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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > addassnqg | Unicode version |
Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.) |
Ref | Expression |
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addassnqg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | df-nqqs 7180 |
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2 | addpipqqs 7202 |
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3 | addpipqqs 7202 |
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4 | addpipqqs 7202 |
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5 | addpipqqs 7202 |
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6 | mulclpi 7160 |
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7 | 6 | ad2ant2rl 503 |
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8 | mulclpi 7160 |
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9 | 8 | ad2ant2lr 502 |
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10 | addclpi 7159 |
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11 | 7, 9, 10 | syl2anc 409 |
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12 | mulclpi 7160 |
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13 | 12 | ad2ant2l 500 |
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14 | 11, 13 | jca 304 |
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15 | mulclpi 7160 |
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16 | 15 | ad2ant2rl 503 |
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17 | mulclpi 7160 |
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18 | 17 | ad2ant2lr 502 |
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19 | addclpi 7159 |
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20 | 16, 18, 19 | syl2anc 409 |
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21 | mulclpi 7160 |
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22 | 21 | ad2ant2l 500 |
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23 | 20, 22 | jca 304 |
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24 | simp1l 1006 |
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25 | simp2r 1009 |
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26 | simp3r 1011 |
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27 | 25, 26, 21 | syl2anc 409 |
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28 | mulclpi 7160 |
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29 | 24, 27, 28 | syl2anc 409 |
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30 | simp1r 1007 |
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31 | simp2l 1008 |
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32 | 31, 26, 15 | syl2anc 409 |
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33 | mulclpi 7160 |
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34 | 30, 32, 33 | syl2anc 409 |
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35 | simp3l 1010 |
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36 | 25, 35, 17 | syl2anc 409 |
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37 | mulclpi 7160 |
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38 | 30, 36, 37 | syl2anc 409 |
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39 | addasspig 7162 |
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40 | 29, 34, 38, 39 | syl3anc 1217 |
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41 | mulcompig 7163 |
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42 | 41 | adantl 275 |
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43 | distrpig 7165 |
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44 | 43 | 3coml 1189 |
. . . . . . 7
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45 | addclpi 7159 |
. . . . . . . . . 10
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46 | mulcompig 7163 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 45, 46 | sylan2 284 |
. . . . . . . . 9
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48 | 47 | ancoms 266 |
. . . . . . . 8
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49 | 48 | 3impa 1177 |
. . . . . . 7
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50 | mulcompig 7163 |
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51 | 50 | ancoms 266 |
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52 | 51 | 3adant2 1001 |
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53 | mulcompig 7163 |
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54 | 53 | ancoms 266 |
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55 | 54 | 3adant1 1000 |
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56 | 52, 55 | oveq12d 5800 |
. . . . . . 7
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57 | 44, 49, 56 | 3eqtr3d 2181 |
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58 | 57 | adantl 275 |
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59 | mulasspig 7164 |
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60 | 59 | adantl 275 |
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61 | mulclpi 7160 |
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62 | 61 | adantl 275 |
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63 | 42, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26 | caovdilemd 5970 |
. . . 4
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64 | mulasspig 7164 |
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65 | 64 | 3adant1l 1209 |
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66 | 65 | 3adant2l 1211 |
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67 | 66 | 3adant3r 1214 |
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68 | 63, 67 | oveq12d 5800 |
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69 | distrpig 7165 |
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70 | 30, 32, 36, 69 | syl3anc 1217 |
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71 | 70 | oveq2d 5798 |
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72 | 40, 68, 71 | 3eqtr4d 2183 |
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73 | mulasspig 7164 |
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74 | 73 | 3adant1l 1209 |
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75 | 74 | 3adant2l 1211 |
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76 | 75 | 3adant3l 1213 |
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77 | 1, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76 | ecoviass 6547 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-iord 4296 df-on 4298 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-oadd 6325 df-omul 6326 df-er 6437 df-ec 6439 df-qs 6443 df-ni 7136 df-pli 7137 df-mi 7138 df-plpq 7176 df-enq 7179 df-nqqs 7180 df-plqqs 7181 |
This theorem is referenced by: ltaddnq 7239 addlocprlemeqgt 7364 addassprg 7411 ltexprlemloc 7439 ltexprlemrl 7442 ltexprlemru 7444 addcanprleml 7446 addcanprlemu 7447 cauappcvgprlemdisj 7483 cauappcvgprlemloc 7484 cauappcvgprlemladdfl 7487 cauappcvgprlemladdru 7488 cauappcvgprlemladdrl 7489 cauappcvgprlem1 7491 caucvgprlemloc 7507 caucvgprlemladdrl 7510 caucvgprprlemloccalc 7516 |
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