Theorem addassnqg 7602

Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A +Q B ) +Q C ) = ( A +Q ( B +Q C ) ) )

Proof of Theorem addassnqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7568	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		addpipqqs 7590	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		addpipqqs 7590	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
4		addpipqqs 7590	. 2 |- ( ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) , ( ( y .N w ) .N u ) >. ] ~Q )
5		addpipqqs 7590	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
6		mulclpi 7548	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
7	6	ad2ant2rl 511	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
8		mulclpi 7548	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
9	8	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
10		addclpi 7547	. . . 4 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
11	7, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
12		mulclpi 7548	. . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
13	12	ad2ant2l 508	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) e. N. )
14	11, 13	jca 306	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
15		mulclpi 7548	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) e. N. )
16	15	ad2ant2rl 511	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
17		mulclpi 7548	. . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) e. N. )
18	17	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
19		addclpi 7547	. . . 4 |- ( ( ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
21		mulclpi 7548	. . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
22	21	ad2ant2l 508	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
23	20, 22	jca 306	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
24		simp1l 1047	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
25		simp2r 1050	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
26		simp3r 1052	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
27	25, 26, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
28		mulclpi 7548	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( x .N ( w .N u ) ) e. N. )
29	24, 27, 28	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N ( w .N u ) ) e. N. )
30		simp1r 1048	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
31		simp2l 1049	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
32	31, 26, 15	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
33		mulclpi 7548	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( z .N u ) e. N. ) -> ( y .N ( z .N u ) ) e. N. )
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( z .N u ) ) e. N. )
35		simp3l 1051	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
36	25, 35, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
37		mulclpi 7548	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( y .N ( w .N v ) ) e. N. )
38	30, 36, 37	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( w .N v ) ) e. N. )
39		addasspig 7550	. . . 4 |- ( ( ( x .N ( w .N u ) ) e. N. /\ ( y .N ( z .N u ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N v ) ) e. N. ) -> ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
40	29, 34, 38, 39	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
41		mulcompig 7551	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
42	41	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
43		distrpig 7553	. . . . . . . 8 |- ( ( h e. N. /\ f e. N. /\ g e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) )
44	43	3coml 1236	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) )
45		addclpi 7547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f +N g ) e. N. )
46		mulcompig 7551	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ ( f +N g ) e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
47	45, 46	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( h e. N. /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
48	47	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. N. /\ g e. N. ) /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
49	48	3impa 1220	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
50		mulcompig 7551	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ f e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
51	50	ancoms 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
52	51	3adant2 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
53		mulcompig 7551	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ g e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
54	53	ancoms 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
55	54	3adant1 1041	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
56	52, 55	oveq12d 6036	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
57	44, 49, 56	3eqtr3d 2272	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f +N g ) .N h ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
58	57	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f +N g ) .N h ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
59		mulasspig 7552	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
60	59	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
61		mulclpi 7548	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
62	61	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
63	42, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26	caovdilemd 6214	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) )
64		mulasspig 7552	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
65	64	3adant1l 1256	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
66	65	3adant2l 1258	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
67	66	3adant3r 1261	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
68	63, 67	oveq12d 6036	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) = ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
69		distrpig 7553	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
70	30, 32, 36, 69	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
71	70	oveq2d 6034	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
72	40, 68, 71	3eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) )
73		mulasspig 7552	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
74	73	3adant1l 1256	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
75	74	3adant2l 1258	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
76	75	3adant3l 1260	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76	ecoviass 6814	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A +Q B ) +Q C ) = ( A +Q ( B +Q C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202  (class class class)co 6018   N.cnpi 7492   +N cpli 7493   .N cmi 7494   ~Q ceq 7499   Q.cnq 7500   +Q cplq 7502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-plpq 7564  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-plqqs 7569

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7627  addlocprlemeqgt  7752  addassprg  7799  ltexprlemloc  7827  ltexprlemrl  7830  ltexprlemru  7832  addcanprleml  7834  addcanprlemu  7835  cauappcvgprlemdisj  7871  cauappcvgprlemloc  7872  cauappcvgprlemladdfl  7875  cauappcvgprlemladdru  7876  cauappcvgprlemladdrl  7877  cauappcvgprlem1  7879  caucvgprlemloc  7895  caucvgprlemladdrl  7898  caucvgprprlemloccalc  7904