Theorem addassnqg 7565

Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A +Q B ) +Q C ) = ( A +Q ( B +Q C ) ) )

Proof of Theorem addassnqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7531	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		addpipqqs 7553	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		addpipqqs 7553	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
4		addpipqqs 7553	. 2 |- ( ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) , ( ( y .N w ) .N u ) >. ] ~Q )
5		addpipqqs 7553	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
6		mulclpi 7511	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
7	6	ad2ant2rl 511	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
8		mulclpi 7511	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
9	8	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
10		addclpi 7510	. . . 4 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
11	7, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
12		mulclpi 7511	. . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
13	12	ad2ant2l 508	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) e. N. )
14	11, 13	jca 306	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
15		mulclpi 7511	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) e. N. )
16	15	ad2ant2rl 511	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
17		mulclpi 7511	. . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) e. N. )
18	17	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
19		addclpi 7510	. . . 4 |- ( ( ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
21		mulclpi 7511	. . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
22	21	ad2ant2l 508	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
23	20, 22	jca 306	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
24		simp1l 1045	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
25		simp2r 1048	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
26		simp3r 1050	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
27	25, 26, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
28		mulclpi 7511	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( x .N ( w .N u ) ) e. N. )
29	24, 27, 28	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N ( w .N u ) ) e. N. )
30		simp1r 1046	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
31		simp2l 1047	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
32	31, 26, 15	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
33		mulclpi 7511	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( z .N u ) e. N. ) -> ( y .N ( z .N u ) ) e. N. )
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( z .N u ) ) e. N. )
35		simp3l 1049	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
36	25, 35, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
37		mulclpi 7511	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( y .N ( w .N v ) ) e. N. )
38	30, 36, 37	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( w .N v ) ) e. N. )
39		addasspig 7513	. . . 4 |- ( ( ( x .N ( w .N u ) ) e. N. /\ ( y .N ( z .N u ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N v ) ) e. N. ) -> ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
40	29, 34, 38, 39	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
41		mulcompig 7514	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
42	41	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
43		distrpig 7516	. . . . . . . 8 |- ( ( h e. N. /\ f e. N. /\ g e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) )
44	43	3coml 1234	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) )
45		addclpi 7510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f +N g ) e. N. )
46		mulcompig 7514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ ( f +N g ) e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
47	45, 46	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( h e. N. /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
48	47	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. N. /\ g e. N. ) /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
49	48	3impa 1218	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
50		mulcompig 7514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ f e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
51	50	ancoms 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
52	51	3adant2 1040	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
53		mulcompig 7514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ g e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
54	53	ancoms 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
55	54	3adant1 1039	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
56	52, 55	oveq12d 6018	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
57	44, 49, 56	3eqtr3d 2270	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f +N g ) .N h ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
58	57	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f +N g ) .N h ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
59		mulasspig 7515	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
60	59	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
61		mulclpi 7511	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
62	61	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
63	42, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26	caovdilemd 6196	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) )
64		mulasspig 7515	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
65	64	3adant1l 1254	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
66	65	3adant2l 1256	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
67	66	3adant3r 1259	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
68	63, 67	oveq12d 6018	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) = ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
69		distrpig 7516	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
70	30, 32, 36, 69	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
71	70	oveq2d 6016	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
72	40, 68, 71	3eqtr4d 2272	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) )
73		mulasspig 7515	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
74	73	3adant1l 1254	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
75	74	3adant2l 1256	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
76	75	3adant3l 1258	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76	ecoviass 6790	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A +Q B ) +Q C ) = ( A +Q ( B +Q C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6000   N.cnpi 7455   +N cpli 7456   .N cmi 7457   ~Q ceq 7462   Q.cnq 7463   +Q cplq 7465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-pli 7488  df-mi 7489  df-plpq 7527  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-plqqs 7532

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7590  addlocprlemeqgt  7715  addassprg  7762  ltexprlemloc  7790  ltexprlemrl  7793  ltexprlemru  7795  addcanprleml  7797  addcanprlemu  7798  cauappcvgprlemdisj  7834  cauappcvgprlemloc  7835  cauappcvgprlemladdfl  7838  cauappcvgprlemladdru  7839  cauappcvgprlemladdrl  7840  cauappcvgprlem1  7842  caucvgprlemloc  7858  caucvgprlemladdrl  7861  caucvgprprlemloccalc  7867