ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnqg Unicode version

Theorem addassnqg 6931
Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  (
( A  +Q  B
)  +Q  C )  =  ( A  +Q  ( B  +Q  C
) ) )

Proof of Theorem addassnqg
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6897 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 addpipqqs 6919 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( x  .N  w
)  +N  ( y  .N  z ) ) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  )
3 addpipqqs 6919 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
4 addpipqqs 6919 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  .N  w )  +N  ( y  .N  z
) )  e.  N.  /\  ( y  .N  w
)  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( ( x  .N  w )  +N  (
y  .N  z ) ) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( ( ( x  .N  w )  +N  ( y  .N  z
) )  .N  u
)  +N  ( ( y  .N  w )  .N  v ) ) ,  ( ( y  .N  w )  .N  u ) >. ]  ~Q  )
5 addpipqqs 6919 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  +Q  [ <. ( ( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( x  .N  (
w  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u
) ) >. ]  ~Q  )
6 mulclpi 6877 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  e.  N. )
76ad2ant2rl 495 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( x  .N  w )  e.  N. )
8 mulclpi 6877 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( y  .N  z
)  e.  N. )
98ad2ant2lr 494 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  z )  e.  N. )
10 addclpi 6876 . . . 4  |-  ( ( ( x  .N  w
)  e.  N.  /\  ( y  .N  z
)  e.  N. )  ->  ( ( x  .N  w )  +N  (
y  .N  z ) )  e.  N. )
117, 9, 10syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  w )  +N  ( y  .N  z ) )  e. 
N. )
12 mulclpi 6877 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
1312ad2ant2l 492 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  w )  e.  N. )
1411, 13jca 300 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
( x  .N  w
)  +N  ( y  .N  z ) )  e.  N.  /\  (
y  .N  w )  e.  N. ) )
15 mulclpi 6877 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  u
)  e.  N. )
1615ad2ant2rl 495 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  u )  e.  N. )
17 mulclpi 6877 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( w  .N  v
)  e.  N. )
1817ad2ant2lr 494 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  v )  e.  N. )
19 addclpi 6876 . . . 4  |-  ( ( ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )
2016, 18, 19syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
21 mulclpi 6877 . . . 4  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
2221ad2ant2l 492 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
2320, 22jca 300 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) )  e.  N.  /\  (
w  .N  u )  e.  N. ) )
24 simp1l 967 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
25 simp2r 970 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
26 simp3r 972 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
2725, 26, 21syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
28 mulclpi 6877 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( x  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
2924, 27, 28syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( x  .N  ( w  .N  u
) )  e.  N. )
30 simp1r 968 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
31 simp2l 969 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  z  e.  N. )
3231, 26, 15syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  u )  e.  N. )
33 mulclpi 6877 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( z  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
z  .N  u ) )  e.  N. )
3430, 32, 33syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( z  .N  u
) )  e.  N. )
35 simp3l 971 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  v  e.  N. )
3625, 35, 17syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  v )  e.  N. )
37 mulclpi 6877 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )
3830, 36, 37syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( w  .N  v
) )  e.  N. )
39 addasspig 6879 . . . 4  |-  ( ( ( x  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
z  .N  u ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  ->  ( ( ( x  .N  ( w  .N  u ) )  +N  ( y  .N  (
z  .N  u ) ) )  +N  (
y  .N  ( w  .N  v ) ) )  =  ( ( x  .N  ( w  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  ( z  .N  u ) )  +N  ( y  .N  (
w  .N  v ) ) ) ) )
4029, 34, 38, 39syl3anc 1174 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( x  .N  (
w  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( z  .N  u ) ) )  +N  ( y  .N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( ( x  .N  ( w  .N  u
) )  +N  (
( y  .N  (
z  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( w  .N  v ) ) ) ) )
41 mulcompig 6880 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
4241adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
43 distrpig 6882 . . . . . . . 8  |-  ( ( h  e.  N.  /\  f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  (
h  .N  ( f  +N  g ) )  =  ( ( h  .N  f )  +N  ( h  .N  g
) ) )
44433coml 1150 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
h  .N  ( f  +N  g ) )  =  ( ( h  .N  f )  +N  ( h  .N  g
) ) )
45 addclpi 6876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  +N  g
