  addassnqg  7302  mulcomnqg  7303  mulcanenq  7305  distrnqg  7307  mulidnq  7309  recexnq  7310  nqtri3or  7316  ltsonq  7318  ltanqg  7320  ltmnqg  7321  ltexnqq  7328  archnqq  7337  prarloclemarch2  7339  ltnnnq  7343  prarloclemlt  7413