Theorem mulcompig 7704

Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcompig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( B .N A ) )

Proof of Theorem mulcompig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7682	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7682	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nnmcom 6766	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )
5		mulpiord 7690	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
6		mulpiord 7690	. . 3 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B .N A ) = ( B .o A ) )
7	6	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B .N A ) = ( B .o A ) )
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2281	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( B .N A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   omcom 4739  (class class class)co 6088   .o comu 6689   N.cnpi 7645   .N cmi 7647

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-ni 7677  df-mi 7679

This theorem is used by:  dfplpq2  7727  enqbreq2  7730  enqer  7731  addcmpblnq  7740  mulcmpblnq  7741  ordpipqqs  7747  addcomnqg  7754  addassnqg  7755  mulcomnqg  7756  mulcanenq  7758  distrnqg  7760  mulidnq  7762  recexnq  7763  nqtri3or  7769  ltsonq  7771  ltanqg  7773  ltmnqg  7774  ltexnqq  7781  archnqq  7790  prarloclemarch2  7792  ltnnnq  7796  prarloclemlt  7866