Theorem mulcompig 7594

Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcompig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( B .N A ) )

Proof of Theorem mulcompig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7572	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7572	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nnmcom 6700	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )
5		mulpiord 7580	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
6		mulpiord 7580	. . 3 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B .N A ) = ( B .o A ) )
7	6	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B .N A ) = ( B .o A ) )
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2274	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( B .N A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   omcom 4694  (class class class)co 6028   .o comu 6623   N.cnpi 7535   .N cmi 7537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-ni 7567  df-mi 7569

This theorem is referenced by:  dfplpq2  7617  enqbreq2  7620  enqer  7621  addcmpblnq  7630  mulcmpblnq  7631  ordpipqqs  7637  addcomnqg  7644  addassnqg  7645  mulcomnqg  7646  mulcanenq  7648  distrnqg  7650  mulidnq  7652  recexnq  7653  nqtri3or  7659  ltsonq  7661  ltanqg  7663  ltmnqg  7664  ltexnqq  7671  archnqq  7680  prarloclemarch2  7682  ltnnnq  7686  prarloclemlt  7756