Theorem addassnqg 7494

Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A +Q B ) +Q C ) = ( A +Q ( B +Q C ) ) )

Proof of Theorem addassnqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7460	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		addpipqqs 7482	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		addpipqqs 7482	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
4		addpipqqs 7482	. 2 |- ( ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) , ( ( y .N w ) .N u ) >. ] ~Q )
5		addpipqqs 7482	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
6		mulclpi 7440	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
7	6	ad2ant2rl 511	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
8		mulclpi 7440	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
9	8	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
10		addclpi 7439	. . . 4 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
11	7, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
12		mulclpi 7440	. . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
13	12	ad2ant2l 508	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) e. N. )
14	11, 13	jca 306	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
15		mulclpi 7440	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) e. N. )
16	15	ad2ant2rl 511	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
17		mulclpi 7440	. . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) e. N. )
18	17	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
19		addclpi 7439	. . . 4 |- ( ( ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
21		mulclpi 7440	. . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
22	21	ad2ant2l 508	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
23	20, 22	jca 306	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
24		simp1l 1023	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
25		simp2r 1026	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
26		simp3r 1028	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
27	25, 26, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
28		mulclpi 7440	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( x .N ( w .N u ) ) e. N. )
29	24, 27, 28	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N ( w .N u ) ) e. N. )
30		simp1r 1024	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
31		simp2l 1025	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
32	31, 26, 15	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
33		mulclpi 7440	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( z .N u ) e. N. ) -> ( y .N ( z .N u ) ) e. N. )
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( z .N u ) ) e. N. )
35		simp3l 1027	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
36	25, 35, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
37		mulclpi 7440	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( y .N ( w .N v ) ) e. N. )
38	30, 36, 37	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( w .N v ) ) e. N. )
39		addasspig 7442	. . . 4 |- ( ( ( x .N ( w .N u ) ) e. N. /\ ( y .N ( z .N u ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N v ) ) e. N. ) -> ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
40	29, 34, 38, 39	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
41		mulcompig 7443	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
42	41	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
43		distrpig 7445	. . . . . . . 8 |- ( ( h e. N. /\ f e. N. /\ g e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) )
44	43	3coml 1212	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) )
45		addclpi 7439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f +N g ) e. N. )
46		mulcompig 7443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ ( f +N g ) e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
47	45, 46	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( h e. N. /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
48	47	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. N. /\ g e. N. ) /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
49	48	3impa 1196	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
50		mulcompig 7443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ f e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
51	50	ancoms 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
52	51	3adant2 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
53		mulcompig 7443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ g e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
54	53	ancoms 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
55	54	3adant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
56	52, 55	oveq12d 5961	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
57	44, 49, 56	3eqtr3d 2245	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f +N g ) .N h ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
58	57	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f +N g ) .N h ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
59		mulasspig 7444	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
60	59	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
61		mulclpi 7440	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
62	61	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
63	42, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26	caovdilemd 6137	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) )
64		mulasspig 7444	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
65	64	3adant1l 1232	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
66	65	3adant2l 1234	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
67	66	3adant3r 1237	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
68	63, 67	oveq12d 5961	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) = ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
69		distrpig 7445	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
70	30, 32, 36, 69	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
71	70	oveq2d 5959	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
72	40, 68, 71	3eqtr4d 2247	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) )
73		mulasspig 7444	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
74	73	3adant1l 1232	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
75	74	3adant2l 1234	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
76	75	3adant3l 1236	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76	ecoviass 6731	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A +Q B ) +Q C ) = ( A +Q ( B +Q C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175  (class class class)co 5943   N.cnpi 7384   +N cpli 7385   .N cmi 7386   ~Q ceq 7391   Q.cnq 7392   +Q cplq 7394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-oadd 6505  df-omul 6506  df-er 6619  df-ec 6621  df-qs 6625  df-ni 7416  df-pli 7417  df-mi 7418  df-plpq 7456  df-enq 7459  df-nqqs 7460  df-plqqs 7461

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7519  addlocprlemeqgt  7644  addassprg  7691  ltexprlemloc  7719  ltexprlemrl  7722  ltexprlemru  7724  addcanprleml  7726  addcanprlemu  7727  cauappcvgprlemdisj  7763  cauappcvgprlemloc  7764  cauappcvgprlemladdfl  7767  cauappcvgprlemladdru  7768  cauappcvgprlemladdrl  7769  cauappcvgprlem1  7771  caucvgprlemloc  7787  caucvgprlemladdrl  7790  caucvgprprlemloccalc  7796