)  e.  N. )
46 mulcompig 6880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  N.  /\  ( f  +N  g
)  e.  N. )  ->  ( h  .N  (
f  +N  g ) )  =  ( ( f  +N  g )  .N  h ) )
4745, 46sylan2 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h  e.  N.  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )
)  ->  ( h  .N  ( f  +N  g
) )  =  ( ( f  +N  g
)  .N  h ) )
4847ancoms 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  /\  h  e.  N. )  ->  ( h  .N  ( f  +N  g
) )  =  ( ( f  +N  g
)  .N  h ) )
49483impa 1138 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
h  .N  ( f  +N  g ) )  =  ( ( f  +N  g )  .N  h ) )
50 mulcompig 6880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  N.  /\  f  e.  N. )  ->  ( h  .N  f
)  =  ( f  .N  h ) )
5150ancoms 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  ( h  .N  f
)  =  ( f  .N  h ) )
52513adant2 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
h  .N  f )  =  ( f  .N  h ) )
53 mulcompig 6880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( h  .N  g
)  =  ( g  .N  h ) )
5453ancoms 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  ( h  .N  g
)  =  ( g  .N  h ) )
55543adant1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
h  .N  g )  =  ( g  .N  h ) )
5652, 55oveq12d 5662 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( h  .N  f
)  +N  ( h  .N  g ) )  =  ( ( f  .N  h )  +N  ( g  .N  h
) ) )
5744, 49, 563eqtr3d 2128 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  +N  g
)  .N  h )  =  ( ( f  .N  h )  +N  ( g  .N  h
) ) )
5857adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  +N  g
)  .N  h )  =  ( ( f  .N  h )  +N  ( g  .N  h
) ) )
59 mulasspig 6881 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
6059adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
61 mulclpi 6877 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  e.  N. )
6261adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
6342, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26caovdilemd 5828 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( x  .N  w
)  +N  ( y  .N  z ) )  .N  u )  =  ( ( x  .N  ( w  .N  u
) )  +N  (
y  .N  ( z  .N  u ) ) ) )
64 mulasspig 6881 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  (
( y  .N  w
)  .N  v )  =  ( y  .N  ( w  .N  v
) ) )
65643adant1l 1166 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  w )  .N  v
)  =  ( y  .N  ( w  .N  v ) ) )
66653adant2l 1168 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  v  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  w )  .N  v )  =  ( y  .N  ( w  .N  v ) ) )
67663adant3r 1171 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  w )  .N  v )  =  ( y  .N  (
w  .N  v ) ) )
6863, 67oveq12d 5662 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( ( x  .N  w )  +N  (
y  .N  z ) )  .N  u )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  v ) )  =  ( ( ( x  .N  ( w  .N  u ) )  +N  ( y  .N  (
z  .N  u ) ) )  +N  (
y  .N  ( w  .N  v ) ) ) )
69 distrpig 6882 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  =  ( ( y  .N  ( z  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( w  .N  v
) ) ) )
7030, 32, 36, 69syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) )  =  ( ( y  .N  (
z  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( w  .N  v ) ) ) )
7170oveq2d 5660 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  ( w  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) ) )  =  ( ( x  .N  ( w  .N  u
) )  +N  (
( y  .N  (
z  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( w  .N  v ) ) ) ) )
7240, 68, 713eqtr4d 2130 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( ( x  .N  w )  +N  (
y  .N  z ) )  .N  u )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  v ) )  =  ( ( x  .N  ( w  .N  u
) )  +N  (
y  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) ) ) )
73 mulasspig 6881 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  (
( y  .N  w
)  .N  u )  =  ( y  .N  ( w  .N  u
) ) )
74733adant1l 1166 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  w )  .N  u
)  =  ( y  .N  ( w  .N  u ) ) )
75743adant2l 1168 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  w )  .N  u )  =  ( y  .N  ( w  .N  u ) ) )
76753adant3l 1170 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  w )  .N  u )  =  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) )
771, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76ecoviass 6392 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  (
( A  +Q  B
)  +Q  C )  =  ( A  +Q  ( B  +Q  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438  (class class class)co 5644   N.cnpi 6821    +N cpli 6822    .N cmi 6823    ~Q ceq 6828   Q.cnq 6829    +Q cplq 6831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-oadd 6177  df-omul 6178  df-er 6282  df-ec 6284  df-qs 6288  df-ni 6853  df-pli 6854  df-mi 6855  df-plpq 6893  df-enq 6896  df-nqqs 6897  df-plqqs 6898
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6956  addlocprlemeqgt  7081  addassprg  7128  ltexprlemloc  7156  ltexprlemrl  7159  ltexprlemru  7161  addcanprleml  7163  addcanprlemu  7164  cauappcvgprlemdisj  7200  cauappcvgprlemloc  7201  cauappcvgprlemladdfl  7204  cauappcvgprlemladdru  7205  cauappcvgprlemladdrl  7206  cauappcvgprlem1  7208  caucvgprlemloc  7224  caucvgprlemladdrl  7227  caucvgprprlemloccalc  7233
  Copyright terms: Public domain W3C validator