ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcompig Unicode version

Theorem mulcompig 6880
Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcompig  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( B  .N  A ) )

Proof of Theorem mulcompig
StepHypRef Expression
1 pinn 6858 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 6858 . . 3  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 nnmcom 6242 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
41, 2, 3syl2an 283 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
5 mulpiord 6866 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
6 mulpiord 6866 . . 3  |-  ( ( B  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( B  .N  A
)  =  ( B  .o  A ) )
76ancoms 264 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( B  .N  A
)  =  ( B  .o  A ) )
84, 5, 73eqtr4d 2130 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( B  .N  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   omcom 4403  (class class class)co 5644    .o comu 6171   N.cnpi 6821    .N cmi 6823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-oadd 6177  df-omul 6178  df-ni 6853  df-mi 6855
This theorem is referenced by:  dfplpq2  6903  enqbreq2  6906  enqer  6907  addcmpblnq  6916  mulcmpblnq  6917  ordpipqqs  6923  addcomnqg  6930  addassnqg  6931  mulcomnqg  6932  mulcanenq  6934  distrnqg  6936  mulidnq  6938  recexnq  6939  nqtri3or  6945  ltsonq  6947  ltanqg  6949  ltmnqg  6950  ltexnqq  6957  archnqq  6966  prarloclemarch2  6968  ltnnnq  6972  prarloclemlt  7042
  Copyright terms: Public domain W3C validator