Theorem addassnqg 7755

Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A +Q B ) +Q C ) = ( A +Q ( B +Q C ) ) )

Proof of Theorem addassnqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7721	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		addpipqqs 7743	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		addpipqqs 7743	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
4		addpipqqs 7743	. 2 |- ( ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) , ( ( y .N w ) .N u ) >. ] ~Q )
5		addpipqqs 7743	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
6		mulclpi 7701	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
7	6	ad2ant2rl 515	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
8		mulclpi 7701	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
9	8	ad2ant2lr 514	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
10		addclpi 7700	. . . 4 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
11	7, 9, 10	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
12		mulclpi 7701	. . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
13	12	ad2ant2l 512	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) e. N. )
14	11, 13	jca 306	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
15		mulclpi 7701	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) e. N. )
16	15	ad2ant2rl 515	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
17		mulclpi 7701	. . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) e. N. )
18	17	ad2ant2lr 514	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
19		addclpi 7700	. . . 4 |- ( ( ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
20	16, 18, 19	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
21		mulclpi 7701	. . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
22	21	ad2ant2l 512	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
23	20, 22	jca 306	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
24		simp1l 1052	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
25		simp2r 1055	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
26		simp3r 1057	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
27	25, 26, 21	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
28		mulclpi 7701	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( x .N ( w .N u ) ) e. N. )
29	24, 27, 28	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N ( w .N u ) ) e. N. )
30		simp1r 1053	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
31		simp2l 1054	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
32	31, 26, 15	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
33		mulclpi 7701	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( z .N u ) e. N. ) -> ( y .N ( z .N u ) ) e. N. )
34	30, 32, 33	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( z .N u ) ) e. N. )
35		simp3l 1056	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
36	25, 35, 17	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
37		mulclpi 7701	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( y .N ( w .N v ) ) e. N. )
38	30, 36, 37	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( w .N v ) ) e. N. )
39		addasspig 7703	. . . 4 |- ( ( ( x .N ( w .N u ) ) e. N. /\ ( y .N ( z .N u ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N v ) ) e. N. ) -> ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
40	29, 34, 38, 39	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
41		mulcompig 7704	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
42	41	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
43		distrpig 7706	. . . . . . . 8 |- ( ( h e. N. /\ f e. N. /\ g e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) )
44	43	3coml 1241	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) )
45		addclpi 7700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f +N g ) e. N. )
46		mulcompig 7704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ ( f +N g ) e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
47	45, 46	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( h e. N. /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
48	47	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. N. /\ g e. N. ) /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
49	48	3impa 1225	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
50		mulcompig 7704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ f e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
51	50	ancoms 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
52	51	3adant2 1047	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
53		mulcompig 7704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ g e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
54	53	ancoms 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
55	54	3adant1 1046	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
56	52, 55	oveq12d 6106	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
57	44, 49, 56	3eqtr3d 2279	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f +N g ) .N h ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
58	57	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f +N g ) .N h ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
59		mulasspig 7705	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
60	59	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
61		mulclpi 7701	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
62	61	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
63	42, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26	caovdilemd 6284	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) )
64		mulasspig 7705	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
65	64	3adant1l 1261	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
66	65	3adant2l 1263	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
67	66	3adant3r 1266	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
68	63, 67	oveq12d 6106	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) = ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
69		distrpig 7706	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
70	30, 32, 36, 69	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
71	70	oveq2d 6104	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
72	40, 68, 71	3eqtr4d 2281	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) )
73		mulasspig 7705	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
74	73	3adant1l 1261	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
75	74	3adant2l 1263	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
76	75	3adant3l 1265	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76	ecoviass 6923	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A +Q B ) +Q C ) = ( A +Q ( B +Q C ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   N.cnpi 7645   +N cpli 7646   .N cmi 7647   ~Q ceq 7652   Q.cnq 7653   +Q cplq 7655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-plpq 7717  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722

This theorem is used by:  ltaddnq  7780  addlocprlemeqgt  7905  addassprg  7952  ltexprlemloc  7980  ltexprlemrl  7983  ltexprlemru  7985  addcanprleml  7987  addcanprlemu  7988  cauappcvgprlemdisj  8024  cauappcvgprlemloc  8025  cauappcvgprlemladdfl  8028  cauappcvgprlemladdru  8029  cauappcvgprlemladdrl  8030  cauappcvgprlem1  8032  caucvgprlemloc  8048  caucvgprlemladdrl  8051  caucvgprprlemloccalc  8057